第十二届中关村青联杯全国研究生数学建模大赛面向节能的单多列车优化决策问题3

-1-参赛密码（由组委会填写）全第十二届“中关村青联杯”全国研究生数学建模竞赛学校山东大学参赛队号10422053队员姓名1.赵辉2.郭一飞3.田浩-2-参赛密码（由组委会填写）第十二届“中关村青联杯”全国研究生数学建模竞赛题目面向节能的单/多列车优化决策问题摘要：本文建立了单列车的节能操控策略分析模型、单列车的节能优化最优控制模型、单列车的速度—路程计算模型、多列车的发车间隔优化分析模型、列车延误恢复优化控制模型。在上述模型基础上，对单列车的操控策略以及多列车的发车间隔进行了全面分析和优化。在模型求解方法上面，引入了贪心算法，二分法以及分治算法，提高了模型计算效率，有利于模型的推广。针对问题一，提炼出了典型的最优控制问题模型。并利用E-T曲线的单值对应关系，创新性地提出将时间约束问题转化为能量约束问题。通过对哈密尔顿函数的分析，总结出单列车单路段最节能的五种操控策略。在模型求解方面，采用二分法对最小能量点进行求解。给出了单列车的速度—路程曲线以及各个时刻的速度、牵引力、消耗功率等数据结果。对于单列车两路段的模型，是在单路段优化模型基础之上，进行两路段的时间分配再优化。对于该模型的求解，从E—T函数曲线的性质进行求解，引入了贪心算法，不断迭代进行求解。给出了两路段的速度—距离计算曲线，以及各时刻速度、牵引力、消耗功率等数据结果。针对问题二，将整个复杂的多变量约束优化问题分步优化。第一步借鉴了第一题的求解思想，将单列车在全程路段中进行能耗的优化，使之在不考虑能量回收时，达到最小能耗的节能要求。第二步是将多列列车的发车间隔作为优化控制变量。先对两相邻列车模型进行了优化分析，得出在两车间隔为241s秒为最优发车间隔；再对三相邻列车模型进行了优化分析，得出在题给约束条件下，三车分别相隔660s和658s时，三车的总能耗达到最低的结论。基于对两车优化和三车优化的分析，结合分治算法，提出了多列车的有约束能耗优化模型，该模型将复杂的多车优化分组优化，通过两车优化或者三车优化使问题得到简化，有利于求解。并且在模型的改进中，提出了将分组优化后的相邻车辆进再次等值成单列列车，反复使用两车优化和三车优化模型，最终得出全部列车的优化结果。-3-针对问题三，提出了一种后车“延赶结合”的列车延误调整控制策略。按照该策略控制列车，可以阻止延误的进一步传播，使列车延误范围最小化；并能使后车经过一站的时间，达到恢复正点运行的目的。并基于这种调整策略，建立以能量消耗最小为目标函数的列车延误优化控制模型。根据运行条件不同给出了两种求解算法。考虑到列车发生较大延误的情况，进一步将模型推广到多列车的优化控制，给出了一种考虑多列车的列车延误优化控制模型，并提出利用遗传算法求解该模型。关键词：单列车的节能优化最优控制模型单列车的速度—路程计算模型多列车的发车间隔优化分析模型列车延误恢复优化控制模型-4-一、问题重述1.1问题背景轨道交通具有区间距离短、起动和制动频繁等特点，带来严重的能量消耗问题。在低碳环保、节能减排日益受到关注的情况下，针对减少列车牵引能耗的列车运行优化控制近年来成为轨道交通领域的重要研究方向。因此从能耗的角度，研究列车运行操纵控制与组织调度的优化模型和算法，建立不同的描述列车运行控制的优化模型及算法，不仅在理论上丰富了和拓展优化理论在列车运行控制中的应用，更可以在实践上加强对铁路运输系统轨道交通流的控制和管理,减少铁路运输企业的能耗成本支出，同时有助于建设资源节约型社会，促进铁路运输企业履行社会责任、落实可持续发展的理念。从而尽可能发挥轨道交通系统的最大效率和效益，为轨道交通系统在新形势下的发展提供理论基础和技术支持[1]。1.2问题描述本文分别针对单辆列车及多辆列车提出节能优化方法。针对单列列车控制，主要通过操纵控制，改变列车牵引、巡航、惰行和制动的状态在保证列车准点的前提下实现节能运行。对于多辆列车控制，除了通过操纵控制，还可以通过改变不同列车的发车间隔及停车时间等调度管理的方法，提高再生能量利用效率，实现节能运行。最后，针对可能出现的延误等极端现象提出相应的优化控制计算模型。1.3本文所需解决的问题一、单列车节能运行优化控制问题1）建立计算速度距离曲线的数学模型，计算寻找一条列车从A6站出发到达A7站的最节能运行的速度距离曲线，其中两车站间的运行时间为110秒。2）建立计算速度距离曲线的数学模型，计算寻找一条列车从A6站出发到达A8站的最节能运行的速度距离曲线，其中要求列车在A7车站停站45秒，A6站和A8站间总运行时间规定为220秒。二、多列车节能运行优化控制问题1）当100列列车以间隔H={h1,…,h99}从A1站出发，追踪运行，依次经过A2，A3，……到达A14站，中间在各个车站停站最少Dmin秒，最多Dmax秒。间隔H各分量的变化范围是Hmin秒至Hmax秒。