【金版学案】2015-2016学年高中数学 3.1.1两角和与差的余弦练习(含解析)苏教版必修4

1第3章三角恒等变换3．1两角和与差的三角函数3．1.1两角和与差的余弦思考：cos(α－β)＝？有人认为cos(α－β)＝cosα－cosβ，对不对？令α＝π3，β＝－π6，则cos(α－β)＝cosπ2＝0，cosα－cosβ＝cosπ3－cos－π6＝1－32.有一个反例，就足以说明cos(α－β)≠cosα－cosβ.只有在某些特殊情况下，才有cos(α－β)＝cosα－cosβ.因此，切记，不能将cos(α－β)按分配律展开，那么cos(α－β)究竟等于什么？我们能用什么办法加以推导？1．两角差的余弦公式为________________________________．这个公式对任意的α、β都成立．答案：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ2．两角和的余弦公式为__________________________________．这个公式对任意角α、β都成立．答案：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ3．要理解好和差角，如：α＝(α＋β)－__________；2α＝(α＋β)＋________；2α＋β＝________＋α等．答案：βα－βα＋β4．cos(－15°)＝________．2答案：6＋245．cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝________．答案：12两角和与差的余弦公式1．公式的特点．(1)公式的左边为复角：α＋β，α－β，右边为单角：α，β.(2)公式的右边为单角α与β的余弦与余弦的乘积加上(或减去)正弦与正弦的乘积(注意顺序)．(3)公式的左边与右边的“＋，－”号相反，掌握这些特点，有助于对公式的记忆．2．角α与β是任意角，因为其具有任意性，所以将两角差的余弦公式C(α－β)中的β换为－β，即得公式C(α＋β)．3．差角的余弦公式是后续各公式的基础，必须牢牢掌握其性质．如cos(A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB；cos(θ－φ)＝cosθcosφ＋sinθsinφ；cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)·sinβ.两角和与差的余弦公式的应用(1)公式的正用、逆用问题，掌握公式的结构特征是先决条件．(2)角的变换问题：有时需要对角进行变换后才能使用公式．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β；α＝β＋(α－β)；α＝β－(β－α)；2α＝(α＋β)＋(α－β)等．3基础巩固1．下列等式中一定成立的是()A．cos(α＋β)＝cosα＋cosβB．cos(α－β)＝cosα－cosβC．cosπ2＋α＝cosαD．cosπ2－α＝sinα答案：D2．cos－2512π的值是________．答案：2＋643．cos43°cos77°＋sin43°cos167°的值为________．答案：－124．若0απ2，－π2β0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，求cosα＋β2的值．解析：∵0απ2，－π2β0，∴π4π4＋α34π，π4π4－β2π2.又∵cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，∴sinπ4＋α＝223，sinπ4－β2＝63.4∴cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2＝13×33＋223×63＝539.答案：539能力升级5.cos7°－cos8°cos15°cos23°－cos8°cos15°的值为________．解析：原式＝cos（15°－8°）－cos8°cos15°cos（8°＋15°）－cos8°cos15°＝cos8°cos15°＋sin8°sin15°－cos8°cos15°cos8°cos15°－sin8°sin15°－cos8°cos15°＝－1.答案：－16．若α、β∈0，π2，cosα－β2＝32，sinα2－β＝－12，则cos(α＋β)的值为________．解析：由α、β∈0，π2，则α－β2∈－π4，π2，α2－β∈－π2，π4，又cosα－β2＝32，sinα2－β＝－12，所以α－β2＝±π6，α2－β＝－π6.解得α＝β＝π3或α＝－π9，β＝π9，所以cos(α＋β)＝－12或cos(α＋β)＝1.5答案：－12或17．已知：sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，求cos(α－β)的值．解析：由已知得：sinα＋sinβ＝－sinγ，①cosα＋cosβ＝－cosγ，②①2＋②2得：2cos(α－β)＋2＝1.即cos(α－β)＝－12.8．已知α、β均为锐角，且cosα＝255，cosβ＝1010，求α－β的值．解析：∵α，β均为锐角，∴sinα＝55，sinβ＝31010.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×1010＋55×31010＝22.又∵sinαsinβ，∴0αβπ2.∴－π2α－β0.故α－β＝－π4.9．化简：2cos10°－sin20°cos20°.解析：原式＝2cos（30°－20°）－sin20°cos20°＝2cos30°cos20°＋2sin30°sin20°－sin20°cos20°＝3cos20°＋sin20°－sin20°cos20°＝3.10．已知角A、B、C是△ABC三内角，向量m＝(－1，3)，n＝(cosA，sinA)，且m·n＝1，求角A.解析：∵m·n＝1，∴(－1，3)·(cosA，sinA)＝1，即3sinA－cosA＝1，62sinA·32－cosA·12＝1.∴cosA＋π3＝－12.∵0＜A＜π，∴π3＜A＋π3＜4π3.∴A＋π3＝2π3.∴A＝π3.