2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题26 不等式的性质与一元二次不等式 理(含解析)新人教A

-1-2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题26不等式的性质与一元二次不等式理（含解析）新人教A版【高频考点解读】1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．【热点题型】题型一不等式的性质及应用【例1】若1a＜1b＜0，给出下列不等式：①1a＋b＜1ab；②|a|＋b＞0；③a－1a＞b－1b；④lna2＞lnb2.其中正确的不等式是()A．①④B．②③C．①③D．②④【答案】C【解析】【提分秘籍】判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：(1)不等式两边都乘以一个代数式-2-时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；(3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．【举一反三】(1)若a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是()A.1a－b＞1bB．a2＜abC.|b||a|＜|b|＋1|a|＋1D．an＞bn(2)设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①ca＞cb；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③【答案】(1)C(2)D【解析】题型二一元二次不等式的解法【例2】(1)关于x的不等式x2－2ax－8a20(a0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝()A.52B.72C.154D.152【答案】A【解析】法一由x2－2ax－8a20，得(x＋2a)(x－4a)0，因为a＞0，所以不等式的解集为(－2a，4a)．又不等式的解集为(x1，x2)，-3-所以x1＝－2a，x2＝4a.从而x2－x1＝6a＝15，解得a＝52.法二由条件知，x1和x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，所以(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2＝152.又a＞0，所以a＝52，故选A.【提分秘籍】含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对-4-判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．【举一反三】解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．题型三不等式恒成立问题【例3】设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．【解析】(1)要使mx2－mx－1＜0恒成立，若m＝0，显然－1＜0；若m≠0，-5-则m＜0，Δ＝m2＋4m＜0⇒－4＜m＜0.所以－4＜m≤0.(2)要使f(x)＜－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，即mx－122＋34m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立．有以下两种方法：法一因为x2－x＋1＝x－122＋34＞0，又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜6x2－x＋1.因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m＜67即可．所以，m的取值范围是m|m＜67.【提分秘籍】(1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时，a＞0，Δ＜0.不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b-6-＝0，c＜0；当a≠0时，a＜0，Δ＜0.(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．【举一反三】已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．【解析】因为x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x2＋2x＋ax＞0恒成立，即x2＋2x＋a＞0恒成立．即当x≥1时，a＞－(x2＋2x)恒成立．设g(x)＝－(x2＋2x)，而g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝－3，故a＞－3.所以，实数a的取值范围是{a|a＞－3}．【高考风向标】1.【2015高考山东，理5】不等式152xx的解集是（）（A）（-，4）（B）（-，1）（C）（1，4）（D）（1，5）【答案】A【解析】原不等式同解于如下三个不等式解集的并集;1155()()()152152152xxxIIIIIIxxxxxx【解析】（I）得：1x,解（II）得：14x,解（III）得：x,所以，原不等式的解集为4xx.故选A.2.【2015高考江苏，7】不等式224xx的解集为________.【答案】(1,2).【解析】由题意得：2212xxx，解集为(1,2).3.【2015高考四川，理9】如果函数21281002fxmxnxmn，在-7-区间122，上单调递减，则mn的最大值为（）（A）16（B）18（C）25（D）812【答案】B【解析】4.【2015高考陕西，理9】设()ln,0fxxab，若()pfab，()2abqf，1(()())2rfafb，则下列关系式中正确的是（）A．qrpB．qrpC．prqD．prq【答案】C【解析】()lnpfabab，()ln22ababqf，11(()())lnln22rfafbabab，函数()lnfxx在0,上单调递增，因为2abab，所以()()2abffab，所以qpr，故选C．【高考押题】1．若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是()A.1a－b＞1aB.1a＞1bC．|a|＞|b|D．a2＞b2【答案】A【解析】取a＝－2，b＝－1，则1a－b＞1a不成立，选A.2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的()-8-A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是()A．{a|0＜a＜4}B．{a|0≤a＜4}C．{a|0＜a≤4}D．{a|0≤a≤4}【答案】D【解析】由题意知a＝0时，满足条件．a≠0时，由a＞0，Δ＝a2－4a≤0，得0＜a≤4，所以0≤a≤4.4．若不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝f(－x)的图象为()【答案】B【解析】由题意知a＜0，由根与系数的关系知1a＝－2＋1，－ca＝－2，得a＝－1，c＝－2.所以f(x)＝－x2－x＋2，f(－x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，图象开口向下，与x轴-9-交点为(－1，0)，(2，0)，故选B.5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则()A．c≤3B．3＜c≤6C．6＜c≤9D．c＞9【答案】C【解析】6．函数y＝x2＋x－12的定义域是________．【答案】(－∞，－4]∪[3，＋∞)【解析】由x2＋x－12≥0得(x－3)(x＋4)≥0，∴x≤－4或x≥3.7．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为x|－12＜x＜13，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集是________．【答案】{x|－2＜x＜3}【解析】由题意，知－12和13是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两根且a＜0，所以－12＋13＝－ba－12×13＝2a.解得a＝－12，b＝－2.则不等式2x2＋bx＋a＜0，即2x2－2x－12＜0，其解集为{x|－2＜x＜3}．8．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．【答案】－22，0【解析】二次函数f(x)对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，-10-则f（m）＝m2＋m2－1＜0，f（m＋1）＝（m＋1）2＋m（m＋1）－1＜0，解得－22＜m＜0.9．求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．10．已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．-11-