2016高中数学 第二章 函数测试题 北师大版必修1

第二章测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中，在(－∞，0)上为递增的是()A．f(x)＝－2x＋1B．g(x)＝|x－1|C．y＝1xD．y＝－1x[答案]D[解析]熟悉简单函数的图像，并结合图像判断函数单调性，易知选D.2．下列四个图像中，表示的不是函数图像的是()[答案]B[解析]选项B中，当x取某一个值时，y可能有2个值与之对应，不符合函数的定义，它不是函数的图像．3．函数f(x)＝x－2＋1x－3的定义域是()A．[2,3)B．(3，＋∞)C．[2,3)∪(3，＋∞)D．(2,3)∪(3，＋∞)[答案]C[解析]要使函数有意义，x需满足x－2≥0x－3≠0解得x≥2且x≠3.故选C.4．二次函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值情况是()A．最小值是8，无最大值B．最大值是－2，无最小值C．最大值是8，无最小值D．最小值是－2，无最大值[答案]C[解析]因为二次函数开口向下，所以当x＝－1时，函数有最大值8，无最小值．5．已知A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b是从A到B的映射，若1和8的原像分别是3和10，则5在f作用下的像是()A．3B．4C．5D．6[答案]A[解析]由已知可得3a＋b＝1，10a＋b＝8，解得a＝1b＝－2.于是y＝x－2，因此5在f下的像是5－2＝3.6．若函数f(x)＝x＋1，x≥0，fx＋，x0，那么f(－3)的值为()A．－2B．2C．0D．1[答案]B[解析]依题意有f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1＋1＝2，即f(－3)＝2.7．不论m取何值，二次函数y＝x2＋(2－m)x＋m的图像总过的点是()A．(1,3)B．(1,0)C．(－1,3)D．(－1,0)[答案]A[解析]由题意知x2＋2x－y＋m(1－x)＝0恒成立，∴x2＋2x－y＝01－x＝0，解得x＝1y＝3，∴图像总过点(1,3)．8．定义在R上的偶函数f(x)在区间[－2，－1]上是增函数，将f(x)的图像沿x轴向右平移2个单位，得到函数g(x)的图像，则g(x)在下列区间上一定是减函数的是()A．[3,4]B．[1,2]C．[2,3]D．[－1,0][答案]A[解析]偶函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，则在[1,2]上为减函数，f(x)向右平移2个单位后在[3,4]上是减函数．9．若函数f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上单调递减，则()A．f(3)＋f(4)0B．f(－3)－f(－2)0C．f(－2)＋f(－5)0D．f(4)－f(－1)0[答案]D[解析]由题意知函数f(x)在[0,6]上递增．A中f(3)＋f(4)与0的大小不定，A错；B中f(－3)－f(－2)＝f(3)－f(2)0，B错；C中f(－2)＋f(－5)＝f(2)＋f(5)与0的大小不定，C错；D中f(4)－f(－1)＝f(4)－f(1)0，D正确．10．若函数y＝kx＋5kx2＋4kx＋3的定义域为R，则实数k的取值范围为()A．(0，34)B．(34，＋∞)C．(－∞，0)D．[0，34)[答案]D[解析]∵函数的定义域为R，∴kx2＋4kx＋3恒不为零，则k＝0时，成立；k≠0时，Δ0，也成立．∴0≤k34.11．函数y＝ax2－bx＋c(a≠0)的图像过点(－1,0)，则ab＋c＋ba＋c－ca＋b的值是()A．－1B．1C.12D．－12[答案]A[解析]∵函数y＝ax2－bx＋c(a≠0)的图像过(－1,0)点，则有a＋b＋c＝0，即a＋b＝－c，b＋c＝－a，a＋c＝－b.∴ab＋c＋ba＋c－ca＋b＝－1.12．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)f13的x的取值范围是()A.13，23B.13，23C.12，23D.12，23[答案]A[解析]由题意得|2x－1|13⇒－132x－113⇒232x43⇒13x23，∴选A.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．将二次函数y＝x2＋1的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数的解析式是________．[答案]y＝x2＋4x＋2[解析]y＝(x＋2)2＋1－3＝(x＋2)2－2＝x2＋4x＋2.14．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.[答案]0[解析]本题考查偶函数的定义等基础知识．∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即x2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，∴|x－a|＝|x＋a|，平方，整理得：ax＝0，要使x∈R时恒成立，则a＝0.15．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)231x123g(x)321则f[g(1)]的值为________；当g[f(x)]＝2时，x＝________.[答案]11[解析]f[g(1)]＝f(3)＝1，∵g[f(x)]＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.16．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如：解析式为y＝2x2＋1，值域为{9}的“孪生函数”有三个：①y＝2x2＋1，x∈{－2}；②y＝2x2＋1，x∈{2}；③y＝2x2＋1，x∈{－2,2}．那么函数解析式为y＝2x2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有________个．