电网络分析理论第五章动态电路的时域方程小结

第五章动态电路(网络)的时域方程目前线性非时变问题的状态方程，理论上都已解决，“矩阵论及其应用”中“矩阵微分方程”就有专门的论述。•状态变量分析的基本概念•状态方程的建立•建立状态方程的五种方法！！•线性状态方程的解析解法•状态方程的小信号分析本章要点线性时不变系统状态方程的列写和求解电路的状态实质上是指电路的储能(量)状况。状态变量选为：各独立电容的电压或电荷，各独立电感的电流或磁链（含高阶元件）状态变量(1)线性时不变网络xAxBuA为系数矩阵，B为控制矩阵()()ttxAxBu(,,)ftxxu(2)线性时变网络(3)非线性网络时变网络时不变网络(,)fxxu状态方程•输出方程：联系输出与状态变量和输入之间的关系式yCxDuy为输出向量,x为状态向量,u为输入向量,C和D为仅与电路结构和元件值有关的系数矩阵。()()ttyCxDu(,,)tyhxu(2)线性时变网络(3)非线性网络(1)线性时不变网络规范型状态方程的特征:(1)每个方程式的左端只有一个状态变量对时间的一阶导数;(2)每个方程式右端是激励函数与状态变量的某种函数关系,但不出现对时间的导数项。(,)tExhxDu半状态描述E为奇异矩阵•常态网络对于仅由电阻、电感、电容和独立电源组成的网络,如果不存在仅由电容和独立电压源组成的回路(称为C-E回路)和仅由电感和独立电流源构成的割集(称为L-J割集),则称为常态网络。C-E回路非常态网络含有C-E回路和／或L-J割集的网络称为非常态网络,又叫蜕化网络。1C2C3C4C1C2C3CsuC-E回路:仅由电容和/或电压源组成的回路C-E回路又称为纯电容回路或全电容回路L-J割集L-J割集:仅由电感和/或电流源组成的割集1L2Lsi1N2N1N2N常态网络的复杂度就等于网络中的储能元件的数目。dLCnbbL-J割集又称为纯电感割集或全电感割集独立电容电压C-E回路中一个电容电压不独立1C2C3C4C1C2C3Csu2u1u3u4u2u3u1u12340uuuu123suuuu独立电感电流CLCLdnnbbn非常态网络的复杂度L-J割集中一个电感电流不独立1L2Lsi1N2N1N2N2i1i1i2i3i1230iii12siii直接编写法直观列写法系统列写法网络拓扑法间接编写法由输入－输出方程编写由转移函数编写由信号流图(或系统框图)编写状态方程的建立方法直接法间接法建立状态方程的五种方法直观法系统法（特有树）（手直）稀疏表格法改进节点法端口分析法微分代数混和方程1线性动态电路的状态方程步骤(1)选取所有的独立电容电压和独立电感电流作为预选状态变量；状态方程的直观列写法(2)对每个独立的电容，选用一个割集，并依据KCL和电容的VAR列写节点方程；对每个独立的电感，选用一个回路，并依据KVL和电感的VAR列写回路方程(3)将上述方程中除输入以外的非状态变量用状态变量和输入表示，并从方程中消去，然后整理成标准形。2借助拓扑图的列写步骤1)包含所有的独立电压源；不包含独立电流源；2)包含尽可能多的电容和压控型高阶元件；3)包含尽可能少的电感和流控型高阶元件；（1）选择树（propertree）（2）选树支上电容电压、压控型高阶元件电压和连支上电感电流、流控型高阶元件电流为预选状态变量（3）对电容树支的基本割集列写KCL方程；对电感连支的基本回路列写KVL方程。（4）借助未使用的基本割集和基本回路将非状态变量用状态变量和输入表示，并从方程中消去，整理成标准形式。非线性电路状态方程标准形式为(,)txFxx为n维状态变量向量，F是x的某种非线性函数向量。3.非线性动态电路状态方程列写状态变量的选择压控电容的电压、荷控电容的电荷流控电感的电流、链控电感的磁链一般取元件特性的控制量元件特性条件表先选树，再建方程拓扑条件类型树支连支电容荷控压控电感电阻忆阻流控流控荷控链控链控压控荷控链控非线性动态电路状态方程的列写示例(4道例题)稀疏表格法ssbbnTvTWtfiuuNMAA)(0000100线性动态网络非线性动态电路()0()()0(,,)0bTbnbbAitutAuthuixüï=ïïï-=ýïïï=ïþ&改进节点法线性动态电路时域的改进节点电压方程221wJiuDCBYnnndtdp式中Yn1、C和D中可能含有一阶微分算符这是由网络中的储能元件、忆阻元件和高阶元件引起的。•常态网络212221121121XXHHHHYY电阻性多口网络－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋usnus1uE1uEruLquL1Ismis1ErE1LqL1iEriE1iLqiL1ic1uc1C1CpucpuD1D1DSuDs端口分析法线性动态网络的端口法多口网络方程为RLLuuuRiR－＋－＋uisiLLuL(a)R－＋－＋uisiLLuL(b)R－＋－＋uisiLLuL(c)端口电压与电流之间的关系为对于RLC非常态网络抽出的端口数目最少,连支电容和树支电感不单独形成端口！