高一数学宝典：三角函数、解三角形、平面向量要点

三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P(x，y)是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r＝x2＋y20，那么sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关．[问题1]已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sinα＋cosα的值为________．答案－152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝sinαcosα.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限－απ－απ＋α2π－απ2－αsin－sinαsinα－sinα－sinαcosαcoscosα－cosα－cosαcosαsinα[问题2]cos9π4＋tan－7π6＋sin21π的值为___________________________．答案22－333．三角函数的图象与性质(1)五点法作图；(2)对称轴：y＝sinx，x＝kπ＋π2，k∈Z；y＝cosx，x＝kπ，k∈Z；对称中心：y＝sinx，(kπ，0)，k∈Z；y＝cosx，kπ＋π2，0，k∈Z；y＝tanx，kπ2，0，k∈Z.(3)单调区间：y＝sinx的增区间：－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)，减区间：π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)；y＝cosx的增区间：[]－π＋2kπ，2kπ(k∈Z)，减区间：[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)；y＝tanx的增区间：－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)．(4)周期性与奇偶性：y＝sinx的最小正周期为2π，为奇函数；y＝cosx的最小正周期为2π，为偶函数；y＝tanx的最小正周期为π，为奇函数．易错警示：求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误：(1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反；(2)忘掉写＋2kπ，或＋kπ等，忘掉写k∈Z；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为0，π2.[问题3]函数y＝sin－2x＋π3的递减区间是________．答案kπ－π12，kπ＋512π(k∈Z)4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ――→令α＝βsin2α＝2sinαcosα.cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ――→令α＝βcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2，tan2α＝2tanα1－tan2α.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－β－π4，α＝α＋π4－π4.[问题4]已知α，β∈3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－π4＝1213，则cosα＋π4＝________.答案－56655．解三角形(1)正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(ⅱ)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(ⅲ)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC中AB⇔sinAsinB.(2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状．[问题5]在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝60°，则B＝________.答案45°6．向量的平行与垂直设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，则a∥b⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0.a⊥b(a≠0)⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．[问题6]下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.其中正确命题是________．答案④7．向量的数量积|a|2＝a2＝a·a，a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2，cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22，a在b上的投影＝|a|cos〈a，b〉＝a·b|b|＝x1x2＋y1y2x22＋y22.注意：〈a，b〉为锐角⇔a·b0且a、b不同向；〈a，b〉为直角⇔a·b＝0且a、b≠0；〈a，b〉为钝角⇔a·b0且a、b不反向．易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．[问题7]已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影为________．答案1258．当a·b＝0时，不一定得到a⊥b，当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)c与a(b·c)不一定相等，(a·b)c与c平行，而a(b·c)与a平行．[问题8]下列各命题：①若a·b＝0，则a、b中至少有一个为0；②若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；③对任意向量a、b、c，有(a·b)c≠a(b·c)；④对任一向量a，有a2＝|a|2.