高一数学宝典：解析几何要点

解析几何1．直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角的范围为[0，π)．(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tanα(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的斜率为k＝y1－y2x1－x2(x1≠x2)；③直线的方向向量a＝(1，k)；④应用：证明三点共线：kAB＝kBC.[问题1](1)直线的倾斜角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？(2)直线xcosθ＋3y－2＝0的倾斜角的范围是________．答案(1)错(2)[0，π6]∪[5π6，π)2．直线的方程(1)点斜式：已知直线过点(x0，y0)，其斜率为k，则直线方程为y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x轴的直线．(2)斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b，它不包括垂直于x轴的直线．(3)两点式：已知直线经过P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点，则直线方程为y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为xa＋yb＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式．[问题2]已知直线过点P(1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________．答案5x－y＝0或x＋y－6＝03．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2；(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝|C1－C2|A2＋B2.[问题3]两平行直线3x＋2y－5＝0与6x＋4y＋5＝0间的距离为________．答案1526134．两直线的平行与垂直①l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.特别提醒：(1)A1A2＝B1B2≠C1C2、A1A2≠B1B2、A1A2＝B1B2＝C1C2仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件；(2)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线．[问题4]设直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m＝________时，l1∥l2；当m＝________时，l1⊥l2；当________时l1与l2相交；当m＝________时，l1与l2重合．答案－112m≠3且m≠－135．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，只有当D2＋E2－4F0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0才表示圆心为(－D2，－E2)，半径为12D2＋E2－4F的圆．[问题5]若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a＝________.答案－16．直线、圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ0⇔相交；Δ0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr⇔相交；dr⇔相离；d＝r⇔相切．(2)圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则①当|O1O2|r1＋r2时，两圆外离；②当|O1O2|＝r1＋r2时，两圆外切；③当|r1－r2||O1O2|r1＋r2时，两圆相交；④当|O1O2|＝|r1－r2|时，两圆内切；⑤当0≤|O1O2||r1－r2|时，两圆内含．[问题6]双曲线x2a2－y2b2＝1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为________．答案内切7．对圆锥曲线的定义要做到“咬文嚼字”，抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支．在抛物线的定义中必须注意条件：Fl，否则定点的轨迹可能是过点F且垂直于直线l的一条直线．[问题7]已知平面内两定点A(0,1)，B(0，－1)，动点M到两定点A、B的距离之和为4，则动点M的轨迹方程是________．答案x23＋y24＝18．求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数．(1)椭圆标准方程：焦点在x轴上，x2a2＋y2b2＝1(ab0)；焦点在y轴上，y2a2＋x2b2＝1(ab0)．(2)双曲线标准方程：焦点在x轴上，x2a2－y2b2＝1(a0，b0)；焦点在y轴上，y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1具有共同渐近线的双曲线系为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(4)抛物线标准方程焦点在x轴上：y2＝±2px(p0)；焦点在y轴上：x2＝±2py(p0)．[问题8]与双曲线x29－y216＝1有相同的渐近线，且过点(－3,23)的双曲线方程为________．答案4x29－y24＝19．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切．