《直线与圆的位置关系》教学设计

《直线与圆的位置关系》教学设计安徽省宿州市宿州学院附属实验中学罗风云一、教材依据直线与圆的位置关系是普通高中课程标准实验教科书数学必修2（人教A版）第四章第4．2．1节的内容。二、设计思想教材分析：普通高中课程标准实验教科书数学必修2（人教A版）第四章第4．2节《直线、圆的位置关系》主要介绍了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直线与圆的方程的应用等内容，大致安排四课时教学。本节课是第4．2节第一课时内容，是继学生学习了直线的方程、圆的方程等知识点之后，用解析法（坐标法）来研究直线与圆的位置关系。在平面几何中，已经对直线与圆的位置关系进行了定性的研究，即依照它们公共点的个数来判定它们的位置关系。但在实际问题中，我们会经常遇到直线与圆的位置关系的定量刻画问题，如当直线与圆有公共点时，其公共点的准确位置的确定问题，这是平面几何没有解决好的问题。学习了坐标法后，可以通过建立平面直角坐标系，使得直线与圆可以用方程表示，从而将直线与圆的位置关系的研究转化为直线的方程与圆的方程之间的数量关系的研究。当直线与圆有公共点时，公共点位置的确定就转化为求解直线的方程与圆的方程的公共解。同时，依据圆心到直线的距离与半径长的大小关系也可以判断直线与圆的位置关系，首先运用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后比较这个距离与圆的半径的大小，并作出位置关系的判断，仍然是用坐标法解决问题（几何意义相对直观些）。学情分析：现有知识储备（1）直线的方程；（2）直线与直线的公共点和方程组的解的关系；（3）点到直线的距离公式；（4）圆的标准方程、一般方程等现有能力特征具有一定的归纳、概括、类比、抽象思维能力现有情感态度对坐标法在具体情境中的应用具有强烈的求知欲和渴望探究的积极情感态度设计理念：以学生为本，重视思维发生的过程，通过两个角度来研究直线与圆的位置关系：一是从几何角度直观判断，二是通过直线与圆的方程从“数”的角度进行研究。这也体现了数形结合的思想。不断利用学生自主探究来激发学生的学习兴趣，有意识地培养学生的学习毅力，让学生学习有趣的数学，学习有用的数学，充分体现数学的应用价值、思维价值和人文价值。三、教学目标1．知识与技能目标：（1）使学生从具体的事例中认知和理解直线与圆的三种位置关系，并能利用dr法和法来判断;（2）当直线与圆有公共点时，会求直线与圆的公共点的坐标;当直线与圆相交时，会求圆的弦长，以及能解决与弦长相关的简单问题;(3)通过直线与圆的位置关系的代数化处理，使学生进一步认识到坐标系是联系“数”与“形”的桥梁，从而更深刻地体会坐标法思想。2．过程与方法目标：通过观察、实验、讨论、合作探究等数学活动使学生了解探索问题的一般方法；由观察得到“圆心到直线的距离和圆半径大小的数量关系对应等价于直线和圆的位置关系”，从而实现位置关系与数量关系的转化，渗透运动与转化的数学思想。3．情感、态度与价值观目标：创设问题情景，激发学生好奇心；体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验；通过“转化”数学思想的运用，让学生体会数与形的有机统一，对数学知识之间的关系有辩证的理解与认识。四、教学重难点本节课教学重点：用坐标法判断直线与圆的位置关系。本节课教学难点：探究直线与圆的位置关系的数量关系及其综合运用。重、难点突破措施：1．以情感人，以理醒人创设情境中：问题开题，扣人心弦；层层探究中：分类探究，步步为营，丝丝入扣。2．数形结合现代的多媒体技术直观、形象展示知识的形成过程，突破重难点。五、教学问题诊断学生在初中平面几何中已经接触过直线与圆的位置关系，学习了直线的方程、两直线的位置关系、两条直线的交点、点到直线的距离以及圆的方程等知识点之后，具备了利用方程研究直线与圆的位置关系的基本能力。为什么要对直线与圆的位置关系进行定量刻画？这是学生学习时可能遇到的第一个学习障碍。这个问题可以结合“暗礁问题”进行说明，这是平面几何没有解决的问题，必需借助坐标系，才能精确刻画。