直线的一般式方程教案-数学必修2第三章直线方程3.2.2第一课时人教A版

第三章直线方程3.2.3直线的一般式方程1教学目标[1]明确理解直线一般式方程的形式特征[2]理解直线方程几种形式之间的内在联系[3]能在总体把握直线方程的基础上，掌握各种形式之间的相互转化[4]通过直线方程一般式的学习，培养学生全面、系统、周密地分类讨论问题的能力培养学生数学结合思想和严谨的科学态度2教学重点/难点教学重点：直线方程一般式的理解和掌握教学难点：直线方程的一般式与各种直线方程间的互化3专家建议直线方程的一般式是由前面所学习的四种直线方程的形式概括形成的，它克服以点斜式、斜截式、两点式、截距式四种方程“特殊式”的局限性，由于直线方程的一般式)(0不全为零、其中BAcByAx是关于x、y的二元一次方程，因此平面上的直线与二元一次方程)(0不全为零、其中BAcByAx是一一对应的。直线的各种方程各有各的特点，分别适用于不同条件下的直线，因此教学时要引导同学熟练掌握各自特性，灵活使用。4教学方法讲授式、启发式教学5教学过程5.1复习引入【师】到目前为止，我们都学习了直线方程的哪几种形式？它们各适用于具有什么条件的求直线方程问题？适用的范围是什么？【板演/PPT】引导学生回答各种直线方程点斜式：已知直线上一点P1（x1，y1）的坐标，和直线的斜率k，则直线的方程是斜截式：已知直线的斜率k，和直线在y轴上的截距b则直线方程是)(11xxkyybkxy两点式：已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）则直线的方程是：截距式：已知直线在X轴Y轴上的截距为a，b，则直线的方程是【师】他们所适用的范围是什么？【生】点斜式：适用于有斜率的直线问题斜截式：适合存在斜率且已知纵截距的直线问题两点式：适合已知两点，且不垂直于x轴或y轴直线问题截距式：适合已知截距，且截距不为零的直线问题5.2探索新知[1]直线的一般式方程【师】下面我们看一看屏幕上的问题：【板书/PPT】1．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程____________2．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是___________3．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程_________【师】你能根据实际条件，写出直线方程吗？并思考：你所列出的直线方程能看作是二元一次方程吗？【生】讨论与计算【板书/PPT】(1)中方程可化为2x-y-3=0,故直线方程是二元一次方程。(2)中方程为y=1,但可以看做0x+y=1,故直线方程是二元一次方程。(3)中方程为x=2,但可以看做x+0y=2,故直线方程是二元一次方程。【师】既然上述方程都可以看做二元一次方程的形式，那么思考：我们所学过的几种直线方程是否都可以化成二元一次方程的形式呢？形如：0yx的形式.【生】动笔计算【板书/PPT】0)1()(1111kxyykxxxkyy0)1(bykxbkxy0)()()()(2112112112121121xxyyyxyxxxyyxxxxyyyy121121xxxxyyyy1byax0)(1abaybxbyax【师】由此可见任何方程都可以化作0yx的形式，给出直线方程一般式的概念.【板书/PPT】我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（generalform）。[2]如何利用一般式方程表示各种直线【师】下面我来探究一下直线方程中A、B、C分别为何值时表示下列方程？【板书/PPT】在直线方程一般式中方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线为：（1）平行于x轴（2）平行于y轴（3）与x轴重合（4）与y轴重合【生】思考交流【板书/PPT】（1）平行于x轴A=0即By+C=0（2）平行于y轴B=0即Ax+C=0（3）与x轴重合A=0且C=0即y=0（4）与y轴重合B=0且C=0即x=0[3]应用新知，例题讲解例1.已知直线经过点(6,4),斜率为43,求直线的点斜式和一般式方程.分析：直接用点斜式写出，然后化简。解：所求的直线方程为：y＋4＝－34（x－6），化为一般式：4x＋3y－12＝0。点评：对刚学的知识进行检验。注意：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，含y项、常数项顺序排列.