第7讲-一元二次方程

第7讲一元二次方程第7讲┃一元二次方程考点1不等式的基本性质┃考点自主梳理与热身反馈┃1．一元二次方程x2－3＝0的根为()A．x＝3B．x＝3C．x1＝3，x2＝－3D．x1＝3，x2＝－32．一元二次方程x2－2x＝5的根是____________________．Cx1＝1＋6，x1＝1-6【归纳总结】1．一元二次方程的解法：(1)_______________；(2)________；(3)____________；(4)____________．2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是：x＝_______________(b2－4ac≥0)．直接开平方法配方法因式分解法公式法第7讲┃一元二次方程－b±b2－4ac2a1．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．k＞－1B．k＞－1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠02．若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1＋x2的值是()A．1B．5C．－5D．6B考点2一元二次方程根的判别式、根与系数的关系第7讲┃一元二次方程B【归纳总结】1．根的判别式：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为Δ＝____________．(1)Δ0方程有______________的实根；(2)Δ＝0方程有______________的实根；(3)Δ0方程________实数根；(4)Δ≥0方程________实数根．2．根与系数的关系：如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，那么x1＋x2＝________，x1x2＝________．b2－4ac两个不相等第7讲┃一元二次方程两个相等无有－baca考点3一元二次方程的应用1．为落实“两免一补”政策，某市2012年投入教育经费2500万元，预计2014年要投入教育经费3600万元，已知2012年至2014年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2013年该市投入的教育经费为________万元．3000第7讲┃一元二次方程2．某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm，宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等(如图7－1)，则彩纸的宽度为________．5cm第7讲┃一元二次方程[解析]设彩纸的宽度为xcm，由题意得(30＋2x)(20＋2x)＝2×30×20，则x2＋25x－150＝0，解得x1＝5，x2＝－30(不合题意，舍去)．故彩纸宽度为5cm.第7讲┃一元二次方程【归纳总结】1．增长率问题(1)增长率＝增量÷基础量．(2)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b.当m为平均下降率时，则有a(1－m)n＝b.2．销售利润问题(1)毛利润＝售出价－进货价；(2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用；(3)利润率＝利润÷进货价×100%.第7讲┃一元二次方程┃考向互动探究与方法归纳┃探究一元二次方程的实际应用例[2013·淮安]小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元，按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元，请问她购买了多少件这种服装？第7讲┃一元二次方程[解析]根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．第7讲┃一元二次方程解：因为80×10＝800(元)＜1200元，所以小丽买的服装数大于10件．设她购买了x件这种服装，根据题意得x[80－2(x－10)]＝1200，解得x1＝20，x2＝30.因为1200÷50＝24＜30，所以x2＝30不合题意舍去．答：她购买了20件这种服装．第7讲┃一元二次方程[中考点金]用一元二次方程解决实际问题的关键是找出等量关系．例如此题的销售问题中，根据利润与售价、进价和件数之间的关系列方程．第7讲┃一元二次方程变式题某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长10m)，另三边用木栏围成，中间隔有一道木栏，木栏的总长为23m.(1)请你设计一个鸡场，使该鸡场的面积达到40m2；(2)你能设计一个面积为50m2的鸡场吗？请说明理由．第7讲┃一元二次方程解：(1)设鸡场的宽为xm，则另一边长为(23－3x)m，依题意得x(23－3x)＝40，x1＝5，x2＝83.当x＝5时，23－3x＝810；当x＝83时，23－3x＝1510，不符合题意，舍去．答：鸡场的宽为5m时，就能使该鸡场的面积达到40m2.(2)不能．理由如下：设鸡场的宽为xm，则另一边长为(23－3x)m，依题意得x(23－3x)＝50，整理，得3x2－23x＋50＝0.b2－4ac＝529－600＝－710，该方程无解，所以不能设计出面积为50m2的鸡场．第7讲┃一元二次方程┃考题自主训练与名师预测┃1．[2013·丽水]一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是()A．x－6＝－4B．x－6＝4C．x＋6＝4D．x＋6＝－42．[2013·兰州]用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后所得的方程为()A．(x＋1)2＝0B．(x－1)2＝0C．(x＋1)2＝2D．(x－1)2＝2DD第7讲┃一元二次方程3．已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为()A．