任意角的三角函数第一课时教案-人教A版数学必修4第一章三角函数1.2

第一章三角函数1.2任意角的三角函数第一课时1.2.1任意三角函数1教学目标[1]掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解任意角的余切、正割、余割的定义。[2]掌握三角函数值的符号的确定方法。[3]记住三角函数的定义域、值域。[4]利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值。2教学重点/难点教学重点：三角函数的定义，各三角函数值在每个象限的符号，特殊角的三角函数值。教学难点：对三角函数的自变量的多值性的理解，三角函数的求值中符号的确定。3专家建议通过介绍象限中横纵坐标的正负，确定三角函数的正负。代入特殊的横纵坐标值确定特殊角的三角函数值。4教学方法类比探究归纳讲解总结练习提高。5教学过程5.1复习引入【师】同学们，我们来复习一下初中锐角的三角函数是如何定义的？【板书】大前提：在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦：锐角A的余弦：锐角A的正切：，5.2新知介绍[1]三角函数定义【师】我们知道，角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们如何对三角函数重新定义？【生】讨论回答【师】总结“确定角、确定坐标、求出点到原点距离，写出三角函数值”【板书】在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)xy，它与原点的距离为2222(||||0)rrxyxy，那么（1）比值yr叫做α的正弦，记作sin，即sinyr；（2）比值xr叫做α的余弦，记作cos，即cosxr；（3）比值yx叫做α的正切，记作tan，即tanyx；（4）比值yx叫做α的余切，记作cot，即yxcot；（5）比值xr叫做α的正割，记作sec，即xrsec；（6）比值yr叫做α的余割，记作csc，即yrcsc；【师】我们对三角函数重新定义了，哪些地方是需要注意的呢？【生】讨论回答【师】总结“三角函数值得正负判定、三角函数值不存在情况”【板书】（1）α的始边与x轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置。（2）根据相似三角形的比，对于确定的角α，六个比值不以点(,)Pxy在α的终边上的位置的改变而改变大小。（3）当()2kkZ时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tanyx、xrsec无意义。（3）当)(Zkk时，α的终边在x轴上，终边上任意一点的纵坐标y都等于0，所以yxcot、yrcsc无意义。【师】我们来确定三角函数正弦、余弦、正切的定义域、值域？【生】讨论回答【师】总结注意：(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴(2)α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关。(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余几个符号也是这样。【师】我们来确定三角函数正弦、余弦、正切的符号？【生】讨论回答【师】总结由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值yr对于第一、二象限为正（0,0yr），对于第三、四象限为负（0,0yr）；②余弦值xr对于第一、四象限为正（0,0xr），对于第二、三象限为负（0,0xr）；③正切值yx对于第一、三象限为正（,xy同号），对于第二、四象限为负（,xy异号）．说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。函数定义域值域sinyR[1,1]cosyR[1,1]tany{|,}2kkZR[2]用单位圆求出三角函数的值【师】当1r时，三角函数正弦、余弦、正切的值会是多少，怎么表示大小？【生】讨论回答【师】总结当角的终边上一点(,)Pxy的坐标满足221xy时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。1．单位圆：圆心在圆点O，半径等于单位长的圆叫做单位圆。2．有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。3．三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(,)xy，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点T由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段,OMxMPy，于是有oxyMTPAoxyMTPAxyoMTPAxyoMTPA（Ⅳ）（Ⅱ）（Ⅰ）（Ⅲ）sin1yyyMPr，OMxrx1cos，tanyMPATATxOMOA．我们就分别称有向线段,,MPOMAT为正弦线、余弦线、正切线。【师】让我们来总结一下【板书/PPT】任意角的三角函数表示为横纵坐标与r的比;可以确定三角函数符号为：一全正、二正弦、三正切、四余弦正；单位圆中三角函数比值即为点的横纵坐标值。[3]小结【师】刚才我们讲了三角函数和利用单位圆求三角函数的相关概念，那么我们还要注意一些什么内容呢？写出三角函数时要加上定义域；终边重合的同三角函数值相同；三角函数值相同时两角相差k2(Zk)；三角函数题目作答时候要注意定义域不存在的情况。[4]课堂小结三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)xy，它与原点的距离为2222(||||0)rrxyxy，那么（1）比值yr叫做α的正弦，记作sin，即sinyr；（2）比值xr叫做α的余弦，记作cos，即cosxr；（3）比值yx叫做α的正切，记作tan，即tanyx；（4）比值yx叫做α的余切，记作cot，即yxcot；（5）比值xr叫做α的正割，记作sec，即xrsec；（6）比值yr叫做α的余割，记作csc，即yrcsc；三角函数定义域与值域：三角函数符号为：一全正、二正弦、三正切、四余弦正函数定义域值域sinyR[1,1]cosyR[1,1]tany{|,}2kkZR5.3复习总结和作业布置[1]课堂练习1．已知角α的终边经过点(2,3)P，求α的三个函数的值。2．求下列各角的三个三角函数值：（1）0；（2）；（3）32．3．已知角α的终边过点(,2)(0)aaa，求α的三个三角函数值。4．求函数xxxxytantancoscos的值域5．.利用三角函数线比较下列各组数的大小：132sin与54sin2tan32与tan54课堂练习【参考答案】1、解：因为2,3xy，所以222(3)13r，于是3313sin1313yr；2213cos1313xr；3tan2yx；2、解：（1）因为当0时，xr，0y，所以sin00，01cos，tan00，（2）因为当时，xr，0y，所以sin0，cos1，tan0，（3）因为当32时，0x，yr，所以3sin12，3cos02，3tan2不存在。3、解：因为过点(,2)(0)aaa，所以5||ra，,2xaya当22250sin55||5yaaaraa时，；5cos55xaara；2tan；当22250sin55||5yaaaraa时，；5cos55xaara；．2tan4、解：定义域：cosx0∴x的终边不在x轴上又∵tanx0∴x的终边不在y轴上∴当x是第一象限角时，0,0yxcosx=|cosx|tanx=|tanx|∴y=2当x是第二象限角时,0,0yx|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=2当x是第三、四象限角时,0,00,0yxyx|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=05、解：如图可知：32sin54sintan32tan54[2]作业布置1、复习本节课所讲内容2、预习下一节课内容（同角的三角函数的基本关系）ABoT2T1S2S1P2P1M2M1S16板书设计第一章三角函数1.2任意角的三角函数第一课时一、复习初中相关内容1、直角三角形2、直角三角形的三角比3、三角比的表示二、三角函数定义1、任意角的三角函数2、三角函数注意问题3、三角函数定义域与值域三、用单位圆求出三角函数值1、单位圆2、有向线段3、三角函数定义