江苏省南通市2016届高三数学全真模拟试题2

2016年数学全真模拟试卷二试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．.1．复数2i1i(i为虚数单位)的模为▲．【答案】1022．已知向量a(12)，，b(32)，，则()aab=▲．【答案】43．在标号为0，1，2的三张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率是▲．【答案】234．下表是某同学五次数学附加题测试的得分，则该组数据的方差2s▲．【答案】14655．命题：“若0a，则20a”的否命题是“▲”．【答案】若0a，则20a≤6．将函数sinyx的图象向右至少平移▲个单位可得到函数cosyx的图象．【答案】3π27．若函数2(e)()e1xxxmfx（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数m的值为▲．【答案】18．设nS是等差数列{an}的前n项的和．若27a，77S，则a7的值为▲．【答案】139．给出下列等式：π22cos4，星期一二三四五件数3621302835π222cos8，π2222cos16，……请从中归纳出第nn*N个等式：2222n个▲．【答案】12cosn10．在锐角△ABC中，若tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则tantanAC的值为▲．【答案】1【解析】依题意2tantantanBAC，因为ABC，所以tantantantantanABCABtanC，所以tantan3AC；11．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：20xy与圆C：22()()5xayb相切，且圆心C在直线l的上方，则ab的最大值为▲．【答案】258【解析】易得255ab，又圆心C在直线l的上方，所以20ab，从而25ab，因为2222abab≤，所以258ab≤（当且仅当2ab，即52a，54b时等号成立，），从而ab的最大值为258．12．已知tan()1，tan()2，则sin2cos2的值为▲．【答案】3【解析】sin()()sin()cos()cos()sin()sin2cos2cos()cos()sin()sin()cos()()tan()tan()31tan()tan()．13．已知实数x，y满足2002xyxy≥，≥，≤，设max342zxyxy，，则z的取值范围是▲．（max{}ab，表示a，b两数中的较大数）【答案】108，【解析】设13zxy，242zxy，则12maxzzz，，易得1106z，，28z0，，则z108，．14．若幂函数()afxx(aR)及其导函数()fx在区间(0，)上的单调性一致(同为增函数或同为减函数)，则实数a的取值范围是▲．【答案】(1)，【解析】易得1()afxax，2()(1)afxaax，当1a时，()0fx，()0fx；当01a时，()0fx，()0fx；当1a时，()0fx，()0fx；当0a时，()0fx，()0fx；当0a时，()0fx，()0fx，综上得，(1)a，．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）在平面直角坐标系中，设向量m3cossinAA，，ncos3sinBB，，其中A，B为△ABC的两个内角．（1）若mn，求证：C为直角；（2）若//mn，求证：B为锐角．【解】（1）易得3coscossinsin3cos()ABABABmn，（3分）因为mn，所以mn0，即πcos()cos2AB．因为0πAB，且函数cosyx在(0π)，内是单调减函数，所以π2AB，即C为直角；（6分）（2）因为//mn，所以3cos3sinsincos0ABAB，即sincos3cossin0ABAB．（8分）因为A，B是三角形内角，所以coscos0AB，于是tan3tanAB,因而A，B中恰有一个是钝角．（10分）从而22tantan3tantan2tantan()01tantan13tan13tanABBBBABABBB，所以tan0B，即证B为锐角．（14分）16．（本题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，PAB为二面角PADB的平面角．（1）求证：平面PAB平面ABCD；（2）若BC平面PAB，求证：//AD平面PBC．证明：（1）因为PAB为二面角PADB的平面角，所以PAAD，BAAD，（2分）又PAABA，PAAB，平面PAB，所以AD平面PAB，（5分）又AD平面ABCD,故平面PAB平面ABCD；（7分）（2）由（1）得，AD平面PAB，又BC平面PAB，所以//ADBC，（10分）又AD平面PBC，BC平面PBC，所以//AD平面PBC．（14分）17．（本题满分14分）ABCPD（第16题）QABTSOxPy（第17题）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B是圆O：221xy与x轴的两个交点（点B在点A右侧），点(20)Q，，x轴上方的动点P使直线PA，PQ，PB的斜率存在且依次成等差数列．