【函数的零点综合题】

函数的零点综合题1函数的零点综合题题型一函数零点个数的判断例1、若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．【答案】4【解析】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．题型二函数零点的应用例4、若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．探究提高对于“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域来解决．函数的零点综合题2【专练】1．方程|x2－2x|＝a2＋1(a0)的解的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】∵a0，∴a2＋11.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．∴方程有两解．2．函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x0的零点个数为()A．3B．2C．1D．0【答案】B【解析】当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；当x0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2，故选B.3．若f(x)＝x2－x－1，x≥2或x≤－1，1，－1x2，则函数g(x)＝f(x)－x的零点为___________．【答案】1＋2或1【解析】即求f(x)＝x的根，∴x≥2或x≤－1，x2－x－1＝x或－1x2，x＝1.解得x＝1＋2或x＝1.∴g(x)的零点为x＝1＋2或x＝1.4．已知函数f(x)＝log2x－13x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0x1x0，则f(x1)的值为()A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不小于零【答案】A【解析】在同一坐标系中作出y＝log2x和y＝13x的图象，由图象知f(x1)0.函数的零点综合题35．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)＝2014x＋log2014x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________．【答案】3【解析】函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)＝0，当x0时，f(x)＝2014x＋log2014x在区间(0，12014)内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数在R上的零点的个数为3.6．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则()A．abcB．acbC．bacD．cab[来源:学科网ZXXK]【答案】B7．已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是______________．[来源:Z*xx*k.Com]【答案】x1x2x38．已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(－x＋2)＝f(－x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，则y＝f(x)与y＝log7x的交点的个数为________．【答案】6函数的零点综合题49．已知函数))((Rxxfy满足)1()1(xfxf，且当1,1x时，2)(xxf，则)(xfy与xy5log的图象的交点个数为（）A、2B、3C、4D、5【解析】由)1()1(xfxf知函数)(xfy的周期为2，作出其图象如右，当x=5时，f(x)=1,log5x=1;当x5时，f(x)=1∈[0，1]，log5x1,)(xfy与xy5log的图象不再有交点，故选C10．已知函数f(x)＝2x－1，x0，－x2－2x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．【答案】(0,1)【解析】画出f(x)＝2x－1，x0－x2－2x，x≤0的图象，如图．由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：0m1，即m∈(0,1)．11.（2013·湖南卷）函数f(x)＝2lnx的图像与函数g(x)＝x2－4x＋5的图像的交点个数为()A．3B．2C．1D．0【答案】B【解析】法一：作出函数f(x)＝2lnx，g(x)＝x2－4x＋5的图像如图：可知，其交点个数为2，选B.法二：也可以采用数值法：x124f(x)＝2lnx02ln2＝ln41ln425g(x)＝x2－4x＋5215可知它们有2个交点，选B.yxO1-115函数的零点综合题512.（2013·天津卷理7）函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】选B.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点即2x|log0.5x|-1=0的解,即0.51|log|()2xx的解,作出函数g(x)=|log0.5x|和函数1()()2xhx的图象,由图象可知,两函数共有两个交点,故函数f(x)=2x|log0.5x|-1有2个零点.13.（2013·重庆高考理科·Ｔ6）若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内【解题指南】直接根据零点存在定理求出函数零点所在的区间.【解析】选A.因为abc,所以f(a)=(a-b)(a-c)0,f(b)=(b-c)(b-a)0,f(c)=(c-a)(c-b)0,所以f(a)f(b)0,f(b)f(c)0,即函数的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.14．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．函数的零点综合题615．(1)m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；(2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．[来源:学,科,网]【解析】(1)①函数f(x)有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.16【2015高考湖南，理15】已知32,(),xxafxxxa，若存在实数b，使函数()()gxfxb有两个零点，则a的取值范围是.【答案】),1()0,(.函数的零点综合题717（2014·天津卷理14）（填空压轴题）已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．【答案】(0，1)∪(9，＋∞)函数的零点综合题820．已知二次函数)0,,(1)(2aRbabxaxxf，设方程xxf)(的两个实数根为1x和2x.（1）如果4221xx，设函数)(xf的对称轴为0xx，求证：10x；（2）如果21x，212xx，求b的取值范围.20．解析：设1)1()()(2xbaxxxfxg，则0)(xg的二根为1x和2x。（1）由0a及4221xx，可得0)4(0)2(gg，即034160124baba，即,043224,043233aabaab两式相加得12ab，所以，10x；（2）由aabxx4)1()(2221,可得1)1(122ba。又0121axx，所以21,xx同号。∴21x，212xx等价于1)1(1220221baxx或1)1(1202212baxx,即1)1(120)0(0)2(2bagg或1)1(120)0(0)2(2bagg解之得41b或47b。点评：条件4221xx实际上给出了xxf)(的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化。