高三数学复习三角函数

高三数学复习三角函数高考风向标主要考查三角函数的定义，三角函数的符号，同角三角函数关系式及诱导公式，两角和与差的三角函数，二倍角的正弦、余弦、正切公式，三角函数的图象与性质，包括周期性、奇偶性、单调性、和最值性．典型题选讲例1（1）已知：;sincos12tan:),(求证Zkk（2）已知：)42tan(,54sin求的值.2(1),,22sin2sin1cos22tan.2sincos2sincos22243(2)sin,cos.55kkkZ讲解tan13412cos,sin,tan().552431tan2tan13412cos,sin,tan().552431tan2当时时当时时点评三角问题的解决，变形是多途径的．例如：题１也可以逆向考虑，事实上22112sin2sin1cos22tan.sin22sincos2sincos2222例2已知电流I与时间t的关系式为sin()IAt．（１）右图是sin()IAt（ω＞0，||2）在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()IAt的解析式；—3003001180—1900OIt（２）如果t在任意一段1150秒的时间内，电流sin()IAt都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？讲解本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．（１）由图可知A＝300．设t1＝－1900，t2＝1180，则周期T＝2（t2－t1）＝2（1180＋1900）＝175．∴ω＝2T＝150π．又当t＝1180时，I＝0，即sin（150π·1180＋）＝0，而||2，∴＝6．故所求的解析式为300sin(150)6It．（２）依题意，周期T≤1150，即2≤1150，（ω0）∴ω≥300π＞942，又ω∈N*，故最小正整数ω＝943．点评本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径．例３已知函数12)6(,8)0(,cos2cossin2)(2ffxbxxaxf且.（１）求实数a，b的值；（２）求函数)(xf的最大值及取得最大值时x的值.（１）函数.2cos2sin)(bxbxaxf讲解学会翻译，逐步展开解题思维．(0)8,()12,633(0)28,()12,6224,43.(2)()43sin24cos248sin(2)4,6fffbfabbafxxxx（1）由可得所以22,,626xkxkkZ故当即时，函数f(x)的最大值为12.点评结论22sincossinabab是历年高考命题的热点之一．例4已知tan2θ＝－22，π＜2θ＜2π，求2cos2θ2－sinθ－12sin(θ＋π4).讲解解题目标中含有角4,2，可向角转化，以便出现tan；而条件中的222tan可向tan转化.这样，就消除了解题目标与解题条件之间中的差异．事实上原式＝1＋cosθ－sinθ－12sin(θ＋π4)＝cosθ－sinθsinθ＋cosθ＝1－tanθ1＋tanθ，由tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－22，解得tanθ＝－22或tanθ＝2，∵π＜2θ＜2π，∴π2＜θ＜π，∴tanθ＝－22，∴原式＝1－(－22)1＋(－22)＝3＋22．点评差异分析，有时需要从条件和解题目标两个方向同时进行分析，这种相向而行的思维方式，可以快速联结解题的思维线路.例５在ABC中，sincosAA22，AC2，AB3，求tgA的值和ABC的面积．讲解本题是２００４年北京高考试题，下面给出两种解法．法一先解三角方程，求出角A的值．.21)45cos(,22)45cos(2cossinAAAA又0180A,.323131)6045(.105,6045tgtgAAA.46260sin45cos60cos45sin)6045sin(105sinsinASACABAABC1212232643426sin().法二由sincosAA计算它的对偶关系式sincosAA的值．sincosAA22①.0cos,0sin,180021cossin221)cos(sin2AAAAAAA23cossin21)cos(sin2AAAA,sincosAA62.②①+②得sinA264.①－②得cosA264.从而sin26423cos426AtgAA．以下解法略去．点评本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题．两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？例６设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，3sin2x)，x∈R.（１）若f(x)=1－3且x∈[－3，3]，求x；（２）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|2)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值.讲解（１）依题设可知，函数的解析式为f(x)=a·b＝2cos2x+3sin2x=1+2sin(2x+6).由1+2sin(2x+6)=1－3，可得三角方程sin(2x+6)=－23．∵-3≤x≤3，∴-2≤2x+6≤65，∴2x+6=-3，即x=-4．（２）函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x－m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象.由（１）得f(x)=2sin2(x+12)+1.∵|m|2，∴12m，1.n点评本小题是2004年福建高考试题，主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一．例７已知向量m=（1,1），向量n与向量m夹角为43，且m·n=－1.（1）求向量n；（2）若向量n与向量q=（1，0）的夹角为2，向量p=)2cos2,(cos2CA，其中A、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列．求|n+p|的取值范围．讲解（1）设.1,1),,(yxnmyxn有由①m与n夹角为43，有m·n=|m|·|n|·43cos，.1,1||22yxn则②由①②解得).1,0()0,1(.1,00,1nnyxyx或即或（2）由qn与垂直知)1,0(n，由2B=A+C知B=3，A+C=.320,32A若),cos,(cos)12cos2,(cos),1,0(2CACApnn则2221cos21cos2||coscos221411[cos2cos(2)]1cos(2).2323ACnpACAAA,21)32cos(1,35323,320AAA2115151cos(2),||[,),22342425||[,).22Anpnp即点评本题的特色是将向量与三角综合，体现了知识的交汇性．解题后，请你反思：解题思维的入手点，解题思维的障碍点，解题思维的开窍点，只有这样的反思训练，请相信，你就会慢慢成为解题高手的．例８如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，∠ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．（１）用a，表示S1和S2；（２）当a固定，变化时，求21SS取最小值时的角．讲解（１）∵.cos,sinaABaAC∴.2sin41cossin21221aaS设正方形边长为x.则BQ=xtgRCxctg,.axtgxxctg2sin22sincossin1cossin1aatgctgax.2sin42sin42sin)2sin22sin(22222aaS（２）当a固定，变化时，).42sin2sin4(412sin)2sin211()2sin211(2sin412sin41222221aaSS令).44(41,2sin21ttSSt则.10,20t令tttf4)(任取]1,0(,21tt，且21tt，))4()(()(4)(44)()(212121212121212121tttttttttttttttttftf．0)()(,04,10,021212121tftftttttt，]1,0(4)(在tttf是减函数．21,1SSt时取最小值，此时.4点评三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例．通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数4()fttt．这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？针对性演练1.函数)(xfy的图象如图所示，则)(xf的解析式可能是()（A）xxxfcos)(（B）xxxfsin)(（C）xxxfsin)(（D）xxxfcos)(2.已知4sin5，且sincos1，则sin2（）(A)2425(B)1225(C)45(D)24253.如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是（）.（A）202（B）203（C）402（D）2064.设)(tfy是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中240t.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观观察，函数)(tfy的图象可以近似地看成函数)sin(tAky的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）（A）]24,0[,6sin312tty（B）]24,0[),6sin(312tty（C）]24,0[,12sin312tty（D）]24,0[),212sin(312tty5.已知22，且sincos,a其中0,1a，则关于tan的值，在以下四个答案中，可能正确的是（）（A）3（B）3或13（C）13（D）3或136.如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：sin()(0,0,)22dAtkA，且当P点从水面上浮现时开始计算时间．有以下四个结论：①A=10；②215；③6；④k=5．则其中所有正确结论的序号是．7.求函数44sin23sincoscosyxxxx的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0,]上的单调递增区间．8.求函数xxxxxxf2sin2cossincossin)(2244的最小正周期、最大值和最小值．9.已知α为锐角,且,21tan求2cos2sinsincos2sin的值．10.已知0α2π，tan2α+cot2α=25，求s