（1）求证：动点P的横坐标为定值；（2）设直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为S，T．求证：点Q，S，T三点共线．【证】（1）由题设知，(10)(10)AB，，，．设000()(0)Pxyy，，则002PQykx，00011PAPByykkxx，．因为kPA，kPQ，kPB成等差数列，所以2kPQ=kPA＋kPB，即0000002211yyyxxx，由于00y，所以012x，即证；（7分）（2）由（1）知，012Py，，000221131122PAPByyykyk=，．直线PA的方程为(1)PAykx，代入221xy得22(1)110PAPAxkxk，于是点S的横坐标20201414Syxy，从而020414Syyy．同理可得200220049129494TTyyxyyy，．（11分）因为00222000442(14)2(14)34SSyyyxyyy，000222200001212422(49)2(94)91234STTSyyyyyxxyyyy，所以直线QS和直线QT的斜率相等，故点S，T，Q共线．（14分）18．（本题满分16分）如图，圆O的半径为2，AB，为圆O上的两个定点，且90AOB，P为优弧AB的ABOP图1DCEF中点．设CD，（C在D左侧）为优弧AB（不含端点）上的两个不同的动点，且CD//AB．记POD，四边形ABCD的面积为S．（1）求S关于的函数关系；（2）求S的最大值及此时的大小．解：（1）设过圆心O作AB的垂线分别与AB，CD交于点E，F，易得2AB，1OE，①当π02时，如图1，易得22sinCD，2cosOF，所以1()()2SABCDOEOF1222sin12cos22sincos2sincos1；(3分)②当π2时，11()(222)11222SABCDEF；(5分)③当π3π24时，如图2，易得22sinπ22sinCD，2cosπ2cosOF，所以1()()2SABCDOEOF1222sin12cos22sincos2sincos1；综上得，S2sincos2sincos1，30π4；(9分)（2）令πsincos2sin4t，因为30π4，所以πππ44，从而π0sin14≤，故02t，，(12分)此时22221211222Sttttt，02t，，所以当2t时，max4S，此时π4．(16分)ABOP（第18题）ABOP图2DCEF19．（本题满分16分）设数列na的前n项和为nS，且22nnSa，*nN．（1）求数列na的通项公式；（2）设数列2na的前n项和为nT，求2nnST；（3）判断数列3nna中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论．解：（1）当n1时，1122Sa，解得12a．（2分）当n≥2时，111222222nnnnnnnaSSaaaa，即12nnaa．因为10a，所以12nnaa，从而数列na是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nna．（5分）（2）因为2224nnna，所以2124nnaa，故数列2na是以4为首项，4为公比的等比数列，从而2221224112nnnS，(7分)414441143nnnT，所以232nnST．(10分)（3）假设3nna中存在三项成等差数列，不妨设第m，n，k（mnk）项成等差数列，则2333nmknmkaaa，即2323232nnmmkk．(12分)因为mnk，且m，n，kN，所以n+1≤k．因为2323232nnmmkk113232mmnn≥，所以332nmm≥，故矛盾，所以数列3nna中不存在三项成等差数列．(16分)20．（本题满分16分）设定义R上在函数32420()(4)(4)04log14xxfxaxbaxbmxnxaxx≤≤，，，，，（a，b，m，n为常数，且0a）的图象不间断．（1）求m，n的值；（2）设a，b互为相反数，且()fx是R上的单调函数，求a的取值范围；（3）若a1，bR．试讨论函数()()gxfxb的零点的个数，并说明理由．解：（1）依题意，(0)1f，(4)0f，即16416(4)4(4)0nababmn，，解得11.4nm，(3分)（2）因为12xy是减函数，且()fx是R上的单调函数，所以在4log1yax中，应该有'0ln4ayx≤，故0a，(5分)在321(4)(4)14yaxbaxbx中，其中0ab，21'31044yaxaxa，导函数的对称轴为53x，故2110012(4)04aaa≤，解得1014a≤；(8分)（3）易得函数321()(4)414fxxbxbx，则21()32(4)44fxxbxb，其判别式2416670bb，记()0fx的两根为1x，2x（12xx），列表：x1x，1x12xx，2x2x，()fx+0-0+当b0时，102xb无解，4log1xb无解，又(0)10(4)0fbbfbb，，11(2)84(4)241153042fbbbbb，方程在（0，4）上有两解，方程一共有两个解；(10分)当1b时，102xb有一解0.5log()xb，4log10xb有一解14bx，又(0)10fbb，(4)0fbb，11113(4)108424412fbbb