专题51 空间几何体的表面积与体积(解析版)

中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师专题51空间几何体的表面积与体积专题知识梳理1．空间几何体(1)多面体①棱柱：有两个面互相__平行__，其余各面都是__四边形__，并且每相邻两个四边形的公共边都互相__平行__，由这些面所围成的几何体叫棱柱．侧棱与底面垂直的棱柱叫做__直棱柱__．底面为正多边形的直棱柱叫做__正棱柱__．②棱锥：有一个面是__多边形__，其余各面都是有一个__公共顶点__的三角形，由这些所围成的几何体叫棱锥．如果棱锥的底面是__正多边形__，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做__正棱锥__．③棱台：用__一个平行于棱锥底面__的平面去截棱锥．底面与截面之间的部分，叫棱台．棱台的各侧棱延长后__交于一点__．(2)旋转体①旋转面：一条__平面曲线__绕它所在平面内的一条__定直线__旋转所形成的曲面．②旋转体：封闭的__旋转面__围成的几何体．③圆柱：以矩形的一边所在的直线为__旋转轴__，其余三边旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆柱．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做__圆柱__的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做__母线__．④圆锥：以__直角三角形的一条直角边__所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．⑤圆台：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台．(或用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥．底面与截面之间的部分，叫做圆台．)圆台的__母线__延长后交于一点．⑥球：以__半圆__的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球．经过球面上两点的大圆__劣弧__的长叫做球面距离．2．柱、锥、台和球的侧面积和体积中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师面积体积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝13Sh＝13πr2h＝13πr2l2－r2圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h直棱柱S侧＝ChV＝Sh正棱锥S侧＝12Ch′V＝13Sh正棱台S侧＝12(C＋C′)h′V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S球面＝4πR2V＝43πR33．几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．考点探究考向1空间几何体的结构特征【例】给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正确的命题为________(填序号)．中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师【解析】对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④正确．题组训练给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．【解析】①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形．考向2求空间几何体的表面积【例】(1)(2019·扬州模拟)正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的表面积为________.(2)(2019·徐州检测)已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________．【解析】(1)依题意，该正六棱柱的外接球的球心应是上、下底面中心连线的中点，因此其半径等于42＋622＝5，其表面积等于4π×25＝100π.(2)该圆柱的侧面积为2π×1×2＝4π，一个底面圆的面积是π，所以该圆柱的表面积为4π＋2π＝6π.题组训练中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师1.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为__________.【解析】设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.2.若圆锥底面半径为2，高为5，则其侧面积为________．【解析】因为圆锥的底面半径为2，高为5，所以母线长l＝4＋5＝3，所以圆锥的侧面积S＝πrl＝π×2×3＝6π.3.如图，以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为.【解析】设圆锥的底面半径为r，由题意知，圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积＝πr·2r＝2πr2，圆柱的侧面积＝2πr·r＝2πr2.所以圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为2πr2∶2πr2＝22.考向3空间几何体的体积【例】(1)直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，E为棱CC1的中点，则三棱锥A1－B1C1E的体积为________．(2)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P是棱BB1的中点，则四棱锥P－AA1C1C的体积为________．中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师【解析】（1）由题意得S△A1B1C1＝12×2×3＝3，又因为E为棱CC1的中点，所以EC1＝1，所以V三棱锥A1－B1C1E＝V三棱锥E－A1B1C1＝13EC1·S△A1B1C1＝33.(2)由正方体的性质可得点P到平面AA1C1C的距离等于点B到平面AA1C1C的距离，即12BD＝22，故四棱锥P－AA1C1C的体积为13S四边形AA1C1C·22＝13×2×22＝13.题组训练1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2cm，E为C1D1的中点，则三棱锥E－A1BC的体积为________cm3.【解析】V三棱锥E－A1BC＝V三棱锥E－A1D1C＝V三棱锥A1－D1EC＝13S△D1EC·A1D1＝13×12×1×2×2＝23.2.已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为60πcm2，则此圆锥的体积为______cm3.【解析】设圆锥底面圆的半径为r，母线为l，则侧面积πrl＝10πr＝60π，解得r＝6，则高h＝l2－r2＝8，则此圆锥的体积为13πr2h＝13π×36×8＝96π.3.如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为________．【解析】三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.4.如图，正四棱锥P­ABCD的底面一边AB长为23cm，侧面积为83cm2，则它的体积为________cm3.中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师【解析】设正四棱锥P­ABCD的侧面上的斜高为h′，又底面一边AB长为23cm，则侧面积为4×12×23h′＝83(cm2)，解得h′＝2(cm)，则它的高h＝22－（3）2＝1，体积为13×(23)2×1＝4(cm3)．考向4与球有关的切、接问题【例】(2017·江苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1V2的值是________．（2）已知四棱锥P­ABCD的底面是边长为a的正方形，所有侧棱长相等且等于2a，若其外接球的半径为R，则aR＝________.【解析】1）设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以V1V2＝πR2·2R43πR3＝32.（2）如图，设四棱锥的外接球的球心为E，半径为R，则OB＝OC＝22a，PO＝142a，所以R2＝22a2＋14a2－R2，解得R＝414a，所以aR＝a414a＝144.中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师题组训练1.已知正三棱锥的高为1，底面边长为23，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为_____________.【解析】如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，∵△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．∵AB＝23，∴S△ABC＝33，DE＝1，PE＝2.∴S表＝3×12×23×2＋33＝36＋33.∵PD＝1，∴三棱锥的体积V＝13×33×1＝3.设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，则r＝3336＋33＝2－1.2.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面△ABC及其内切圆⊙O1和外接圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意知⊙O1的半径为r＝1，∴△ABC的边长为23，圆锥的底面半径为3，高为3，∴V＝13×π×3×3＝3π.3.已知三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．【解析】设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN的中点，设为O，则OA＝R，由4πR2＝12π，得R＝OA＝3，又易得AM＝2，由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，所以该三棱柱的体积为34×(6)2×2＝33.中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师4.已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，则这个圆柱侧面积的最大值是______.【解析】如图为其轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，则h22＋r2＝R2，即h＝2R2－r2.因为S＝2πrh＝4πr·R2－r2＝4π错误!≤4πr2＋R2－r224＝2πR2，当且仅当r2＝R2－r2，即r＝22R时，取等号，即当内接圆柱底面半径为22R，高为2R时，其侧面积的值最大，最大值为2πR2.中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师181