第12讲-二次函数

第12讲二次函数第12讲┃二次函数考点1二次函数的图象与性质┃考点自主梳理与热身反馈┃1．抛物线y＝x＋22－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是()A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位B第12讲┃二次函数2．对于二次函数y＝2x＋1x－3，下列说法正确的是()A．图象的开口向下B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x＝－1C【归纳总结】函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)a0a0图象开口方向抛物线开口向上，并向上无限延伸抛物线开口向下，并向下无限延伸第12讲┃二次函数函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)对称轴直线x＝－b2a直线x＝－b2a顶点坐标－b2a，4ac－b24a－b2a，4ac－b24a增减性在对称轴的左侧，即当x－b2a时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x－b2a时，y随x的增大而增大，简记左减右增在对称轴的左侧，即当x－b2a时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x－b2a时，y随x的增大而减小，简记左增右减第12讲┃二次函数函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)最值抛物线有最低点，当x＝－b2a时，y有最小值，y最小值＝___________抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，y最大值＝___________二次项系数a的特性|a|的大小决定抛物线的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大常数项c的意义c是抛物线与y轴交点的纵坐标，即x＝0时，y＝c第12讲┃二次函数4ac－b24a4ac－b24a抛物线的平移规律：将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如下：第12讲┃二次函数任选以下三个条件中的一个，求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式．①y随x变化的部分数值规律如下表：x－10123y03430②有序数对(－1，0)，(1，4)，(3，0)满足y＝ax2＋bx＋c；③已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分(如图12－1所示)．考点2二次函数的解析式第12讲┃二次函数解：方法一：由①可得c＝3，a－b＋c＝0，a＋b＋c＝4，∴a＝－1，b＝2，c＝3.∴二次函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.方法二：由②可得a－b＋c＝0，a＋b＋c＝4，9a＋3b＋c＝0.解之得a＝－1，b＝2，c＝3.∴二次函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.方法三：由图象可得c＝3，a－b＋c＝0，－b2a＝1，解之得a＝－1，b＝2，c＝3.∴二次函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.第12讲┃二次函数【归纳总结】1．当已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为__________________，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解．2．当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点的坐标时，通常设函数解析式为______________________来求解．3．当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常设函数解析式为交点式______________________来求解．第12讲┃二次函数y＝ax2＋bx＋cy＝a(x－h)2＋ky＝a(x－x1)(x－x2)1．抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点个数是()A．3B．2C．1D．02．如图12－2，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(1，－2)，该图象与x轴的另一个交点为C，则AC的长为________．考点3二次函数与一元二次方程的关系第12讲┃二次函数A3【归纳总结】1．抛物线与x轴的交点和一元二次方程的根之间的关系：如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标即为方程________________的解．2．由抛物线与x轴的位置关系判断一元二次方程的根的情况：(1)当抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点时，方程ax2＋bx＋c＝0有______________实根；(2)当抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有一个交点时，方程ax2＋bx＋c＝0有____________实根；(3)当抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点时，方程ax2＋bx＋c＝0________实根．第12讲┃二次函数ax2＋bx＋c＝0两个不相等的两个相等的没有1．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是()A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒考点4二次函数的应用第12讲┃二次函数B2．如图12－3，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y(平方厘米)与时间t(秒)之间的函数关系式为______________．第12讲┃二次函数y＝12(20－2t)2[解析]由题知AM＝20－2t，则重叠部分面积y＝12×AM2＝12(20－2t)2，即y＝12(20－2t)2.