北京市东城区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷+Word版含解析

北京市东城区2018-2019学年高一上学期期末检测数学试题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知集合，那么下列结论正确的是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由，解得x范围，可得即可判断出结论．【详解】解：由，解得，或．．可得0，1，，故选：D．【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.命题“，”的否定是A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：，，则为，．故选：A．【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系的应用，考查基本知识．3.下列结论成立的是A.若，则B.若，则C.若，，则D.若，，则【答案】D【解析】【分析】对赋值来排除。【详解】当，时，A结论不成立。当时，B结论不成立。当时，C结论不成立。故选：D【点睛】本题主要利用赋值法来排除，也可以利用不等式的性质来判断。4.在单位圆中，的圆心角所对的弧长为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式，，代入计算即可．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题主要考查了弧长公式，属于基础题．5.函数的零点所在区间是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得函数为减函数，依次计算、、、的值，由函数零点判定定理分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数，分析易得函数为减函数，且，，，，则函数的零点所在区间是；故选：C．【点睛】本题考查函数的零点判断定理，关键是熟悉函数的零点判定定理．6.，，的大小关系是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简后，根据单调性即可判断．【详解】解：由，，，在第一象限为增函数，．故得故选：D．【点睛】本题考查了诱导公式和正弦函数的单调性的运用，比较基础．7.设，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由得，由得，得．则“”是“”的必要不充分条件，故选：B．【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果，则是的充分条件，是的必要条件；否则，不是的充分条件，不是的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行和各一次，判断是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分也不必要条件.8.若实数x，y满足，则的最大值为A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据，即可求出最大值．【详解】解：实数x，y满足，，，当，时取等号，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了运算和转化能力，属于基础题．9.已知函数的定义域为R，当时，，当时，，当时，，则A.B.C.1D.2【答案】A【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得的值，进而分析可得，分析可得函数为周期为1的周期函数，则，类比奇函数的性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数的定义域为R，且当时，，则，当时，，即，即，则函数为周期为1的周期函数；则，当时，，则有，又由，则；故选：A．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．形如，或的条件，说明的都是函数图像关于对称.形如，或，或者的条件，说明的是函数是周期为的周期函数.10.已知非空集合A，B满足以下两个条件2，3，4，5，，；若，则．则有序集合对的个数为A.12B.13C.14D.15【答案】A【解析】【分析】对集合A的元素个数分类讨论，利用条件即可得出．【详解】解：由题意分类讨论可得：若，则3，4，5，；若，则3，4，5，；若，则3，4，5，；若，则2，4，5，；若，则2，3，5，；若，则3，4，1，；若，则3，4，5，；若，则4，5，；若，则3，5，；若，则3，4，；若，则3，5，；若，则3，4，；若，则2，4，；若3，，则4，．综上可得：有序集合对的个数为12．故选：A．【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系、集合运算、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.______．【答案】【解析】【分析】利用诱导公式，将所求三角函数值转化为求的值即可.【详解】解：故答案为【点睛】本题考察了正弦函数诱导公式的应用，准确的选择公式，运用公式是解决本题的关键.12.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】且解不等式即可。【详解】且，由此解得,故填【点睛】求函数的定义域是基本考点，根式下面的值要大于等于0。13.______．【答案】2【解析】【分析】进行分数指数幂和对数的运算即可．【详解】解：原式．故答案为：2．【点睛】考查对数的换底公式，分数指数幂和对数的运算．14.已知函数满足下列性质：定义域为R，值域为；在区间上是减函数；图象关于对称．请写出满足条件的的解析式______写出一个即可．【答案】【解析】【分析】根据函数性质举出一个二次函数即可．【详解】解：满足上述3条性质．故答案为：．