部编人教版高中数学A版必修第一册教材：基本不等式课后作业

1课时分层作业(十)基本不等式(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是()A．s≥tB．stC．s≤tD．stA[∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.]2．下列不等式中正确的是()A．a＋4a≥4B．a2＋b2≥4abC.ab≥a＋b2D．x2＋3x2≥23D[a＜0，则a＋4a≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；a＝4，b＝16，则ab＜a＋b2，故C错；由基本不等式可知D项正确．]3．已知a0，b0，则下列不等式中错误的是()A．ab≤a＋b22B．ab≤a2＋b22C.1ab≥2a2＋b2D.1ab≤2a＋b2D[由基本不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由a2＋b22≥ab得，ab≤a＋b22，∴1ab≥2a＋b2，故选D.]4．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是()A．a＞b＞a＋b2＞ab2B．a＞a＋b2＞ab＞bC．a＞a＋b2＞b＞abD.a＞ab＞a＋b2＞bB[a＝a＋a2＞a＋b2＞ab＞b·b＝b，因此只有B项正确．]5．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()A.1ab＞12B.1a＋1b≤1C.ab≥2D.1a2＋b2≤18D[由ab≤2得ab≤4，∴1ab≥14，故A错；B中，1a＋1b＝a＋bab＝4ab≥1，故B错；由a＋b＝4，得ab≤a＋b2＝42＝2，故C错；由a2＋b22≥a＋b22得a2＋b2≥2×422＝8，∴1a2＋b2≤18，D正确．]二、填空题6．已知a＞b＞c，则a－bb－c与a－c2的大小关系是________．a－bb－c≤a－c2[∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，∴a－bb－c≤a－b＋b－c2＝a－c2.]7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值a＋b2的大小关系为________．3x≤a＋b2[用两种方法求出第三年的产量分别为A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．∴1＋x＝1＋a1＋b≤1＋a＋1＋b2＝1＋a＋b2，∴x≤a＋b2.当且仅当a＝b时等号成立．]8．已知函数f(x)＝4x＋ax(x0，a0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.36[f(x)＝4x＋ax≥24x·ax＝4a(x0，a0)，当且仅当4x＝ax，即x＝a2时等号成立，此时f(x)取得最小值4a.又由已知x＝3时，f(x)min＝4a，∴a2＝3，即a＝36.]三、解答题9．已知a，b，c为正实数，且a＋b＝1.求证：1a＋1b≥4.[证明]1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝1＋ba＋ab＋1＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4.当且仅当a＝b时“＝”成立．10．已知a、b、c为正数，求证：b＋c－aa＋c＋a－bb＋a＋b－cc≥3.[证明]左边＝ba＋ca－1＋cb＋ab－1＋ac＋bc－1＝ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc－3.∵a，b，c为正数，∴ba＋ab≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；ca＋ac≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；4cb＋bc≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．从而ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．∴ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc－3≥3，即b＋c－aa＋c＋a－bb＋a＋b－cc≥3.[等级过关练]1．下列不等式一定成立的是()A．x＋1x≥2B.x2＋2x2＋2≥2C.x2＋3x2＋4≥2D．2－3x－4x≥2B[A项中当x0时，x＋1x02，∴A错误．B项中，x2＋2x2＋2＝x2＋2≥2，∴B正确．而对于C，x2＋3x2＋4＝x2＋4－1x2＋4，当x＝0时，x2＋3x2＋4＝322，显然选项C不正确．D项中取x＝1,2－3x－4x2，∴D错误．]2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤12B．ab≥12C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3C[∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴ab≤a＋b22＝1，而4＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，∴a2＋b2≥2.]3．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________．52[xy≤x2＋y22＝2，当且仅当x＝y时取“＝”．]4．设a，b为非零实数，给出不等式：①a2＋b22≥ab；②a2＋b22≥a＋b22；③a＋b2≥aba＋b；④ab＋ba≥2.其中恒成立的不等式是________．①②[由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确；②a2＋b22＝2a2＋b24＝a2＋b2＋a2＋b24≥a2＋b2＋2ab4＝a＋b24＝a＋b22，故②正确；对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为a＋b2＝－1，右边为aba＋b＝－12，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．]5．已知a、b、c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞ab＋bc＋ca.[证明]∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b2≥ab，b＋c2≥bc，c＋a2≥ca，∴a＋b2＋b＋c2＋c＋a2≥ab＋bc＋ca，即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.由于a、b、c不全相等，∴等号不成立，∴a＋b＋c＞ab＋bc＋ca.