部编人教版高中数学A版必修第一册教材：一元二次不等式的应用课后作业

1课时分层作业(十三)一元二次不等式的应用(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．不等式1＋x1－x≥0的解集为()A．{x|－1x≤1}B．{x|－1≤x1}C．{x|－1≤x≤1}D．{x|－1x1}B[原不等式⇔x＋1x－1≤0，x－1≠0，∴－1≤x1.]2．不等式x－22x－3x＋10的解集为()A．{x|－1x2或2x3}B．{x|1x3}C．{x|2x3}D．{x|－1x2}A[原不等式⇔x＋1x－30，x－2≠0，∴－1x3且x≠2.]3．不等式组x－1a2，x－42a有解，则实数a的取值范围是()A．－1＜a＜3B．a＜－1或a＞3C．－3＜a＜1D．a＜－3或a＞1A[由题意得，a2＋1x4＋2a.∴只须4＋2aa2＋1，即a2－2a－30，∴－1a3.]4．二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为全体实数的条件是()2A.a0Δ0B.a0Δ0C.a0Δ0D.a0Δ0D[二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要a0Δ0.]5．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为()A．－1a1B．0a2C．－12a32D．－32a12C[∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，∴不等式(x－a)⊙(x＋a)1，即(x－a)(1－x－a)1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋10对任意实数x恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)0，解得－12a32，故选C.]二、填空题6．当1＜x＜2时，不等式x2＋mx＋40恒成立，则m的取值范围是________．m≤－5[设y＝x2＋mx＋4，要使1＜x＜2时，不等式x2＋mx＋40恒成立．则有1＋m＋4≤0，4＋2m＋4≤0，解得m≤－5.]7．若0＜a＜1，则不等式(a－x)x－1a＞0的解集是________．xa＜x＜1a[原不等式为(x－a)x－1a＜0，由0＜a＜1，得a＜1a，∴a＜x＜1a.]8．某地每年销售木材约20万m3，每立方米价格为2400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t万m3.3为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．3≤t≤5[设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2400×20－52t×t%＝60(8t－t2)．令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.]三、解答题9．若不等式(1－a)x2－4x＋60的解集是{x|－3x1}．(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a0；(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?[解](1)由题意知1－a0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，∴1－a0，41－a＝－2，61－a＝－3，解得a＝3.∴不等式2x2＋(2－a)x－a0，即为2x2－x－30，解得x－1或x32，∴所求不等式的解集为xx－1或x32.(2)ax2＋bx＋3≥0，即3x2＋bx＋3≥0，若此不等式解集为R，则Δ＝b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6.10．某地区上年度电价为0.8元/kw·h，年用电量为akw·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之间，而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?4[解](1)设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知，用电量增至kx－0.4＋a，电力部门的收益为y＝kx－0.4＋a(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．(2)依题意，有0.2ax－0.4＋ax－0.3≥[a×0.8－0.3]1＋20%，0.55≤x≤0.75.整理，得x2－1.1x＋0.3≥0，0.55≤x≤0.75.解此不等式，得0.60≤x≤0.75.∴当电价最低定为0.60元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.[等级过关练]1．下列选项中，使不等式x1xx2成立的x的取值范围是()A．x＜－1B．－1＜x＜0C．0＜x＜1D．x＞1A[法一：取x＝－2，知符合x1xx2，即－2是此不等式的解集中的一个元素，所以可排除选项B，C，D.法二：由题知，不等式等价于1x－x·1x－x20，即x2－1x3－1x20，从而x－12x＋1x2＋x＋1x20，解得x－1，选A.]2．若不等式2kx2＋kx－38＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A．－3＜k＜0B．－3≤k＜0C．－3≤k≤0D．－3＜k≤0D[当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－38＜0对一切实数x都成立，则5k＜0，Δ＝k2－4×2k×－38＜0，解得－3＜k＜0.综上，满足不等式2kx2＋kx－38＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是－3＜k≤0.]3．不等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集是________．{x|0＜x＜2}[不等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集即x(x－2)＜0的解集，解得0＜x＜2，故不等式的解集为{x|0＜x＜2}．]4．不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，则实数k的取值范围为________．－8≤λ≤4[因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.]5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，且不等式ax2＋bx＋c＞－2x的解集为{x|1＜x＜3}．(1)若方程ax2＋bx＋c＋6a＝0有两个相等的实根，求y＝ax2＋bx＋c的函数式；(2)若y＝ax2＋bx＋c的最大值为正数，求a的取值范围．[解](1)∵ax2＋bx＋c＋2x＞0的解集为(1,3)，∴ax2＋(b＋2)x＋c＝a(x－1)(x－3)且a＜0，ax2＋bx＋c＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①又∵ax2＋bx＋c＋6a＝0化简为ax2－(2＋4a)x＋9a＝0，有两个相等的实根，∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a×9a＝0，即5a2－4a－1＝0，解得a＝－15或a＝1(舍去)．6将a＝－15代入①得y＝－15x2－65x－35.(2)由y＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝ax－1＋2aa2－a2＋4a＋1a及a＜0，可得y的最大值为－a2＋4a＋1a，由－a2＋4a＋1a＞0，a＜0解得a＜－2－3或－2＋3＜a＜0，故当y的最大值为正数时，实数a的取值范围是a＜－2－3或－2＋3＜a＜0.