专题38 基本不等式(解析版)

专题38基本不等式专题知识梳理1．基本不等式如果a、b是正数，那么ab≤a＋b2(当且仅当a＝b时取“＝”)，即两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．2．常用的几个重要不等式(1)a2＋b2≥2ab(a、b∈R)；(2)a＋b2≥ab；(3)ba＋ab≥2(a与b同号)；(4)ab≤_(a＋b2)2(a、b∈R)；(5)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a、b∈(0，＋∞)(两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的大小关系)．3．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2P(简记：积定，和有最小值)．(2)如果和x＋y的定值为S，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值14S2(简记：和定，积有最大值)．考点探究考向1利用基本不等式求最值【例】（2018·江苏卷）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为________．【解析】由角平分线和三角形面积公式得，ABCABDBCDSSS，∴111sin1201sin601sin60222acac,化简得ac=a+c.(方法1)1aca，4a+c=4a+1aa=4a+111aa=4a+11a+1=4（a—1）+11a+5≥124(1)51aa=4+5=9．(方法2)由ac=a+c得，111ac，∴4a+c=(4a+c)11()ac=5+4caac≥5+24caac=9.当且仅当c=2a=3时取等号，则4a+c的最小值为9.题组训练1.设x0，y0，若111xy，则2211xy的最小值是【解析】∵111xy，∴xyxy，∴2211xy=2222222()2xyxyxyxyxy222()221xyxyxyxy，∵x0，y0，∴2xyxyxy2,4xyxy，当且仅当xy时，取等号，∴2211142xy，故2211xy的最小值是122.设x,y为正实数，若2241xyxy，则2xy的最大值是．【解析】∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－32·2xy＝1，∴(2x＋y)2－32·2x＋y22≤1，解之得(2x＋y)2≤85，即2x＋y≤2105.等号当且仅当2x＝y0，即x＝1010，y＝105时成立．3.若不等式220axxb的解集为1{|}xxa，则式子222()ababab最小值为．【解析】由题意知，判别式△=0,即440ab，∴ab=1，且ab，∴2222()4442()4abababababababab．当且仅当4abab即2ab时取“=”号，解得2(12),122ab∴所求式子的最小值为4.4.已知a0，b0，a+b=2，求14ab的最小值．【解析】∵14ab=（14ab）2ab=14(14)2abba=51492222abba．故14ab的最小值是92．5.若,abR，0ab，则4441abab的最小值为___________.【解析】44224141114244abababababababab，前一个等号成立的条件是222,ab后一个等号成立的条件是12ab，两个等号可以同时取得，则当且仅当2222,24ab时取得等号．故所求的最小值为4.6.若实数,xy满足133(0)2xyxx，则313xy的最小值为．【解析】由33xyx得，33xy，故313xy=3y+13y=3y13y+612(3)63yy=2+6=8，当且仅当31y=，4y或2y．当4y时，31(0,)72x，适合题意；当2y时，3152x（舍去）．故313xy的最小值为8．7.已知正数yx,满足x+y=1，则4121xy的最小值为．【解析】∵x+y=1，∴(x+2)+(y+1)=4，∴4141141()1()212121421xyxyxyxy=（）1412141219[41][52](54)42142144yxyxxyxy=+++（）（）．当且仅当41221（）yxxy=，22(1)xy（负值舍去）,解得2133，=xy，上式取等号，故所求的最小值为94．8.设ab0，则的最小值是.【解析】＝＝≥2＋2＝4，当且仅当ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立．如取a＝,b＝满足条件.考向2利用基本不等式求参数的值或取值范围【例】（1）若函数y＝1x－1＋ax(a＞0，x＞1)的最小值为3，则a＝．（2）已知a0，b0，若不等式3a＋1b≥ma＋3b恒成立，则m的最大值为．【解析】（1）∵y＝1x－1＋ax＋a－a＝1x－1＋a(x－1)＋a≥21x－1×a（x－1）＋a＝2a＋a＝3，当且仅当1x－1＝a(x－1)时等号成立．∵a0，∴a＝1.（2）由3a＋1b≥ma＋3b得，m≤(a＋3b)(3a＋1b)＝9ba＋ab＋6，又9ba＋ab＋6≥29＋6＝12，∴m≤12，∴m的最大值为12.题组训练1.若存在正实数x，使得22131xaxx成立，则a的取值范围是.【解析】22131xaxx即22131xaxx，存在x0，使得22131xaxx成立，它等价于max221()31xaxx,由x0，得12xx（当且仅当1x时取等号），∴211313xxxxx11=2+35，即231xxx的最大值为15，∴2115a，解得35a，∴a的取值范围是3(,]5.2.已知关于x的不等式2x＋2x－a≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．【解析】∵2x＋2x－a＝2(x－a)＋2x－a＋2a≥22x－a·2x－a＋2a＝4＋2a，211aabaab211aabaab211()aabababaab11()()abaababaab222由题意知4＋2a≥7，得a≥32，∴实数a的最小值为32.3.已知任意非零实数x，y满足3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)恒成立，则实数λ的最小值为．【解析】∵x2＋y20，∴3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)等价于λ≥3x2＋4xyx2＋y2，则λ≥（3x2＋4xyx2＋y2）max,令T=3x2＋4xyx2＋y2，则T=223)4())1xxyyxy（（，令0xty，2(3)40TttT，164(3)0TT当解得14T，当T=4时，t=2，此时x＝2y时取等号，∴3x2＋4xyx2＋y2的最大值是4，∴λ≥4，即λ的最小值是4.