工程数学复变函数积分变换场论59432

第二章第二章解析函数解析函数第一节解析函数的概念第二节函数解析的充要条件第三节初等函数第一节第一节解析函数的概念解析函数的概念第二章第二章解析函数解析函数吴新民--22--第一节解析函数的概念一复变函数的导数与微分二解析函数的概念第一节第一节解析函数的概念解析函数的概念第二章第二章解析函数解析函数吴新民--33--)(zfw定义在区域D内，设函数1）导数的定义定义0z为D中的一点。则说函数)(zfw在0z处是可导的，即个极限值为函数)(zf在0z的处导数，而称这)(0zf或。0zzdzdw记作zz0不出D的范围，点zzfzzfz)()(lim000存在，如果极限一复变函数的导数与微分第一节第一节解析函数的概念解析函数的概念第二章第二章解析函数解析函数吴新民--44--00000()()()limzzzdwfzzfzfzdzz如果函数)(zfw在区域D上每一点都是可导的，则称)(zfw是D上的可导函数。例1解所以,3)(2zzfzzfzzfz)()(lim0因为3)(zzf，求。、)1()(ifzf设(2.1.1)])(33[lim220zzzzzzzzzz330)(lim23z)1(ifi6第一节第一节解析函数的概念解析函数的概念第二章第二章解析函数解析函数吴新民--55--例2解zzfzzfz)()(lim0由于yixxiyyx2lim00因此函数不可导xiyzf2)(xiyzf2)(的可导性。研究函数yixxiyixxyyyx2)(2)(lim00yixxiyyx2lim00yixxiyyx2lim00,2ii第一节第一节解析函数的概念解析函数的概念第二章第二章解析函数解析函数吴新民--66--例3解所以iixf2)(zzfzzfz)()(lim0由于xiyzf2)(2在点ix处的可导性。研究函数yixxiixxyyx)2)1(()(2)1(lim2200yixyixiyx)(2lim00i2第一节第一节解析函数的概念解析函数的概念第二章第二章解析函数解析函数吴新民--77--2）可导与连续的关系由例2可知，因此必有,0)]()([lim000zfzzfz即)()(lim00zfzfzz在)(zfw0z处可导，但是如果函数)()()(lim0000zfzzfzzfz则所以，可导一定连续。但在此点未必可导，一个函数在复平面上某点处是连续的，连续未必可导。即第一节第一节解析函数的概念解析函数的概念第二章第二章解析函数解析函数吴新民--88--3）求导法则求导公式与法则：(1),0)(C其中C为常数。(2),)(1nnnzz其中n为正整数。(3)。)()(])()([zgzfzgzf(4)。)()()()(])()([zgzfzgzfzgzf(5)。0)(,)()()()()()()(2zgzgzgzfzgzfzgzf第一节第一节解析函数的概念解析函数的概念第二章第二章解析函数解析函数吴新民--99--。)()]([})]([{zgzgfzgf(6)(7),)(1)(wgzf其中)()(wgzzfw、是两个互为反函数的单值函数，且。0)(wg例1其中n为正整数，。0z解)(nz因此，当0z时，公式(2)对n是负整数也是成立的。,)(nz求利用公式(2)、(4)nz1nnznz211nnz第一节第一节解析函数的概念解析函数的概念第二章第二章解析函数解析函数吴新民--1010--4）微分的概念设函数)(zfw在0z处可导，得zzzzfzfzzfw)()()()(000其中,0)(lim0zz因此，|)(|zz是||z的高阶无穷小量，如果函数)(zfw在0z处的改变量w可zzf)(0是函数)(zfw的改变量w的线性部分。而定义)()()(lim0000zfzzfzzfz则由导数的定义第一节第一节解析函数的概念解析函数的概念第二章第二章解析函数解析函数吴新民--1111--以表示成zA与z的高阶无穷小zz)(之和，因此，一个函数)(zfw在0z可导，则必在0z可微，且。zzfdz)(0反之，设函数在0z处可微，则zzzAw)(因此,)(limlim00AzAzwzz即一个函数)(zfw在0z可微，则必在0z处可导，称函数)(zfw在0z处是可微的，则zAdw即zA为函数在0z处的微分，而称dw记作第一节第一节解析函数的概念解析函数的概念第二章第二章解析函数解析函数吴新民--1212--且。Azf)(0综上所述：一个函数在一点可导和可微是等价的。如果记,dzz则,)(dzzfdw因此，导数)(zf为微分的商（微商）。dzdw(2.1.2)第一节第一节解析函数的概念解析函数的概念第二章第二章解析函数解析函数吴新民--1313--定义由定义，)(zfw在0z处及其0z的某个邻域内可导，如果函数数在一个区域D上每一点处都是解析的，如果一个函)(zfw在0z不解析，如果函数)(zfw在0z处解析。则称函数D上的解析函数。则称函数为称0z为函数)(zfw的奇点。则函数在一点解析，必在此点可导，点可导，未必在此点解析。