1B．－1C．2D．－24．[2013·白银]一元二次方程x2＋x－2＝0的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定5．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两根，则x1＋x2的值是()A．0B．2C．－2D．4A第7讲┃一元二次方程AB6．[2013·安徽]目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年．．．发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是()A．438(1＋x)2＝389B．389(1＋x)2＝438C．389(1＋2x)＝438D．438(1＋2x)＝389B第7讲┃一元二次方程7．[2013·昆明]如图7－2，在边长为100m，宽为80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少m？设道路的宽为xm，则可列方程为()A．100×80－100x－80x＝7644B．(100－x)(80－x)＋x2＝7644C．(100－x)(80－x)＝7644D．100x＋80x＝356第7讲┃一元二次方程C[解析]根据“道路面积＋绿化面积＝矩形面积”列方程．8．[2013·陕西]一元二次方程x2－3x＝0的根是________________．9．[2013·郴州]已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数根，则b的值是________．第7讲┃一元二次方程x1＝0，2x2＝310．已知x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则代数式a2＋b2＋2ab的值是________．第7讲┃一元二次方程1[解析]∵x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，∴12＋a＋b＝0，∴a＋b＝－1，∴a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝(－1)2＝1.11．[2013·自贡]已知关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2ab；③x21＋x22a2＋b2.则正确结论的序号是________．(填上你认为正确结论的所有序号)第7讲┃一元二次方程①②12．解方程：x(x＋6)＝16.(用三种不同的方法)第7讲┃一元二次方程[解析]本题应化为一般形式，再根据方程特点，选用因式分解的方法解，也可用公式法或配方法解．解：解法一：x2＋6x＝16，∴x2＋6x－16＝0，∴(x＋8)(x－2)＝0，∴x＋8＝0或x－2＝0，∴x1＝－8，x2＝2.解法二：x2＋6x＝16，∴x2＋6x－16＝0.∵a＝1，b＝6，c＝－16，∴b2－4ac＝36＋64＝100，∴x＝－6±1002，∴x1＝－8，x2＝2.解法三：x2＋6x＝16，∴x2＋6x＋622＝16＋622，∴(x＋3)2＝25，x＋3＝±5，∴x1＝－8，x2＝2.第7讲┃一元二次方程13．[2013·广东]雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？第7讲┃一元二次方程解：(1)设捐款增长率为x，则10000(1＋x)2＝12100，解这个方程，得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：捐款的增长率为10%.(2)12100×(1＋10%)＝13310(元)．答：按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到捐款13310元．第7讲┃一元二次方程14．[2013·南充]关于x的一元二次方程为(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.(1)求出方程的根；(2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？第7讲┃一元二次方程解：(1)根据题意得m≠1，Δ＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4，∴x1＝2m＋22（m－1）＝m＋1m－1，x2＝2m－22（m－1）＝1.(2)由(1)知x1＝m＋1m－1＝1＋2m－1，∵方程的两个根都是正整数，m取整数，∴2m－1是正整数，∴m－1＝1或2，∴m＝2或3.第7讲┃一元二次方程1．方程(x－1)(x＋2)＝0的两根分别为()A．x1＝－1，x2＝2B．x1＝1，x2＝2C．x1＝－1，x2＝－2D．x1＝1，x2＝－22．已知关于x的一元二次方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根，则k＝________．D第7讲┃一元二次方程±23．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？(2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车数量不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？第7讲┃一元二次方程解：(1)设平均增长率为x，根据题意得64(1＋x)2＝100，解得x＝0.25＝25%或x＝－2.25(舍去)．4月份的销量为100(1＋25%)＝125(辆)．答：4月份卖出125辆自行车．第7讲┃一元二次方程(2)设购进A型车x辆，根据题意得2×30000－500x1000≤x≤2.8×30000－500x1000，解得30≤x≤35.∵B型车的利润大于A型车的利润，∴当A型车进货量最小时有最大利润，此时A型车为30辆，B型车为30000－500×301000＝15(辆)．∴最大利润为200×30＋300×15＝10500(元)．即为使利润最大，商城应购进30辆A型车，15辆B型车．第7讲┃一元二次方程