跟踪训练1【师】布置练习【生】独立完成，检验新知【PPT】根据下列条件,写出直线的方程,并把它化成一般式(1)经过点A(8,-2),斜率是21;(2)经过点B(4,2),平行于x轴;(3)在x轴,y轴上的截距分别是23,-3.解答：（1)042)8(21221-2-8yxxyA化为一般式方程得：得：和直线点斜式方程）及斜率为，（由点（2）02,2yy化为一般式方程得：为由点题可知直线的方程（3）032,1323yxyx化为一般式方程得：知：由直线的方程的截距式【师】下面我们来看例2【生】师生共同交流，完成例2【PPT】例2：把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形。分析：对式子变形，考察对截距的理解。解：将直线l的一般式方程化成斜截式：y＝21x＋3因此，直线的斜率为k＝21，它在y轴上的截距为3。在直线方程x－2y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－6过两点可以画一条直线，就是直线l的图形。直线与x轴、y轴的交点分别为A（－6,0），B（0,3）直线在x轴上的截距为－6。点评：考察对截距的理解，对式子进行变形，然后描点连续。跟踪训练2【师】布置练习.B.AxyO【生】独立完成，检验新知【PPT】1、若直线（2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾斜角为450，则m的值是（B）（A）3（B）2（C）-2（D）2与32、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为3，则m的值是-63、求满足下列条件的直线的方程:⑴经过点)2,3(A,且与直线024yx平行;利用一般方程求出原直线线的斜率，根据平行的性质求出所求直线斜率，根据点斜式写出方程并化为一般式0144yx⑵经过点)0,3(B,且与直线052yx垂直.利用一般方程求出原直线线的斜率，根据垂直的性质求出所求直线斜率，根据点斜式写出方程并化为一般式032yx[4]阶段知识总结直线方程名称直线方程形式适用范围点斜式)(00xxkyy斜率存在斜截式bkxy斜率存在两点式不垂直于x轴或y轴的直线截距式1byax不垂直于两坐标轴或过原点的直线一般式AX+BY+C=0任何情况综合演练【师】布置练习【生】独立完成，检验新知【PPT】1、求过点P(-5，-4),且倾斜角是直线33xy的倾斜角的一半的直线。04353),5(34,3120,1800,3tan,3-33)1(yxxyKxy整理得：求得因此利用直线的点斜式，故所求直线斜率为所以且所以的斜率为直线2、求在x,y轴上截距分别是-3,4的直线方程。),(2121121121yyxxxxxxyyyy01234143)2(yxyx化为一般式：距式得：由已知条件用直线的截3、写出斜率为2，且在y轴上的截距为m的直线方程，当m为何值时，直线过点（1，1）？1-211,12)3(xymmxy故）带入得：将点（：由直线的斜截式方程得4、如果直线l过点(-1,-1),(2,5)两点，点（1003，m)在直线l上，那么m的值是多少？20071003,121151)4(mxxy时，带入得当得由直线方程的两点式可[5]本节课知识总结（1）直线方程的一般形式，可以表示任何一条直线（2）几种直线方程的互化（3）根据不同的已知条件利用相应直线方程求出其解析式[6]布置作业课后小卷（见配套小卷）[7]反思感悟1．在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变得简捷．2．直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式Ax＋By＋C＝0化为截距式有两种方法：一是令x＝0，y＝0，求得直线在y轴上的截距B和在x轴上的截距A；二是移常项，得Ax＋By＝－C，两边除以－C(C≠0)，再整理即可．2-1-c-n-j-y3．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法：①若一个斜率为零，另一个不存在则垂直．若两个都存在斜率，化成斜截式后则k1k2＝－1．②一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0，第二种方法可避免讨论，减小失误．[8]板书设计课题：3.2.3直线的一般式方程引例：定义：直线的一般式方程例1跟踪练习：例2：跟踪练习：总结