自学考试专题：高等教育自学考试网上辅导线性代数（经管类）第2章

第二部分矩阵本章概述矩阵是线性代数的重要内容，也是研究线性方程组和其它各章的主要工具。主要讨论矩阵的各种运算的概念和性质。在自学考试中，所占比例是各章之最。按考试大纲的规定，第二章占26分左右。而由于第三，四，五，六各章的讨论中都必须以矩阵作为主要工具，故加上试题中必须应用矩阵运算解决的题目的比例就要占到50分以上了。以改版后的三次考试为例，看下表按考试大纲所占分数07.407.707.10直接考矩阵这一章的26分左右31分34分38分加上其它章中必须用矩阵运算的所占分数51分53分67分由此矩阵这一章的重要性可见一般。2.1线性方程组和矩阵的定义2.1.1线性方程组n元线性方程组的一般形式为特别若，称这样的方程组为齐次方程组。称数表为该线性方程组的系数矩阵；称数表为该线性方程组的增广矩阵。事实上，给定了线性方程组，就惟一地确定了它的增广矩阵；反过来，只要给定一个m×(n+1)阶矩阵，就能惟一地确定一个以它为增广矩阵的n个未知数，m个方程的线性方程组。例1写出下面线性方程组的系数矩阵和增广矩阵【答疑编号12020101】例2写出以下面矩阵为增广矩阵的线性方程组【答疑编号12020102】2.1.2矩阵的概念一、矩阵的定义定义2.1.1我们称由mn个数排成的m行n列的数表为m×n阶矩阵，也可记为为矩阵A第i行，第j列的元素。注意:矩阵和行列式的区别。二、几类特殊的矩阵1.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O。例如都是零矩阵。2.若A的行数m=1，则称为行矩阵，也称为n维行向量。若A的列数n=1，则称为列矩阵，也称为m维列向量。3.若矩阵A的行数=列数=n，则称矩阵A为n阶方阵，或简称A为n阶阵。如n个未知数，n个方程的线性方程组的系数矩阵。4.称n阶方阵为n阶对角阵。特别若上述对角阵中，，称矩阵为数量矩阵，如果其中λ=1，上述数量阵为，称为n阶单位阵。5.上(下)三角阵称形如的矩阵为上(下)三角矩阵。2.2矩阵的运算这节介绍（1）矩阵运算的定义，特别要注意，矩阵运算有意义的充分必要条件；（2）矩阵运算的性质，要注意矩阵运算与数的运算性质的异同，重点是矩阵运算性质与数的运算性质的差别。2.2.1矩阵的相等为建立矩阵运算的概念，先说明什么叫两个矩阵相等。定义2.2.1如果矩阵A，Ｂ的阶数相同，即行数、列数都相同，则称矩阵Ａ与B同型；若A与B同型，且对应元素都相等，则称矩阵A与B相等，记为A=B。请注意区别两个矩阵相等和两个行列式相等例如虽然行列式有但矩阵；；。2.2.2矩阵的加减法定义2.2.2设A与B都是m×n阶矩阵(即A与B同型)，，则矩阵A与B可以相加(相减)，其和(差)定义为m×n阶矩阵例1设求A+B、A-B。【答疑编号12020103】例2则A与B不能相加(减)，或说A±B无意义。加法运算的性质设A，B，C都是m×n阶矩阵，O是m×n阶零矩阵，则1.交换律A+B=B+A。2.结合律(A+B)+C=A+(B+C)。3.负矩阵对于任意的m×n阶矩阵定义，显然A+(-A)=O；A-B=A+(-B)。2.2.3数乘运算定义2.2.3数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，定义为例3设，求3A。【答疑编号12020104】解例4设，求3A-2B。【答疑编号12020105】例5已知，求2A-3B。【答疑编号12020106】数乘运算满足：1.1·A=A2.设k,l是数，A是矩阵，则k(lA)=(kl)A3.分配律k(A+B)=Ka+kB；(k+l)A=kA+lA例6已知，且A+2X=B，求X。2.2.4矩阵的乘法先介绍矩阵乘法的定义，后面再介绍为什么这样定义乘法。一、定义定义2.2.4设矩阵，(注意:A的列数=B的行数)。定义A与B的乘积为一个m×n阶矩阵，其中(i=1,2,……m,j=1,2,…n)可见，矩阵A,B可以相乘的充分必要条件是A的列数＝B的行数，乘积矩阵C=AB的行数=A的行数；其列数=B的列数。例如则A,B可以相乘，其乘积其中例7设矩阵【答疑编号12020201】问BA有意义吗？