其中正确命题是________．答案④9．几个向量常用结论：①PA→＋PB→＋PC→＝0⇔P为△ABC的重心；②PA→·PB→＝PB→·PC→＝PC→·PA→⇔P为△ABC的垂心；③向量λ(AB→|AB→|＋AC→|AC→|)(λ≠0)所在直线过△ABC的内心；④|PA→|＝|PB→|＝|PC→|⇔P为△ABC的外心．易错点1图象变换方向或变换量把握不准致误例1要得到y＝sin(－3x)的图象，需将y＝22(cos3x－sin3x)的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)．错解右π4或右π12找准失分点y＝22(cos3x－sin3x)＝sinπ4－3x＝sin－3x－π12.题目要求是由y＝sin－3x＋π4→y＝sin(－3x)．右移π4平移方向和平移量都错了；右移π12平移方向错了．正解y＝22(cos3x－sin3x)＝sinπ4－3x＝sin－3x－π12，要由y＝sin－3x－π12得到y＝sin(－3x)只需对x加上π12即可，因而是对y＝22(cos3x－sin3x)向左平移π12个单位．答案左π12易错点2忽视隐含条件的挖掘致误例2已知cosα＝17，sin(α＋β)＝5314，0απ2，0βπ2，求cosβ.错解由0απ2，0βπ2，得0α＋βπ，则cos(α＋β)＝±1114.由cosα＝17，0απ2，得sinα＝437.故cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝7198或12.找准失分点由0α＋βπ，且sin(α＋β)＝531432，∴0α＋βπ3或2π3α＋βπ，又cosα＝1712，∴π3απ2，即α＋β∈2π3，π，∴cos(α＋β)＝－1114.正解∵0απ2且cosα＝17cosπ3＝12，∴π3απ2，又0βπ2，∴π3α＋βπ，又sin(α＋β)＝531432，∴2π3α＋βπ.∴cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1114，sinα＝1－cos2α＝437.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝12.易错点3忽视向量共线致误例3已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________．错解∵cosθ＝a·b|a|·|b|＝2λ＋15·λ2＋1.因θ为锐角，有cosθ0，∴2λ＋15·λ2＋10⇒2λ＋10，得λ－12，λ的取值范围是－12，＋∞.找准失分点θ为锐角，故0cosθ1，错解中没有排除cosθ＝1即共线且同向的情况．正解由θ为锐角，有0cosθ1.又∵cosθ＝a·b|a|·|b|＝2λ＋15·λ2＋1，∴02λ＋15·λ2＋1≠1，∴2λ＋10，2λ＋1≠5·λ2＋1，解得λ－12，λ≠2.∴λ的取值范围是λ|λ－12且λ≠2.答案λ|λ－12且λ≠21．(2014·大纲全国)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝()A.45B.35C．－35D．－45答案D解析因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5，所以cosα＝xr＝－45.2．(2014·大纲全国)设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则()A．abcB．bcaC．cbaD．cab答案C解析∵a＝sin33°，b＝cos55°＝sin35°，c＝tan35°＝sin35°cos35°，又0cos35°1，∴cba.3．已知sinθ＋cosθ＝43(0θπ4)，则sinθ－cosθ的值为()A.23B．－23C.13D．－13答案B解析∵sinθ＋cosθ＝43，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝169，∴sin2θ＝79，又0θπ4，∴sinθcosθ.∴sinθ－cosθ＝－sinθ－cosθ2＝－1－sin2θ＝－23.4．已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是()A．[2－1，2＋1]B．[2－1，2＋2]C．[1，2＋1]D．[1，2＋2]答案A解析∵a·b＝0，且a，b是单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又∵|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1，∴2c·(a＋b)＝c2＋1.∵|a|＝|b|＝1且a·b＝0，∴|a＋b|＝2，∴c2＋1＝22|c|cosθ(θ是c与a＋b的夹角)．又－1≤cosθ≤1，∴0c2＋1≤22|c|，∴c2－22|c|＋1≤0，∴2－1≤|c|≤2＋1.5.函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A，φ∈R)的部分图象如图所示，那么f(0)等于()A．－12B．－1C．－32D．－3答案B解析由题图可知，函数的最大值为2，因此A＝2.又因为函数经过点π3，2，则2sin2×π3＋φ＝2，即2×π3＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，得φ＝－π6＋2kπ，k∈Z.f(0)＝2sinφ＝2sin－π6＋2kπ＝－1.6．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为()A.32B.22C.12D．－12答案C解析∵cosC＝a2＋b2－c22ab＝c22ab，又∵a2＋b2≥2ab，∴2ab≤2c2.∴cosC≥12.∴cosC的最小值为12.7．(2014·山东)在△ABC中，已知AB→·AC→＝tanA，当A＝π6时，△ABC的面积为________．答案16解析已知A＝π6，由题意得|AB→||AC→|cosπ6＝tanπ6，|AB→||AC→|＝23，所以△ABC的面积S＝12|AB→||AC→|sinπ6＝12×23×12＝16.8．(2014·江苏)已知函数y＝cosx与y＝sin(2x＋φ)(0≤φπ)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是______