专题7.1 不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用(原卷版)

第七章不等式专题1不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用（理科）【三年高考】1.【2017山东，理7】若0ab，且1ab，则下列不等式成立的是（A）21log2abaabb（B）21log2ababab（C）21log2abaabb（D）21log2ababab2.【2017天津，理8】已知函数23,1,()2,1.xxxfxxxx设aR，若关于x的不等式()||2xfxa在R上恒成立，则a的取值范围是（A）47[,2]16（B）4739[,]1616（C）[23,2]（D）39[23,]163.【2017天津，理12】若,abR，0ab，则4441abab的最小值为___________.4．【2016高考新课标1卷】若101abc，,则()（A）ccab（B）ccabba（C）loglogbaacbc（D）loglogabcc5.【2016高考浙江理数】已知实数a，b，c（）A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2100B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2100C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2100D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c21006．【2016高考上海理数】设xR,则不等式13x的解集为__________.7．【2015高考江苏，7】不等式224xx的解集为________.8.【2015高考湖北，理10】设xR，[]x表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得[]1t，2[]2t，…，[]ntn同时成立．．．．，则正整数n的最大值是（）A．3B．4C．5D．69.【2015高考四川，理9】如果函数21281002fxmxnxmn，在区间122，上单调递减，则mn的最大值为（）（A）16（B）18（C）25（D）812【2017考试大纲】1.不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式；(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.3．基本不等式：2abab（0a，0b）(1)了解基本不等式的证明过程.(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题,对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查，主要考查不等式性质、不等关系、二次不等式解法、基本不等式及其应用，高考中一般会以小题形式形式考查，个别省市在大题中考查不等式的应用．学科-网【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出,不等式是中学数学的主体内容之一,是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具,因而是数学高考命制能力题的重要版块.在近年来的高考数学中,有关不等式的试题都占有较大的比重.不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的能力.在题型上,选择题、填空题主要考查不等式的性质、解简单不等式、绝对值不等式、简单转化求参数范围、比较大小等;解答题主要考查基本不等式的应用、含参不等式的解法、求恒成立中的参数范围、证明不等式、最值型综合题以及实际应用题等.试题常常是不等式的证明、解不等式、求参数范围于函数、数列、复数、三角、解析几何、立体几何、实际应用等问题之中,知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高,是高考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地.从近几年数学试题得到启示：涉及不等式解法的题目，往往较为容易；对基本不等式的考查，较多的寓于综合题目之中.因此，在2017年复习备考中，要注意不等式性质运用的条件，以及与函数交汇考查单调性，对不等关系，要培养将实际问题抽象为不等关系的能力，从而利用数学的方法解决，对不等式解法主要是二次不等式的解法，往往与集合知识交汇考查，注意含参数的二次不等式的解法.对基本不等式及其应用，会涉及求函数的最值问题，或者将实际问题抽象出数学最优化问题，利用基本不等式求解．不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的不等式，函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题，问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高．预测2018年可能有一道选择或者填空出现，考查不等式的解法，或不等式的性质，或基本不等式，可能与导数结合出一道解答题．【2018年高考考点定位】高考对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查有以下几种主要形式：一是考查不等式的性质；二是不等式关系；三是不等式解法；四是基本不等式及应用，其中经常与函数、方程等知识的相联系．【考点1】不等式性质【备考知识梳理】1．不等式的基本性质：（1）abba（2）,abbcac（3）abcacb，abacbc（4）000cacbcabcacbccacbc2．不等式的运算性质：（１）加法法则：,abcdacbd（２）减法法则：,abcdadbc，（３）乘法法则：0,00abcdacbd（４）除法法则：0,00ababcddc，（５）乘方法则：00(,2)nnababnNn[来源:Zxxk.Com]（６）开方法则：00(,2)nnababnNn【规律方法技巧】1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．【考点针对训练】1.【贵州省遵义市2017届高三第一次联考】已知110ab，给出下列四个结论：①ab②abab③ab④2abb其中正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④2.【重庆市第八中学2017届高三第二次适应性考试】已知下列四个关系：①22abacbc；②11abab；③0ab，0cdabdc；④1ab，0cccab．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点2】不等关系【备考知识梳理】在日常生产生活中,不等关系更为普遍,利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系，再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等，用数学中的不等式表示这些不等关系，建立数学模型，利用数学知识解决现实生活的不等关系.【规律方法技巧】区分不等关系与不等式的异同，不等关系强调的是关系，可用符号,，,,表示，而不等式则是表现两者的不等关系，可用,aabbbbb，a,a,a等式子表示，不等关系是通过不等式表现．【考点针对训练】1.【福建省2017届高三毕业班总复习过关测试】若7,340PaaQaaa，则,PQ的大小关系为()A..PQB.PQC.PQD.由a的取值确定2.【河南省郑州市第一中学2017届高三期中】设25log3log4ln311,,333abc，则,,abc的大小关系是（）A．cabB．abcC．cbaD．acb【考点3】一元二次不等式解法【备考知识梳理】对于一元二次方程20(0)axbxca的两根为12xx、且12xx，设acb42，它的解按照0，0，0可分三种情况，相应地，二次函数2yaxbxc(0)a的图像与x轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20axbxc(0)a或20axbxc(0)a的解集.[来源:学科网]24bac000二次函数cbxaxy2（0a）的图象20(0)axbxca的根有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx[来源:Z|xx|k.Com]【规律方法技巧】1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.【考点针对训练】1.【安徽师范大学附属中学2017届高三期中】已知不等式250axxb的解集为{|32}xx,则不等式250bxxa的解集为.2.【江苏省苏北三市2017届三模】已知对于任意的,15,x，都有2220xaxa，则实数a的取值范围是____．【考点4】基本不等式及应用【备考知识梳理】1、如果,Rab，那么222abab（当且仅当ab时取等号“=”）推论：22ab2ab（,Rab）2、如果0a，0b,则2abab，（当且仅当ab时取等号“=”）.推论：2ab()2ab（0a，0b）；222()22abab3、222(0,0)1122ababababab【规律方法技巧】1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．2.在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.【考点针对训练】1.【山东省滨州市2016-2017学年高三期中】设正实数x，y满足4xyxy，则xy的最小值是．2.【天津市耀华中学2017届高三一模】已知ab，二次三项式220axxb对于一切实数恒成立，又0Rx，使20020axxb，则22abab的最小值为__________．【应试技巧点拨】1．使用均值不等式求最值时，注意在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.2．基本不等式及其变式中的条件要准确把握．如222abab(,abR)，2abab(,abR)等．3.利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时，注意观察其是否具有“和为定值”“积为定值”的结构特点．在具体题目中，一般很少直接考查基本不等式的应用，而是需要将式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式得出最值．即应用基本不等式，应注意“一正、二定、三相等”，缺一不可.灵活的通过“拆、凑、代（换）”，创造应用不等式的条件，是解答此类问题的技巧;忽视等号成立的条件，是常见错误之一.3.求解含参不等式