三角函数的应用

§1.3.4三角函数的应用重难点：掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式;(2)根据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型；利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．经典例题：已知某海滨浴场的海浪高度my是时间t(240t,单位:小时)的函数,记作tfy.下表是某日各时的浪高数据:t03691215182124y5.10.15.00.15.10.15.099.05.1经长期观察,tfy的曲线可近似地看成是函数btAy2sin的图象.(1)根据以上数据,求出函数btAy2sin的最小正周期T,振幅A及函数表达式;(2)依据规定,当海浪高度高于m1时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午00:8到晚上00:20之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?当堂练习：1.若A、B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB-cosA)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(2004北京西城一模)设0＜|α|＜4,则下列不等式中一定成立的是()A.sin2α＞sinαB.cos2α＜cosαC.tan2α＞tanαD.cot2α＜cotα3.已知实数x、y、m、n满足m2+n2=a,x2+y2=b(a≠b),则mx+ny的最大值为()A.2baB.abC.222baD.222ba4.初速度v0，发射角为，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式为（）A.tvy0B.2021sintgtvyC.tvysin0D.tvycos05.当两人提重为G的书包时，夹角为，用力为F，则为____时，F最小（）A．2B.0C.D.326.某人向正东方向走x千米后向右转150，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x的值为（）A．3B.32C.332或D.37.甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为045，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30，则甲、乙两楼的高度分别为____________________.8.一树干被台风吹断折成60角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是________.9.(2006北京海淀模拟)在△ABC中,∠A=60°,BC=2,则△ABC的面积的最大值为_________.10.在高出地面30m的小山顶上建造一座电视塔CD(如右图),今在距离B点60m的地面上取一点A,若测得C、D所张的角为45°,则这个电视塔的高度为_______________.11.已知函数xAysin,0,0A的最小正周期为32,最小值为2,图象经过点0,95,求该函数的解析式.12．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数btAysin,(I)求这段时间的最大温差;(II)写出这段曲线的函数解析式.13.若x满足mx43cos2x,为使满足条件的x的值(1)存在;(2)有且只有一个;(3)有两个不同的值;(4)有三个不同的值,分别求m的取值范围.14.如图,化工厂的主控制表盘高1米,表盘底边距地面2米,问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚?(设值班人员坐在椅子上时,眼睛距地面1.2米)§1.3.4三角函数的应用经典例题：解:(1)由表中数据,知周期.12T∴61222T.由5.1,0yt,得5.1bA①,由0.1,3yt,得0.1b②.由①②联立解得1,21bA,∴振幅为21,函数表达式为126sin21ty.(2)由题意知,当y1时才可对冲浪者开放.由1126sin21t得06cost,∴22622ktk,即Zkktk312312③.∵240t,∴可令③中k分别为2,1,0,得30t或159t或2421t.∴在规定时间上午00:8到晚上00:20之间,有6个小时可供冲浪者运动,即上午00:9到下午00:15.当堂练习：1.B;2.B;3.B;4.C;5.B;6.C;7.60,60203;8.203;9.3;10.150m;11.解:∵2A,322T,∴3,又0953sin,∴Zkk,95.若Znnk,2,则352n,∵,∴3.若Znnk,12,则352n,∵,∴32.故所求解析式为33sin2xy或323sin2xy.12.解:(I)如图示,这段时间的最大温差是102030(0C);(II)图中从6时到14时的图象是函数btAysin的半个周期的图象.614221,解得8,如图示,10103021A,20103021b.这时函数解析式为208sin10ty.将6t,10y代入上式,可取43,综上,所求的解析式为:20438sin10ty14,6x.13.解:题中条件可化为mx4sin2x,作出函数4sin2xxfx及函数my的图象.(1)当22m时,直线my与xf的图象有交点,即满足条件的x的值存在.(2)当2m时,直线my与xf的图象有且只有一个交点,即满足条件的x的值有且只有一个.(3)当12m或21m时,直线my与xf的图象有二个交点,即满足条件的x有两个不同的值.(4)当1m时,直线my与xf的图象有三个交点,即满足条件的x有三个不同的值.;14.剖析:欲使表盘看得最清楚,人眼A距表盘的水平距离AD应使视角φ最大.解:CD=2-1.2=0.8,设AD=x,则tanα=ADBD=x8.01=x8.1,tanβ=ADCD=x8.0.因为tanφ=tan(α-β)=tantan1tantan,所以tanφ=xxxx8.08.118.08.1=xx44.11≤xx44.121=4.21,所以当x=x44.1,即x=1.2时,tanφ达到最大值4.21.因为φ是锐角,所以tanφ最大,φ也最大.所以值班人员看表盘最清楚的位置为AD=1.2m.