无意义。因为第一个矩阵的列数不等于第二矩阵的行数，所以BA无意义。例8(1)设矩阵(2)求AB；BA【答疑编号12020202】此例说明AB,BA虽然都有意义，但两矩阵不同型，当然不相等。例9设矩阵，求AB,BA。【答疑编号12020203】为什么这样定义乘法？考虑线性方程组设，则，于是线性方程组(1)就可以写成矩阵形式AX=b。这表明，应用这种方法定义矩阵乘法，可以把任意线性方程组写成与一元一次方程ax=b完全相同的形式，使整个的讨论变得简单了。二、性质（1）乘法没有交换律，AB不一定等于BA。（2）结合律(AB)C=A(BC)（3）分配律(A+B)C=AC+BC；A(B+C)=AB+AC（4）数乘与乘法的结合律k(AB)=(kA)B=A(kB)（5）单位矩阵的作用。另一部分的证明请同学们自己作。但对于某些特殊的矩阵（方阵）满足AB=BA，我们称它们是乘法可交换的，例如n阶方阵A与n阶单位阵就可交换。例10设矩阵，求出所有与A乘积可交换的矩阵。【答疑编号12020204】2.2.5方阵的幂设A是一个矩阵，何时有意义?当且只当A为n阶方阵时，有意义。这时，对k≥2定义称为A的k次幂。例11数学归纳法证明【答疑编号12020301】（2）【答疑编号12020302】对于数，幂的运算有下列性质：（1）同底幂相乘，指数相加。即；（2）；（3）对于方阵的幂有下列性质：（1）。对于数，为什么所以对于n阶方阵不一定等于。根据矩阵乘法和方阵幂的性质，数的乘法公式有下面的变化：一般不等于。一般不等于。这些变化的原因就在于矩阵乘法没有交换律。但对于某些特殊的矩阵满足AB=BA，例如n阶方阵A与n阶单位阵就可交换，所以请思考例12设求。【答疑编号12020303】例13设，求。【答疑编号12020304】例14设。【答疑编号12020305】小结矩阵乘法和数的乘法性质的区别：(1)矩阵乘法没有交换律，由此引出乘法公式:如，不一定等于等公式的变化；(2)对于矩阵：两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵；(3)对于方阵，可能可能，…(4)不一定等于。2.2.6矩阵的转置一、定义定义2.2.5设。将其行列互换，所得的矩阵记为称它为A的转置，即显然，m×n阶矩阵A的转置是n×m阶。二、性质1.；2.；3.；现看下面的例例15设，求；问哪个有意义，若有意义，求它的乘积矩阵。【答疑编号12020306】解没有意义。有意义，且所以一般，，则AB是m×n阶的。是k×m阶，为n×k阶，故不一定有意义。但有意义。可以证明4.(反序律)。三、对称阵和反对称阵定义设A为n阶实方阵。如果满足，则称A为实对称(反对称)阵。例16为实对称阵；为反对称阵。例17证明:任意n阶方阵A都可以惟一地分解为一个对称阵和一个反对称阵的和。【答疑编号12020307】例18证明:设A,B都是n阶对称阵，证明AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA。【答疑编号12020308】扩展改为设A,B都是n阶反对称阵，证明AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA。2.2.7方阵的行列式一阶方阵和一阶行列式都是数，但当n≥2以后，矩阵和行列式是两个不同的概念，矩阵是一个数表，可以是方的也可以是长方的。对于n阶方阵，可以对它取行列式，但行列式已不仅是数表，而它的值是一个数。性质:1.；2.；3.。于是容易看出，虽然AB不一定等于BA，但。例19证明奇数阶的反对称阵的行列式等于零。【答疑编号12020309】2.2.8方阵多项式任意给定多项式和一个n阶方阵A。定义称f(A)为A的方阵多项式。例20设求f(A)。【答疑编号12020310】小结1.矩阵各种运算的定义(包括运算有意义的充分必要条件)；2.各种运算的性质(特别是与数的运算性质的相同点和不同点，尤其是不同点)作业p47习题2.21，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，122.3方阵的逆矩阵2.3.1逆矩阵的定义定义2.3.1设A是一个n阶方阵。