自学考试真题：全国15-04自学考试线性代数(经管类)试卷及答案

2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试04184线性代数（经管类）试卷一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设行列式D1=2211baba，D2=2221113232abaaba，则D2=【】A.-D1B.D1C.2D1D.3D12、若A=1x1021，B=y24202，且2A=B，则【】A.x=1，y=2B.x=2，y=1C.x=1，y=1D.x=2，y=23、已知A是3阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的是【】A.000000001B.000010001C.100000001D.1000100014、设2阶实对称矩阵A的全部特征值味1，-1，-1，则齐次线性方程组（E+A）x=0的基础解系所含解向量的个数为【】A.0B.1C.2D.35、矩阵3113有一个特征值为【】A.-3B.-2C.1D.2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6、设A为3阶矩阵，且A=3，则13A=.7、设A=5312，则A*=.8、已知A=1201，B=211111，若矩阵X满足AX=B，则X=.9、若向量组1(1，2，1)T，2(k-1，4，2)T线性相关，则数k=.10、若齐次线性方程组030202321321321xxxxxxaxxx有非零解，则数a=.11、设向量1(1，-2，2)T，2(2，0，-1)T，则内积（21,）=.12、向量空间V={x=(x1，x2，0)T|x1，x2R}的维数为.13、与向量（1，0，1）T和（1，1，0）T均正交的一个单位向量为.14、矩阵3221的两个特征值之积为.15、若实二次型f(x1，x2，x3)=2123222212xxxaaxx正定，则数a的取值范围是.三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16、计算行列式D=5111141111311112的值.17、设2阶矩阵A的行列式21A，求行列式*12)2(AA的值.18、设矩阵A=101111010，B=301521，矩阵X满足X=AX+B，求X.19、求向量组TTTT)10,1,3(,)6,3,1(,)1,5,2(,)1,2,1(4321的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.20、利用克拉默法则解线性方程组232212322123221333cxccxxbxbbxxaxaaxx，其中cba,,两两互不相同.21、已知矩阵1111311aaA与bB00010000相似，求数ba,的值.22、用正交变换化二次型212121455),(xxxxxxf为标准型，并写出所作的正交变换.四、证明题（本题7分）23、设A，B均为n阶矩阵，且A=B+E，B2=B，证明A可逆.2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码04184）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分类，共10分）1.C2.A3.D4.C5.B二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6.97.23158.0311119.310.-211.012.213.TT1,1,1311,1,131或14.-115.a＞1三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.解D=40200320115011315111141111121131（5分）=74402032115（9分）17.解由于21A，所以A可逆，于是1*AAA（3分）故11*12212)2(AAAAA（6分）=2923232112111AAAA（9分）18.解由BAXX，化为BXAE，（4分）而201101011AE可逆，且110123120311AE（7分）故11021335021111012312031X（9分）19.解由于00007510171101751075103121,,,4321（5分）所以向量组的秩为2，21,是一个极大线性无关组，并且有214213717,511（9分）注：极大线性无关组不唯一。20.解方程组的系数行列式D=bcacabccbbaa222111因为a,b,c两两互不相同，所以0D，故方程有唯一解。（4分）又03332222221cccbbbaaaD，03131312222222ccbbaaD，DccbbaaD33131312223（7分）由克拉默法则得到方程组的解33,0,0332211DDDDxDDxDDx（9分）21.解因为矩阵A与B相似，故trBtrA且BA,（6分）即01101312ab所以a=1,b=4.（9分）22.解二次型的矩阵5225A由于73AE，所以A的特征值7,321（4分）对于特征值31，由方程组03xAE得到A属于特征值31的一个单位特征向量11221对于特征值,72由方程组07xAE得到A属于特征值72的一个单位特征向量11222.得正交矩阵111122,21Q，作正交变换Qyx，二次型化为标准形.732221yyf（9分）四、证明题（本题7分）23.证因为EBA,所以BEA,又BB2,故EAEA2,(3分）化简得,232EAA于是EEAA321,故A可逆。（7分）