专题03函数性质(解析版)

专题03函数性质(解析版)函数的奇偶性,周期性以及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题,其中奇偶性多与单调性相结合,而周期性常与抽象函数相结合,并以结合奇偶性求函数值为主.多以选择题,填空题形式出现.,常见的命题角度有：①单调性与奇偶性结合；②周期性与奇偶性结合；③单调性,奇偶性与周期性结合.函数性质易错点易错点1：求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则；易错点2：判断函数奇偶性时,易忽略检验函数定义域是否关于原点对称；易错点3：根据定义证明函数的单调性时,规范格式是什么？(取值,作差,判正负)；易错点4：在涉及指对型函数的单调性有关问题时,没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件；要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号,二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置,指数函数,对数函数的单调性决定于其底数的范围(大于1还是小于1),特别在解决涉及指,对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想(对数型函数还要注意定义域的限制)；易错点5：抽象函数的推理不严谨致误；所谓抽象函数问题,是指没有具体地给出函数的解析式,只给出它的一些特征或性质.解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质,因而它具有抽象性,综合性和技巧性等特点;解决抽象函数的方法有：换元法,方程组法,待定系数法,赋值法,转化法,递推法等；奎屯王新敞新疆易错点6：基本初等函数性质不清致误.题组一：函数的单调性和奇偶性1．(2011新课标)下列函数中,既是偶函数又在，0单调递增的函数是()A．3yxB．1yxC．21yxD．2xy【解析】3yx为奇函数,21yx在(0,)上为减函数,在(0,)上为减函数．★2.(2015新课标Ⅰ)若函数2()ln()fxxxax为偶函数,则a______.【解析】由题意22()ln()()ln()fxxxaxfxxaxx,所以221axxaxx,解得1a=．3．(2019全国Ⅱ理14)已知fx是奇函数,且当时,()axexf-=．若,则．【解析】法1：由fx是奇函数,时,()axexf-=,当0x时,axfxe.又ln20,将ln2x代入axfxe,得ln228aae,所以3a法2：因为fx是奇函数,ln28f,所以ln28,28af即,所以3a★4.(20131)若函数))(1()(22baxxxxf的图像关于直线2x对称,则)(xf的最大值为_________.【解析】函数))(1()(22baxxxxf的图像关于直线2x对称,所以13ff=0,150ff且即2213330ab2215550ab且,解得8,15ab.因此,224321815814815fxxxxxxxx,2xy0x(2)8flna0x求导得,/33424288fxxxx,令/0fx,得12325,2,25xxx当,25x时,/0fx；当25x，-2时,/0fx；当2,2+5x时,/0fx；当2+5+x，时,/0fx；∴fx在区间,25,2,2+5上是增函数,在区间25，-2,2+5+，是减函数.又252516ff,∴fx的最大值为16,故答案为：16.题组二：函数不等式5.(2017新课标Ⅰ)函数在单调递减,且为奇函数．若,则满足的的取值范围是().A．[−2,2]B．[−1,1]C．[0,4]D．[1,3]【解析】由函数()fx为奇函数,得(1)(1)1ff,不等式1(2)1fx≤≤即为(1)(2)(1)ffxf≤≤,又()fx在(,)单调递减,所以得121x≥≥,即13x≤≤,选D．★6.(2019全国Ⅱ理12)设函数()fx的定义域为R,满足(1)2()fxfx,且当(0,1]x时,()(1)fxxx.若对任意(,]xm,都有8()9fx,则m的取值范围是()A．9,4B．7,3C．5,2D．8,3【解析】因为(1)2()fxfx,所以()2(1)fxfx,当(0,1]x时,1()(1),04fxxx,当(1,2]x时,1(0,1]x,()fx(,)(11)f21()1xfx8373321Oyx1()2(1)2(1)(2),02fxfxxx,当(2,3]x时,1(1,2]x,()2(1)4(2)(3)1,0fxfxxx,当(2,3]x时,由84(2)(3)9xx解得73x或83x,若对任意,xm,都有89fx,则73m．故选B．7．(2012新课标)当102x≤时,4logxax,则a的取值范围是()A．2(0,)2B．2(,1)2C．(1,2)D．(2,2)【解析】由指数函数与对数函数的图像知12011log42aa,解得212a,故选B.题组三：抽象函数8．(2018全国卷Ⅱ)已知()fx是定义域为(,)的奇函数,满足(1)(1)fxfx,若(1)2f,则(1)(2)(3)(50)…ffff()A．50B．0C．2D．50【解析】解法一∵()fx是定义域为(,)的奇函数,()()fxfx．且(0)0f．∵(1)(1)fxfx,∴()(2)fxfx,()(2)fxfx∴(2)()fxfx,∴(4)(2)()fxfxfx,∴()fx是周期函数,且一个周期为4,∴(4)(0)0ff,(2)(11)(11)(0)0ffff,(3)(12)(12)(1)2ffff,∴(1)(2)(3)(50)120(49)(50)(1)(2)2ffffffff,故选C．解法二由题意可设()2sin()2fxx,作出()fx的部分图象如图所示．由图可知,()fx的一个周期为4,所以(1)(2)(3)(50)ffff,所以(1)(2)(3)(50)120(1)(2)2ffffff,故选C．9．(2014新课标1)设函数()fx,()gx的定义域都为R,且()fx是奇函数,()gx是偶函数,则下列结论正确的是()A．()fx()gx是偶函数B．()fx|()gx|是奇函数C．|()fx|()gx是奇函数D．|()fx()gx|是奇函数【解析】()fx为奇函数,()gx为偶函数,故()fx()gx为奇函数,()fx|()gx|为奇函数,|()fx|()gx为偶函数,|()fx()gx|为偶函数,故选B．10．(2014新课标Ⅱ)偶函数()fx的图像关于直线2x对称,(3)3f,则(1)f=___【解析】∵函数()fx的图像关于直线2x对称,所以()(4)fxfx,()(4)fxfx,又()()fxfx,所以()(4)fxfx,则(1)(41)(3)3fff．11.(2019全国Ⅱ理12)设函数()fx的定义域为R,满足(1)2()fxfx,且当(0,1]x时,()(1)fxxx.若对任意(,]xm,都有8()9fx,则m的取值范围是()A．9,4B．7,3C．5,2D．8,3【解析】因为(1)2()fxfx,所以()2(1)fxfx,xy4321-22O8373321Oyx当(0,1]x时,1()(1),04fxxx,当(1,2]x时,1(0,1]x,1()2(1)2(1)(2),02fxfxxx,当(2,3]x时,1(1,2]x,()2(1)4(2)(3)1,0fxfxxx,当(2,3]x时,由84(2)(3)9xx解得73x或83x,若对任意,xm,都有89fx,则73m．故选B．