华东师范大学2010年数学分析考研试题

华东师大2010数学分析一.求解下列各题（1）求曲线2:(),()2,()cos,txxttyytezzttttΓ====+==+∈
c在点()(0),(0),(0)xyz处的切线方程与法线方程.（2）求由方程22221xxyy++=所确定的隐函数()yfx=的极值（3）计算()()()333Sxadydzybdzdxzcdxdy−+−+−∫∫，其中S是球面的外侧（4）求函数()22xefxx=−在0x=处的泰勒展开式并求出()(0)nf.（5）求(),xygxy此处()()()()20arctanarctan(,),,0,0,xtytgxydtxyt+∞=()∈∞×∞∫.二.证明下列各题（1）已知(),fxy在00(,)xy处可微且()00,0fxy=，(),gxy在00(,)xy处连续.证明(,)(,)fxygxy在00(,)xy处可微且()000000(,)(,)(,)dfgxygxydfxy=（2）设()fx为定义在[,)a+∞，()a∈
上的正值连续函数.证明：若(1)lim1()xfxqfx→∞+=，则反常积分()afxdx∞∫收敛.（3）证明：（1）对于n∀∈
，关于x的方程11kxken∞==+∑在中[0,1]存在唯一实根，记为na；（2）证明数列{}na有极限，并求出此极限.（4）设在(),fxy[,][,]abcd×（,,,abcd为实数且,abcd）上连续.令()[][,]max(,),,ycdMxfxyxab∈=∈证明：在()Mx上[],ab连续.（6）设()fx在[],ab可导（ab为实数）.证明()fx在[],ab一致可导的充要条件是：()fx在[],ab上连续.这里的一致可导指：对0,0εδ∀∃s.t.对[],,xyab∀∈，只要0xyδ−就有()()()fxfyfxxyε−′−−成立.三.设可积函数列{}()nfx在[],ab（ab为实数）上一致收敛于()fx.（1）证明()fx在上可积且lim()()bbnaanfxdxfxdx→∞=∫∫；（2）{}()nfx在[],ab上一直可积，这里{}()nfx在[],ab上一致可积指：对于0,0εδ∀∃使得对任意分割T：01kaxxxb==L，只要1maxiikxδ≤≤Δ，就有1()()kbnniiaifxdxfxξε=−Δ∑∫对任意[]1,,1iiixxilξ−∈≤≤及任意n∈
成立；（3）举例说明（2）的逆命题不成立.