【点睛】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，属基础题．15.已知函数．______．若方程有且只有一个实根，则实数a的取值范围是______．【答案】(1).4(2).【解析】【分析】根据分段函数的表达式，直接代入即可求出当，，时，函数的解析式和图象，利用的交点个数进行判断即可．【详解】解：，当时，，，当时，，，当时，，，作出函数的图象如图，其中，，，，设直线，当分别过，，时，则，，得，，得，由图象知要使方程有且只有一个实根，则在A，B之间的区域，即，即实数a的取值范围是，故答案为：4，．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的解析式，作出两个函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度．三、解答题（本大题共6小题，共50.0分）16.已知全集，集合，非空集合．Ⅰ求当时，；Ⅱ若，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）或．（Ⅱ）【解析】【分析】Ⅰ求出集合A，B的等价条件，结合并集，补集的定义进行求解即可Ⅱ根据，建立不等式关系进行求解即可【详解】解：Ⅰ，当时，．则，或．Ⅱ若，则，得，即，即实数m的取值范围是【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及基本关系的应用，求出集合的等价条件是解决本题的关键．17.已知函数．Ⅰ画出的图象；Ⅱ根据图象写出的值域、单调区间．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）的单调递减区间为，无增区间．【解析】【分析】Ⅰ根据x的范围，将函数表示成分段函数形式即可Ⅱ结合图象之间写出函数的值域和单调区间【详解】解：Ⅰ，的图象；Ⅱ由图象知的值域为，的单调递减区间为，无增区间．【点睛】本题主要考查分段函数的图象和性质，结合绝对值的应用转化为分段函数是解决本题的关键．18.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，以角的终边为始边，逆时针旋转得到角．Ⅰ求的值；Ⅱ求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】Ⅰ由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．Ⅱ先根据题意利用任意角的三角函数的定义求得、的值，再利用二倍角公式求得、的值，再利用两角和的余弦公式求得的值．【详解】解：Ⅰ角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，．Ⅱ以角的终边为始边，逆时针旋转得到角，．由Ⅰ利用任意角的三角函数的定义可得，，，．．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式，两角和的余弦公式的应用，属于中档题．19.函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，令，求函数的单调递增区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数的最小正周期可得．结合最大值可得．则的解析式是．（Ⅱ）由题意可得，则.结合正弦函数的性质可得的单调递增区间为．试题解析：（Ⅰ）因为，所以．又因为，所以，即．因为，令可得．所以的解析式是．（Ⅱ）由已知，所以.函数的单调递增区间为．由，得，所以的单调递增区间为．点睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.20.2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥一港珠澳大桥正式通车在一般情况下，大桥上的车流速度单位：千米时是车流密度单位：辆千米的函数当桥上的车流密度达到220辆千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆千米时，车流速度为100千米时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．Ⅰ当时，求函数的表达式；Ⅱ当车流密度x为多大时，车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆时可以达到最大？并求出最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）车流密度为110辆千米时，车流量最大，最大值为6050辆时．【解析】【分析】利用待定系数法求出当时的函数解析式得出结论；分段求出函数的最大值即可得出的最大值．【详解】解：当时，设，则，解得：，．由得．当时，；当时，，当时，的最大值为．车流密度为110辆千米时，车流量最大，最大值为6050辆时．【点睛】本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算与应用，属于中档题．21.已知是定义在上的奇函数，且，当a，，时，有成立．Ⅰ求在区间1上的最大值；Ⅱ若对任意的都有，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）【解析】【分析】Ⅰ任取，，且，由奇函数的定义将进行转化，利用所给的条件判断出，可得的单调性，即可得到所求最大值；Ⅱ根据Ⅰ的结论和条件，将问题转化为，即对恒成立，设，即对恒成立，求m的取值范围，需对m进行分类讨论，结合一次函数的单调性，即可得到所求范围．【详解】解：Ⅰ任取，，且，则，为奇函数，，由已知得，，，即在上单调递增，可得在上的最大值为；Ⅱ若对任意的都有成立，，在上单调递增，在上，，即，对恒成立，设，若，则，自然对恒成立．若，则为a的一次函数，若对恒成立，则必须，且，即，且，．的取值范围是．【点睛】本题考查函数的单调性综合问题，以及恒成立问题、转化思想和分类讨论思想，分析、解决问题的能力．利用定义法证明函数的单调性的过程是：首先在定义域的某个区间上任取，然后计算，若则函数在区间上为减函数，若则函数在区间上为增函数.