利用直线与圆的方程进行直线与圆的位置关系的研究时，会遇上求方程组的解，求圆心到直线的距离等大量的代数计算问题，由于有些问题（特别是像暗礁这样的实际问题）中的数据较复杂，可能导致学生计算出错，这是第二个学习障碍，教学时不能因为这个问题而使教学偏离重点，必要时可使用信息技术工具解决这个问题。六、教学方法与手段：以问题为主线组织探究，讲练结合，整理归纳。利用ppt、几何画板等多媒体手段辅助教学。七、课型：新授课八、教学过程设计：数学来源于生活，应用于生活。首先，我们来看一段美丽的海上日出视频。如果我们把海平面看作是一条直线，把太阳看作是一个圆，那么刚才的视频中直线与圆有几种位置关系呢？今天这节课我们就来研究如何判断直线与圆的位置关系。1．回顾旧知探究新知问题1：直线与圆的位置关系有几种？在初中,我们是怎样判断直线与圆的位置关系的呢？设计意图：从已有的知识经验出发，建立新旧知识之间的联系，构建学生学习的最近发展区，不断加深对问题的理解。师生活动：引导学生回忆初中阶段判断直线与圆的位置关系的两种思路，展示下面的表格，使问题直观形象。（其中d表示圆心到直线的距离）问题2：通过刚才的复习，大家觉得判断直线与圆的位置关系的方法有几种呢？设计意图：从旧知出发，引导学生总结直线与圆的位置关系的判断方法。师生活动：引导学生回答有两种：一是看圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系；二是看直线与圆公共点的个数。问题3：图中直线l与圆C的位置关系是什么？（打开几何画板）设计意图：利用电脑的分辨率造成误解，通过一系列的追问，让学生感受到能否判断位置关系，需要根据数量来判断，为后续引出用坐标法解决问题做铺垫。师生活动：通过教师追问，引起学生思考。生：图中直线l与圆C相切。师：上述图形中直线和圆的相切你是如何得到的？生：我是看出来的。师：经过放大后，你能看得出来它们的位置关系吗？（画得似乎相切（实际上相离）——很难看出来是相切还是相离）；（保持圆和直线的相对位置不变的情况下，拖动使得图形放大，再观察）生：是相离，看来有时眼睛也会欺骗我们，直线与圆的位置关系有些情况通过观察是看不出来的。师：是的，有的情形通过观察，也不清楚公共点个数的，那怎么办？生：那就通过圆心到直线的距离与半径比较大小。师：如何去比较呢？象图中圆心到直线的距离怎么得到？半径又是如何得到？用直尺度量长度行吗？生：好象也不行，那也只是近似的，象图中问题还是难以解决的。师：观察和度量都不是精确的，怎么样才是精确的呢？生：用计算出来的量化数字来判断。师：对，解析几何就是用代数方法研究几何问题的一门学科，直线、圆都有方程，那么我们就可以通过研究两个方程的相关量来判断直线与圆的位置关系，而要写出方程的前提是建立平面直角坐标系。下面我们来看一个实例。2．问题引导方法探究一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域.已知小岛中心位于轮船正西70km处，港口位于小岛中心正北40km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否有触礁危险？设计意图：让学生感受这个实际问题中所蕴含的直线与圆的位置关系，思考解决问题的方案。通过实际问题的解决，让学生体会生活中的数学，突出研究直线与圆的位置关系的重要意义。师生活动：让学生进行讨论、交流，启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知。师：你觉得船什么情况下有危险？只从图形上观察能否准确判断船有危险？生：如果船经过暗礁的圆形区域，就有危险，也就是说如果暗礁所在的圆与轮船航线所在的直线相切或相交，那么船就有危险。这种情况不能通过观察得出有没有危险，只有通过计算。问题4：你能根据我们学过的直线与圆的方程来判断它们之间的位置关系吗？步骤又该怎样写呢？设计意图：引导学生用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系，体验坐标法的思想方法。师生活动：通过教师追问，引起学生思考。师：要想求出圆与直线的方程，得有平面直角坐标系，那如何建立坐标系呢？怎样建立坐标系使得得到的方程更简单呢？生：以小岛中心为原点，以东西方向为轴，南北方向为y轴，建立平面直角坐标系。