但在一而在一个区域上解析与可导二解析函数的概念第一节第一节解析函数的概念解析函数的概念第二章第二章解析函数解析函数吴新民--1414--是等价的。例4解xiyzg2)(2在复平面上满足条件1Imz的点是可导的，由例3，函数zzhxiyzgzzf)(,2)(,)(23在复平面上的解析性。研究函数3)(zzf在复平面上每一都是可导的，由例1，由于函数因此是解析的。事实上，)1(yiyxz时，当但在其他点是不可导的，第一节第一节解析函数的概念解析函数的概念第二章第二章解析函数解析函数吴新民--1515--zzgzzg)()(而zzgzzgyx)()(lim00xiyzg2)(2yixxiyixxyy)()(2)(22yixxiyyy2)(22zzgzzgyx)()(lim00,2iyi2第一节第一节解析函数的概念解析函数的概念第二章第二章解析函数解析函数吴新民--1616--1y由于，因此xiyzg2)(2在1Imz处不可导，从而在复平面上每一点都不解析。由于zzhzzh)()(而yixyixyx00lim因此zzh)(在复平面每一点都不可导，从而不解析。zzh)(zzzzyixyix,1yixyixyx00lim1第一节第一节解析函数的概念解析函数的概念第二章第二章解析函数解析函数吴新民--1717--定理2）设函数)(zgh在z平面的区域D内解析，函数)(hfw在h平面的区域G内解析，则函数)]([zgfw在区域D内解析。从而多项式函数在复平面上是解析的，D解析的两个函数)()(zgzf、的和、差、积与商（分母不为零）仍是解析函数。1）在区域Dz时，Gzgh)(且当函数在不含分母为零的区域内是解析的，有理分式的点为奇点。使分母为零第二节第二节解析函数的充要条件解析函数的充要条件第二章第二章解析函数解析函数吴新民--1818--第二节函数解析的充要条件一函数解析的充要条件二例题第二节第二节解析函数的充要条件解析函数的充要条件第二章第二章解析函数解析函数吴新民--1919--定理一),(),(yxvyxu、在点),(yx处可微，[证]其中),(),(yxuyyxxuu),(),()(yxivyxuzf定义在区域D内，设)(zfD在内的一点iyxz可导的充要条件是：则黎曼方程,(2.2.1)uvuvxyyx并且满足柯西-viuzfzzfw)()(设),(),(yxvyyxxvv一函数解析的充要条件第二节第二节解析函数的充要条件解析函数的充要条件第二章第二章解析函数解析函数吴新民--2020--条件的必要性因此)0)(lim()()(0zzzzzfwz令21)(,)(izibazf比较上式的左右边得viu因此yxybxau21由于,0)(lim0zz所以,0lim,0lim200100yxyx因此)(zfw在iyxz处可微由于)()(yaxbiybxa)()(2221yxiyxyxyaxbv22))((yixbia))((21yixi第二节第二节解析函数的充要条件解析函数的充要条件第二章第二章解析函数解析函数吴新民--2121--可得),(),(yxvyxu、在点),(yx处可微，条件的充分性而),(),(yxvyxu、在点),(yx处可微，在这里,)4,3,2,1(0lim00kkyx因此有,viuw由于u则,yvxua且xvyubvyyuxxuyx21yyvxxvyx43第二节第二节解析函数的充要条件解析函数的充要条件第二章第二章解析函数解析函数吴新民--2222--uvyyuxxuyx21yyvxxvyx43viuw利用柯西-黎曼方程xvyuyvxu,得yixizxvixuw)()()(4231由于,1,1zyzx故00420310zxizxizz)(lim,)(limyixi)()(4231yyviyuxxvixu)()(第二节第二节解析函数的充要条件解析函数的充要条件第二章第二章解析函数解析函数吴新民--2323--因此)(zfw在iyxz可微，从而可导，说明：定理二),(),(yxvyxu、在区域D上可微，()uvfzixx且根剧定理一的证明和柯西-黎曼条件知，果函数)(zfw在iyxz处可导，如()uvfzixx则在此处必有),(),()(yxivyxuzfw在一个区域D解析的充要条件是：函数yxyxuvvu,且满足柯西-黎曼方程。(2.2.2)vuiyy第二节第二节解析函数的充要条件解析函数的充要条件第二章第二章解析函数解析函数吴新民--2424--例123)3()sin(cos)()2(,)1(iyxwxixezfzwy,iyxzw柯西-黎曼方程不满足，（2）cos,yuex柯西-黎曼方程满足，因此，此函数在复平面上每一点研究下列函数的解析性（可导性）。解（1）点都不可导，从而不解析。因此，此函数在复平面上每一,xu,yv1xuyv1sinyxuexcosyyuexsinyvex,yvxv二例题第二节第二节解析函数的充要条件解析函数的充要条件第二章第二章解析函数解析函数吴新民--2525--都可导，从而解析。（3）,3xu当yx232时，柯西-黎曼方程不满足，函数不可导，且,3)