第12讲┃二次函数【归纳总结】利用二次函数解决实际问题中的最值问题一般先根据题意建立二次函数关系式，并确定__________的取值范围，然后利用________法求出何时获得最值，从而使问题得以解决．第12讲┃二次函数自变量配方┃考向互动探究与方法归纳┃探究一二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系例1已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图12－4所示，则下列结论中正确的是()A．a0B．b＜0C．c＜0D．a＋b＋c0D第12讲┃二次函数[解析]∵抛物线的开口向下，∴a＜0.又∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴a，b异号，∴b＞0.又∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0.又x＝1时，对应的函数值在x轴上方，即x＝1时，y＝ax2＋bx＋c＝a＋b＋c＞0.所以A，B，C选项都错，只有选项D正确．第12讲┃二次函数[中考点金]此类问题突出体现了数形结合思想，注意二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数符号与图象之间的关系：a＞0，开口向上，a＜0，开口向下．对称轴为直线x＝－b2a，a，b同号，对称轴在y轴的左侧；a，b异号，对称轴在y轴的右侧．抛物线与y轴的交点为(0，c)，c＞0，与y轴正半轴相交；c＜0，与y轴负半轴相交；c＝0，过原点．除此之外，还要注意当x＝±1时的函数值、与x轴的交点等问题．第12讲┃二次函数变式题如图12－5所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b2－4ac0；(2)c1；(3)2a－b0；(4)a＋b＋c0.你认为其中错误．．的有()A．2个B．3个C．4个D．1个D第12讲┃二次函数探究二利用二次函数求最值问题例2如图12－6，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD＝4cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x(s)，△PBQ的面积为y(cm2)．(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的面积的最大值．第12讲┃二次函数[解析]先根据三角形的面积公式列出y关于x的函数关系式，然后运用配方法把函数化成顶点式，再根据x的取值范围求所得函数的最大值，进而解决问题．第12讲┃二次函数解：(1)∵S△PBQ＝12PB·BQ，PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x，∴y＝12(18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0x≤4)．(2)由(1)知y＝－x2＋9x，∴y＝－x－922＋814.∵当0x≤4时，y随x的增大而增大，∴当x＝4时，y最大值＝20，即△PBQ的最大面积是20cm2.第12讲┃二次函数[中考点金]在求最值时，注意结合二次函数的图象和性质及自变量的取值范围．第12讲┃二次函数变式题某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元)，设每件商品的售价上涨x元(x为整数)，每个月的销售利润为y元．(1)求y与x之间的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润？最大利润是多少？第12讲┃二次函数解:(1)根据题意，y＝(60－50＋x)(200－10x)，整理得，y＝－10x2＋100x＋2000(0x≤12)．(2)y＝－10x2＋100x＋2000＝－10(x－5)2＋2250，所以当x＝5时，最大月利润y＝2250元．即当每件商品的售价定为65元时每个月可获得最大利润，最大利润是2250元．第12讲┃二次函数探究三二次函数与一次函数的综合应用例3如图12－7，二次函数y＝x－22＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥x－22＋m的x的取值范围．第12讲┃二次函数[解析](1)把A(1，0)代入y＝(x－2)2＋m，解得m即可写出二次函数解析式，点C的坐标(0，4＋m)，再由点B，点C关于该抛物线的对称轴对称，可得点B的坐标，直线AB的解析式可求；(2)由点B向x轴作垂线，当1≤x≤4时，直线AB上的对应点在抛物线的上方，即kx＋b≥(x－2)2－1.第12讲┃二次函数解：(1)由题意，得(1－2)2＋m＝0，解得m＝－1.∴二次函数解析式为y＝(x－2)2－1.当x＝0时，y＝(0－2)2－1＝3，∴C(0，3)．∵点B与点C关于直线x＝2对称，∴B(4，3)，于是有0＝k＋b，3＝4k＋b，解得k＝1，b＝－1，∴一次函数解析式为y＝x－1.(2)x的取值范围是1≤x≤4.第12讲┃二次函数[中考点金]二次函数与一次函数的综合关键要注意交点问题，由交点可求函数解析式，由交点可判断函数值的大小．第12讲┃二次函数变式题已知直线y＝2x－5与x轴和y轴分别交于点A和点B，物线y＝－x2＋bx＋c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N.(1)如图①，当顶点M与点A重合时，求：①抛物线的解析式；②点N的坐标和线段MN的长；(2)抛物线y＝－x2＋bx＋c在直线AB上平移，是否存在顶点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出顶点M的坐标；若不存在，请说明理由．第12讲┃二次函数解：(1)①∵直线y＝2x－5与x轴和y轴分别交于点A和点B，∴A52，0，B(0，－5)．当顶点M与点A重合时，M52，0，∴抛物线的解析式是y＝－x－522，即y＝－x2＋5x－254.第12讲┃二次函数②∵N在直线y＝2x－5上，设N(a，2a－5)．又N在抛物线y＝－x2＋5x－254上，∴2a－5＝－a2＋5a－254，解得a1＝12，a2＝52(舍去)．∴点N的坐标为12，－4.过N作NC⊥x轴，垂足为C，∵N12，－4，∴C12，0，∴NC＝4，MC＝MO－OC＝52－12＝2.∴MN＝NC2＋MC2＝42＋22＝25.(2)存在，M1(2，－1)，M2(4，3)．第12讲┃二次函数┃考题自主训练与名师预测┃1．若y＝(m＋1)xm2－6m－5是二次函数