若存在一个n阶方阵B使得。则称A是可逆矩阵，也称非奇异阵。并称。若这样的B不存在，则称A不可逆。定理2.3.1可逆矩阵A的逆矩阵是惟一的。证设都是A的逆矩阵。则。例1，验证A可逆，且。【答疑编号12020401】只要看容易看出，这时B也可逆，且。例2不可逆。【答疑编号12020402】解设，则。故不可逆。2.3.2n阶方阵可逆的充分必要条件为讨论n阶方阵可逆的充分必要条件，现引入方阵的伴随矩阵的概念定义设，为的代数余子式，则称为A的伴随矩阵，记为。下面计算类似地，有。若，有。于是有下面的定理。定理2.3.2n阶方阵A可逆的充分必要条件是，且当时，。证充分性已经得证。只要证必要性。设n阶方阵A可逆，据定义知，存在n阶方阵B使得AB=BA=E取行列式得，故，必要性得证。推论设A，B均为n阶方阵，并且满足AB=E，则A,B都可逆，且。推论的意义是，不必验证两个乘积AB，BA，而只要验证一个即可。证因为AB=E，故，所以。故A，B都可逆。由AB=E两边左(右)乘，得，于是有。2.3.3可逆矩阵的基本性质设A，B为同阶可逆矩阵。常数k≠0。则1.可逆，且。2.AB可逆，。3.也可逆，且。4.kA也可逆，且。5.消去律设P是与A，B同阶的可逆矩阵，若PA=PB，则A=B。若a≠0，ab=ac则b=c。但而6.设A是n阶可逆方阵。定义，并定义。则有，其中k，l是任意整数。7.设是阶可逆方阵，则。例3设，问a，b，c，d满足什么条件A可逆？这时求【答疑编号12020403】例4判断矩阵是否可逆？若可逆，求出它的逆矩阵。【答疑编号12020501】例5设A是n阶方阵，则。【答疑编号12020502】例6设A为n阶方阵，则当P为可逆矩阵时，A为对称矩阵。【答疑编号12020503】例7设n阶方阵A满足，求和的逆矩阵。【答疑编号12020504】例8设A是三阶矩阵，其行列式，求行列式的值。【答疑编号12020505】例9设n阶方阵A满足，证明。【答疑编号12020506】例10设n阶方阵A满足，其中m为正整数，求出的逆矩阵。【答疑编号12020507】例11设A为n阶可逆阵，证明：（1）（2）【答疑编号12020508】小结1.n阶方阵A可逆的充分必要条件是。2.A的伴随矩阵的定义及重要公式(1)，(2)当时。3.重要结果若n阶方阵A，B满足AB=E，则A，B都可逆，且。4.逆矩阵的性质(主要是说明求逆运算与矩阵其他运算的关系)2.4分块矩阵2.4.1分块矩阵的概念对于行数列数较高的矩阵A，为运算方便，经常采用分块法处理。即可以用若干条横线和竖线将其分成若干个小矩阵。每个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。例1对3×4阶矩阵，可以采用很多方法分块。【答疑编号12020601】如:分成，这时可记为，其中也可以分成；称为列分块矩阵。例2对于，可按下面方法分块【答疑编号12020602】，记成其中，2.4.2分块矩阵的运算1.加减法同型矩阵A，B采用相同的分块法，有则2.分块矩阵的数乘设，则。3.分块矩阵的转置例3一般，如果4.分块矩阵的乘法设矩阵A的列数=B的行数，如果对A，B适当分块，使。则其中。所谓适当分块是指保证上述出现的所有乘法都有意义。例4设A为m×k阶矩阵，B为k×n阶矩阵，则AB为m×n阶矩阵。若把矩阵B分成2.4.3几个特殊的分快矩阵的运算（1）准对角矩阵方阵的特殊分块矩阵形如的分块矩阵称为分块对角阵或准对角阵，其中，均为方阵。（2）两个准对角（分块对角）矩阵的乘积则（3）准对角矩阵的逆矩阵若均为可逆阵。可逆，且。例5求的逆矩阵。【答疑编号12020603】（4）准上（下）三角矩阵的行列式。可以证明例6设A，D是任意可逆矩阵，验证【答疑编号12020604】例7求矩阵的逆矩阵。【答疑编号12020605】小结分块的原则，保证运算有意义。2.5矩阵的初等变换和初等矩阵2.5.1矩阵的初等变换一、背景例1解线性方程组解(2)+(－1)(1)；(3)+(－1)(1)；(4)+(－2)(1)得(3)+(-1