非线性动态网络的端口法•非线性时不变RLC网络一般网络结构为非线性电阻构成的p口线性电阻和独立源构成的（p+q）口储能元件构成的q口－＋－＋－＋－＋i1u1upIp+1Up+1Up+qDDYX)()()()()(21tvXHXFHXtvXFHXHXFRDRDDDDDDRDRRRRR非线性网络的方程为)()(21tvtvZXHHHHYYDRDDDRRDRRDR练习题常见类型(1)一般常态网络；(2)含有C-E回路或L-J割集的网络；(3)含有高阶元件的网络；(4)含有非线性元件的网络；(5)微分代数混合方程；状态方程的解不是重点！这部分内容在第二章相图部分中出现！线性状态方程的解方法分类1：数值解法解析解法分类2：时域解法频域解法状态方程的解法分类（1）线性时不变状态方程的时域解法xAxBu0()(0)()tttteeedAAAxxBu零输入响应零状态响应输出方程的解yCxDu00()()0()()()()ttttttetedtAAyCxCBuDu其解为零输入响应零状态响应()()()zizstttyyy0()()()()ttzsttedtAyCBuDu()()()()()()ttzstetttettAAyCBuDδuCBDδu()()ttetAhCBDδ称为冲激响应矩阵()()tthu矩阵指数函数eAt，又称为状态转移矩阵矩阵指数函数的计算凯莱-哈密顿(CayleyHamilton)定理(i)为有限项之和进行计算teA（ii）化A为对角阵进行计算化A为对角阵（或Jordan阵）1APΛP1PAPΛ有相似变换1tteeAPΛP1teΛPP121[,,,]ntttdiageeePP（iii）拉氏变换（复频域）法11()teLsA1A（2）线性时不变网络状态方程的复频域解法()(0)LssxXx()()(0)()sss1AXxBUxAxBu111()()(0)()()(0)()()ssssssX1AxBU1Ax1ABU1111()()(0_)()()tLsLssx1Ax1ABU11()teLsA1A•输出方程yCxDu()()()sssYCXDU称为网络函数矩阵1()()ssHC1ABD1()()tLsyY)(i),q(u2211fh-+i2u1q1R5R3R4is2练习题1（15%）图示电路具有一个非线性电容和一个非线性电感，其特性分别表示为,R3、R4、R5为线性电阻。写出电路的状态方程。12qY、-+i2u1q1R5R3R4is2解：选为状态变量i)(i),q(u2211fh114(q)qShdiidtR=++214(q)0dhRidtY-++=i+i214552(q)()0hRiRiRf-+++Y=15245(q)()hRfiRR-Y=[phone]q11()(q)()SdRhfidtRRRRR=-++Y+++-+i2u1q1R5R3R4is2i)(i),q(u2211fh214(q)0dhRidtY-++=i+i215245(q)()hRfiRR-Y=[phone]q11()(q)()SdRhfidtRRRRR=-++Y+++214(q)dhRidtY=-21521445(q)()(q)dhRfhRdtRRY-Y=-[phone]()(1)(q)dRRRfhdtRRRRYY=-+++以下有20道例题。方程的解不是重点！例1列写如图所示电路的状态方程。21iidtduCC解对接有电容C的节点a列写节点方程，得－＋absusiC2L1LR－＋Cu1i2i选电容电压uC和电感电流i1、i2为状态变量例题集11CsdiLuudt221CsdiLuuudt对含有L1的回路C-L1-uS和含有L2的回路C-L2-R-uS分别列写回路方程，－＋1u－＋absusiC2L1LR－＋Cu1i2i12()suRii222CssdiLuiRiudt对上述方程进行整理并写成矩阵形式，得11112222221100011000110CCssdudtCCuudiiidtLLidiRRdtLLLL返回(back)例2列写如图所示电路的状态方程。－＋CuLii解每个元件作为一条支路，可作出图示的有向图(实线为树支)。对基本割集列写KCL方程，得－＋12F11Hsu2CLduiidt42351Ciu选和为状态变量。LCiu－＋CuLi－＋12F11Hsu对基本回路列写KVL方程，得LCLsdiuiudt423512CCLduuidt写成标准0.50.50111CCsLLduudtuididt返回(back)例3列写图示电路的状态方程。解对C1、C3和us组成全电容回路,故u1和u3两个电容电压只能选其中之一为状态变量；－＋susi1C3C2L4L4R3R－＋1u3u－＋2i4i13uuus4213567应用KVL得对L2、L4和is构成全电感割集,电路的有向图如图示,故选u1和i2为状态变量。－＋susi1C3C2L4L4R3R－＋1u3u－＋2i4isiii24故i2和i4两个电感电流只能选其中之一为状态变量。4213567应用KCL得－＋susi1C3C2L4L4R3R－＋1u3u－＋2i4i4213567对基本回路列写KVL1444422uiRdtdiLdtdiL对基本割集列写KCL方程，得2533311iRudtduCdtduC－＋susi1C3C2L4L4R3R－＋1u3u－＋2i4i4213567消去u3和i4，整理成标准形式状态方程，有返回(back)151313122242435131344242411()14100()00ssssduRCCCCudtidiRdtLLLLCduRCCCCudtidiRLLLLLdt例4列出图示电路