[答案]3[解析]根据定义，满足函数解析式为y＝2x2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有：y＝2x2＋1，x∈{0，2}；y＝2x2＋1，x∈{0，－2}，y＝2x2＋1，x∈{－2，0，2}共3个．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知f(x)＝x2|x|≤11|x|1，(1)画出f(x)的图像；(2)求f(x)的定义域和值域．[分析]解答本题可分段画出图像，再结合图像求函数值域．[解析](1)利用描点法，作出f(x)的图像，如图所示．(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图像知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x1或x－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－3,3]．(1)当a＝－5时，求f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－3,3]上是单调函数．[解析](1)当a＝－5时，f(x)＝x2＋10x＋2＝(x＋5)2－23，x∈[－3,3]，又因为二次函数开口向上，且对称轴为x＝－5，所以当x＝－3时，f(x)min＝－19，当x＝3时，f(x)max＝41.(2)函数f(x)＝(x－a)2＋2－a2的图像的对称轴为x＝a，因为f(x)在[－3,3]上是单调函数，所以a≤－3或a≥3.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1a－1x(a0，x0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增加的；(2)若f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，求a的值．[解析](1)设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1x2.则f(x1)－f(x2)＝(1a－1x1)－(1a－1x2)＝1x2－1x1＝x1－x2x1x2.∵0x1x2，∴x1－x20，x1x20.∴x1－x2x1x20.∴f(x1)f(x2)．∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增加的．(2)∵f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，又∵f(x)在[12，2]上是增加的，∴f12＝12，f＝2，即1a－2＝121a－12＝2.∴a＝25.20．(本小题满分12分)已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2x2，x∈Z}，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域．[解析]由{x|－2x2，x∈Z}＝{－1,0,1}．(1)由－2m2－m＋30，∴2m2＋m－30，∴－32m1，∴m＝－1或0.由(2)知f(x)是奇函数．当m＝－1时，f(x)＝x2为偶函数，舍去．当m＝0时，f(x)＝x3为奇函数．∴f(x)＝x3.当x∈[0,3]时，f(x)在[0,3]上为增函数，∴f(x)的值域为[0,27]．21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．(1)证明：f(x)是偶函数；(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；(3)求函数的值域．[解析](1)证明：∵定义域关于原点对称，f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)当x≥0时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，即f(x)＝x－2－2，x≥0，x＋2－2，x0.根据二次函数的作图方法，可得函数图像，如图函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f(x)在区间[－3，－1)，[0,1]上为减函数，在[－1,0)，[1,3]上为增函数．(3)当x≥0时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2.当x0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2.故函数f(x)的值域为[－2,2]．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x＋x3，x∈R.(1)判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；(2)若a，b∈R，且a＋b0，试比较f(a)＋f(b)与0的大小．[解析](1)函数f(x)＝x＋x3，x∈R是增函数，证明如下：任取x1，x2∈R，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋x31)－(x2＋x32)＝(x1－x2)＋(x31－x32)＝(x1－x2)(x21＋x1x2＋x22＋1)＝(x1－x2)[(x1＋12x2)2＋34x22＋1]．因为x1x2，所以x1－x20，(x1＋12x2)2＋34x22＋10.所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)＝x＋x3，x∈R是增函数．(2)由a＋b0，得a－b，由(1)知f(a)f(－b)，因为f(x)的定义域为R，定义域关于坐标原点对称，又f(－x)＝(－x)＋(－x)3＝－x－x3＝－(x＋x3)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．于是有f(－b)＝－f(b)，所以f(a)－f(b)，从而f(a)＋f(b)0.