分析：如图，以小岛中心为原点，以东西方向为轴，南北方向为y轴，建立平面直角坐标系，其中，取10km为单位长度。则暗礁的圆形区域的边界所对应的圆的方程为922yx，圆心O（0，0），半径3r，轮船航线所在的直线的方程为02874yx，圆心到直线的距离365286528d，即rd，所以直线与圆相离。故轮船无触礁的危险。问题5：这是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判别直线与圆的位置关系（故可称此法为“法”）。请问用“法”的一般步骤如何？设计意图：对根据圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断直线与圆位置关系的步骤进行小结，对知识进行梳理，使学生有“操作规范”，培养其归纳能力，同时也渗透了算法思想。师生活动：教师引导学生分析归纳：（1）建立平面直角坐标系；（2）求出直线与圆的方程，从而确定圆心坐标与圆的半径；（3）求出圆心到直线的距离；（4）比较与的大小：①当时，直线与圆相交；②当时，直线与圆相切；③当时，直线与圆相离。问题6：如果从公共点个数的角度来考察直线与圆的位置关系，该如何解答呢？设计意图：引导学生回想两直线交点的解法，从而知道联立方程组，根据方程组解的情况判断直线与圆的位置关系。分析：联立方程组90287422yxyx，消去，得0343224652xx，因为039004．所以，方程组无解，直线与圆相离。故轮船无触礁的危险。问题7：根据方程组是否有解来判断直线与圆的位置关系（故可称此法为“法”）的步骤如何？设计意图：对根据方程组是否有解来判断直线与圆位置关系的步骤进行小结，对知识进行梳理，使学生有“操作规范”，培养归纳能力，同时也渗透了算法思想。师生活动：教师引导学生分析、归纳：（1）建立平面直角坐标系；（2）求出直线与圆的方程；（3）联立直线和圆的方程建成方程组；（4）消元得到一个一元二次方程，求出其判别式△的值，判断△的符号：①若△＞0，直线与圆相交；②若△＝0，则直线与圆相切；③若△＜0，则直线与圆相离。3．例题探究巩固提高例1.如图，已知直线：和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系。设计意图：通过例题巩固判断直线与圆的位置关系方法，关注量与量之间的关系，使学生体验用坐标法研究直线与圆的位置关系的两种思路。师生活动：教师引导学生分析解答。分析：方法一：可以依据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系（dr法）；方法二：可以看由它们的方程组成的方程组有无实数解（法）。（展示学生解答过程）例1变式：如果相交，求它们交点A,B的坐标．求弦AB的长度．设计意图：直线与圆的位置关系，当他们相交时，学习弦长的求法．师生活动：学生思考解决，可能有两种方法：方法一：因为两个交点坐标分别是，所以用两点之间的距离公式得弦长10AB；方法二：构造直角三角形，先求弦心距，再求弦长（如图所示）．总结提炼：弦长的求法：方法一：联立方程组求交点的坐标，而后利用两点间的距离公式；方法二：弦长公式：222dr（其中d表示圆心到直线的距离，r为圆的半径）例2．已知过点M（－3，－3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为54，求直线l的方程。设计意图：一方面巩固例1变式中的弦长公式，强调其应用；一方面为例2变式中对斜率存在性的讨论埋下伏笔。师生活动：教师引导学生分析解答。分析：可以先计算出圆心到直线l的距离（勾股定理），从而由点到直线的距离公式确定出直线l的方程（也可通过弦长公式来求）。思考：针对结果提出问题：能否结合图形解释为什么有两个？（提出两条直线关于直径对称的现象）例2变式：如果把题中的弦长改为8，结果如何呢？设计意图：如果学生对直线的斜率存在性不进行讨论的话，就会用直线的点斜式方程求出直线方程为)3(343xy（即02134yx），从而遗漏直线，这样做的目的还是使学生关注用点斜式或斜截式设直线方程式时要注意对斜率的存在性进行讨论。师生活动：学生解答，解释出错原因。