向量在高中数学中的运用(一)

向量在高中数学中应用(一)zzszlhm向量是近代数学中沟通代数、几何的得力工具,它既是几何对象也是代数对象，也是重要且基础的数学模型之一，故成为数形结合的桥梁。它之所以有用，是它有一套良好的运算系统，可以使复杂问题简单化，直观化；特别的它能使代数问题几何化，几何问题代数化。正是由于向量的双重性，使它成为中学数学知识的一个交汇点，在高中数学中有广的泛的应用。（1）利用向量方法可以解决几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．有两种思路：一种思路是选择基底，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，转化向量的坐标运算．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．(2)向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接归纳为向量，借助向量的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果，可以简单表述为“几何问题向量化→向量问题的运算化→运算结果几何化第一类：向量在平面几何中的应用例1在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝12AB，求证：AC⊥BC.证法一：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝12AB，故可设AD→＝e1，DC→＝e2，|e1|＝|e2|，则AB→＝2e2.∴AC→＝AD→＋DC→＝e1＋e2，BC→＝AC→－AB→＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2而AC→·BC→＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝e21－e22＝|e1|2－|e2|2＝0，∴AC→⊥BC→，即AC⊥BC向量在平面几何中的应用DABC例1在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝12AB，求证：AC⊥BC.证法二：如图，建立平面直角坐标系，设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．∴BC→＝(－1,1)，AC→＝(1,1)．∴BC→·AC→＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.∴AC⊥BC.向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用例2．如图，在ABC中，23BAC，3ADDB，P为CD上一点，且满足12APmACAB，若ABC的面积为23.(1)求m的值;(2)求AP的最小值.解：(1)建立如图所示直角坐标系，设ACb，ABc，则,0Bc，3,22bbC，由3ADDB得3,04cD，故33,422cbbCD，由12APmACAB得3,222cbmbmP，所以3,422cbmbPDm，因为C，P，D三点共线，所以//CDPD，所以3330422242cbbmbcbm，解得13m.例2．如图，在ABC中，23BAC，3ADDB，P为CD上一点，且满足12APmACAB，若ABC的面积为23.(1)求m的值;(2)求AP的最小值.(2)由(1)得3,266cbbP，因为123sin23234ABCSbcbc，所以8bc，所以2222234266943cbbAPbc224429433bc，所以min233AP，当且仅当23b，433c时取得等号.高中立体几何引入向量后，利用向量作为工具处理立体几何，把空间结构系统的代数化，把空间的研究从“定性”推向“定量”的深度，有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难，既直观又容易接受。利用向量可以用于证明平行体系，垂直体系，空间角，距离等问题第二类向量在立体几何中的应用例1.如图，已知梯形ABCD中，ADBC∥，ADAB，22ABBCAD，四边形EDCF为矩形，3CD，平面EDCF平面ABCD．（1）求证：DF平面ABE．（2）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．（3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP的长．向量在立体几何中的应用【解析】（Ⅰ）证明：取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则1,0,0A，1,2,0B，0,0,3E，1,2,3F，∴1,2,3BE，0,2,0AB，设平面ABE的法向量,,nxyz，∴230,{20,xyzy不妨设3,0,1n，又1,2,3DF，∴330DFn，∴DFn，又∵DF平面ABE，∴//DF平面ABE．五、向量与立体几何的应用（Ⅱ）解：∵1,2,3BE，2,0,3BF，设平面BEF的法向量,,mxyz，∴230,{230,xyzxz不妨设23,3,4m，∴10531cos31231mnmn，∴平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值为53131．向量在立体几何的应用（Ⅲ）设1,2,3DPDF,2,3，0,1，∴,2,3P，∴1,22,3BP，又∵平面ABE的法向量3,0,1n，∴2223333sincos,421223BPn，∴28610，∴12或14．当12时，33,1,22BP，∴2BP；当14时，533,,424BP，∴2BP．综上，2BP．向量在立体几何中的应用第三类：向量与解析几何的应用向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化，符号化，数量化，从而将推理转化为运算。或者考虑向量运算的几何意义，利用几何意义解决有关问题。例1．已知椭圆C的方程为22213xya，斜率为(0)kk的直线与C相交于,MN两点.（1）若G为MN的中点，且34OGkk，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，若Р是椭圆C的左顶点，1,4PMPNkkF是椭圆的左焦点，要使F在以MN为直径的圆内，求k的取值范围.22143xy2设MN方程为ykxm，则223412xyykxm2223484120kxkmxm，122834kmxxk，212241234mxxk12122286223434kmmyykxxmkmkk，2212121212yykxmkxmkxxkmxxm222222224128312343434mkmmkkkmmkkk解得：2mk（舍)，或,mk若F在以MN为直径的圆内，则0FMFN，即11221212121,1,10FMFNxyxyxxxxyy，222222412831210343434mkmmkkkk即222224128312340kkkkk即2790k，且0k，解得333377k且0k，所以k的取值范围为：3737,00,77小结：通过以上事例说明向量在解决数学问题中能优化数学思维，简化运算，又能达到解决问题的目的，作为一名高中数学老师，应该进一步研究向量与其他知识的联系，如向量与排列组合，概率的联系，使应用领域更广泛。再见