在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]或|P1P2|＝1＋1k2[y1＋y22－4y1y2].(3)过抛物线y2＝2px(p0)焦点F的直线l交抛物线于C(x1，y1)、D(x2，y2)，则(1)焦半径|CF|＝x1＋p2；(2)弦长|CD|＝x1＋x2＋p；(3)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.[问题9]已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．答案54解析∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋12＝3，∴xA＋xB＝52.∴线段AB的中点到y轴的距离为xA＋xB2＝54.易错点1直线倾斜角与斜率关系不清致误例1已知直线xsinα＋y＝0，则该直线的倾斜角的变化范围是__________．错解由题意得，直线xsinα＋y＝0的斜率k＝－sinα，∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，直线的倾斜角的变化范围是π4，34π.找准失分点直线斜率k＝tanβ(β为直线的倾斜角)在[0，π)上是不单调的且不连续．正解由题意得，直线xsinα＋y＝0的斜率k＝－sinα，∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，当－1≤k0时，倾斜角的变化范围是34π，π；当0≤k≤1时，倾斜角的变化范围是0，π4.故直线的倾斜角的变化范围是0，π4∪34π，π.答案0，π4∪34π，π易错点2忽视斜率不存在情形致误例2已知直线l1：(t＋2)x＋(1－t)y＝1与l2：(t－1)x＋(2t＋3)y＋2＝0互相垂直，则t的值为________．错解直线l1的斜率k1＝－t＋21－t，直线l2的斜率k2＝－t－12t＋3，∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即－t＋21－t·－t－12t＋3＝－1，解得t＝－1.找准失分点(1)盲目认为两直线的斜率存在，忽视对参数的讨论．(2)忽视两直线有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直这一情形．正解方法一(1)当l1，l2的斜率都存在时，由k1·k2＝－1得，t＝－1.(2)若l1的斜率不存在，此时t＝1，l1的方程为x＝13，l2的方程为y＝－25，显然l1⊥l2，符合条件；若l2的斜率不存在，此时t＝－32，易知l1与l2不垂直，综上t＝－1或t＝1.方法二l1⊥l2⇔(t＋2)(t－1)＋(1－t)(2t＋3)＝0⇔t＝1或t＝－1.答案－1或1易错点3忽视“判别式”致误例3已知双曲线x2－y22＝1，过点A(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．错解1设被A(1,1)所平分的弦所在直线方程为y＝k(x－1)＋1.代入双曲线方程x2－y22＝1，整理得(2－k2)x2＋2k(k－1)x－3＋2k－k2＝0，设直线与双曲线交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝2kk－1k2－2，点A(1,1)是弦中点，则x1＋x22＝1.∴kk－1k2－2＝1，解得k＝2，故所求直线方程为2x－y－1＝0.错解2设符合题意的直线l存在，并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x21－y212＝1①x22－y222＝1②式①－②得(x1－x2)(x1＋x2)＝12(y1－y2)(y1＋y2)③因为A(1,1)为线段PQ的中点，所以x1＋x2＝2④y1＋y2＝2⑤将式④、⑤代入式③，得x1－x2＝12(y1－y2)．若x1≠x2，则直线l的斜率k＝y1－y2x1－x2＝2.所以符合题设条件的直线的方程为2x－y－1＝0.找准失分点没有判断直线2x－y－1＝0与双曲线是否相交．正解1设被A(1,1)所平分的弦所在直线方程为y＝k(x－1)＋1.代入双曲线方程x2－y22＝1，整理得，(2－k2)x2＋2k(k－1)x－3＋2k－k2＝0，由Δ＝4k2(k－1)2－4(2－k2)(2k－3－k2)0，解得k32.设直线与双曲线交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝2kk－1k2－2，点A(1,1)是弦中点，则x1＋x22＝1.∴kk－1k2－2＝1，解得k＝232，故不存在被点A(1,1)平分的弦．正解2设符合题意的直线l存在，并设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则x21－y212＝1①x22－y222＝1②式①－②得(x1－x2)(x1＋x2)＝12(y1－y2)(y1＋y2)③因为A(1,1)为线段PQ的中点，所以x1＋x2＝2④y1＋y2＝2⑤将式④、⑤代入式③，得x1－x2＝12(y1－y2)．若x1≠x2，则直线l的斜率k＝y1－y2x1－x2＝2.所以直线l的方程为2x－y－1＝0，再由y＝2x－1x2－y22＝1，得2x2－4x＋3＝0.根据Δ＝－80，所以所求直线不存在．1．(2014·安徽)过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A.0，π6B.0，π3C.0，π6D.0，π3答案D解析方法一如图，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.由题意知|OP|＝2，OA＝1，则sinα＝12，所以α＝30°，∠BPA＝60°.故直线l的倾斜角的取值范围是0，π3.故D.方法二设过点P的直线方程为y＝k(x＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k－1|1＋k2≤1.解得0≤k≤3.故直线l的倾斜角的取值范围是[0，π3]．2．(2014·广东)若实数k满足0k9，则曲线x225－y29－k＝1与曲线x2