建立优化模型并寻找使所有列车运行总能耗最低的间隔H。要求第一列列车发车时间和最后一列列车的发车时间之间间隔为T0=63900秒，且从A1站到A14站的总运行时间不变，均为2086秒。2）接上问，如果高峰时间（早高峰7200秒至12600秒，晚高峰43200至50400秒）发车间隔不大于2.5分钟且不小于2分钟，其余时间发车间隔不小于5分钟，每天240列。制定运行图和相应的速度距离曲线。三、列车延误后运行优化控制问题接上问，若列车i在车站Aj延误DTij发车，建立控制模型，找出在确保安全的前提下，首先使所有后续列车尽快恢复正点运行，其次恢复期间耗能最少的列车运行曲线。-5-二、模型的假设与符号说明2.1模型假设假设一：忽略列车长度，用单质点模型表示列车；假设二：不考虑列车的乘客及上座率，质量为列车车体质量；假设三：列车的牵引力、制动力可以连续调节；假设四：列车运行过程中的动能只考虑线性动能，而不考虑列车转弯过程中的转动动能；假设五：在分组优化中，认为各单元的控制策略相同。2.2符号说明表2-1符号说明参数符号符号说明maxF牵引力的最大值（kN）f实际输出的牵引力和最大牵引力的比值0w单位基本阻力（N/kN）1w单位附加阻力（N/kN）i线路坡度R轨道曲率半径（m）maxB最大制动力（kN）b实际输出的制动力与最大值动力的比值M列车质量（kg）maxV线路限速（km/h）-6-E列车的耗能（kJ）T列车在区间的运行时间（s）maxminDD、列车的最大、最小停站时间（s）maxminHH、列车的最大、最小运行时间（s）L列车运行总路程（m）h两辆列车间的出发间隔（s）ijDT列车i在车站j的延误时间（s）s距离（m）三、问题分析3.1针对问题一问题一是针对单列列车的以耗能最小为目标的控制策略最优问题，属于典型优化控制问题。状态量为列车位置和速度，控制变量为列车的牵引力和制动力。初状态和末状态均已知，在约束条件下，选择合适的控制变量取值，使得系统目标函数达到最小。对于该类问题的建模和求解方法常分为数值方法和随机方法。就本题来说，控制变量较少，数值方法在可行的基础上效率更高，所以本文将用数值方法进行求解。3.2针对问题二问题二需考虑控制变量较多，包括每列车的发车间隔，每列车的停站时间以及每列车的控制策略，并且相关控制变量均有自身的约束条件，分析较为复杂，大规模的随机算法在计算效率上难以满足需要。在对复杂模型进行部分简化的基础上，再借助第一问的优化结论，可以将该复杂问题转化为一个两步优化的问题，先从能量角度对单列车进行优化，再将列车之间的发车间隔进行优化，具体描述如下：第一步：关于单列车的控制方式，先不考虑能量回收的问题，在A1-A14站之间找到最优的运行方式。使得列车从电网中获取能量最小。第二步：在单列车全程优化的基础之上，对多列列车的发车间隔H进行优化，使得从电网所需总能耗最小。-7-3.3针对问题三问题三是列车延误情况下恢复运行的控制策略问题，涉及恢复运行的安全距离、恢复调整时间以及恢复过程能耗问题。涉及变量较多，与前两题相比复杂程度进一步提升。基于此，本文提出了一种基于延赶结合策略的优化控制模型，并根据根据运行条件不同给出了两种求解算法。考虑到列车发生较大延误的情况，进一步将模型推广到多列车的优化控制，给出了一种考虑多列车的列车延误优化控制模型，并提出利用遗传算法求解该模型。四、问题一求解4.1数学模型4.1.1单路段的最优控制模型在列车运行时间和距离确定的条件下，列车可以有多种操纵策略。问题一的核心在于寻一种操纵策略最小化列车在运行过程中的牵引耗能。列车正常运行状态时的动力学方程为：()()()()dvxFxBxWxdt(4—1)式中,v为列车运行速度；t为列车运行时间；x为列车运行位置；F为列车施加的牵引力。B为列车施加的制动力；W表示列车的总阻力，由基本阻力和附加阻力组成。由题目已知条件，牵引力F可以由式（4—2）给出，制动力B可以由式（4—3）得到，总阻力W由（4—4）给出：maxfFF(4—2)maxbBB(4—3)01()1000M(4—4)其中，32max203051.5km/h0.0020320.492842.12134351.580km/hvvvvvF(4—5)max2166077km/h0.134325.0713007780km/hvBvvv(4—6)201wABvcvcwiR(4—7)式中,f为实际输出的牵引力和最大牵引力的比值；b为实际输出的制动力与最大值动力的比值；0w为基本阻力；maxF为最大牵引力；maxB为最大制动力；A、B、C为阻力-8-多项式系数，一般取经验值；1w为附加阻力；i为线路坡度；c为综合反映影响曲线阻力许多因素的经验系数，一般取600；R为曲率半径。综上，以最节能运行作为优化目标，满足列车运行所需的时间约束、最大加速度约束、最大减速度约束、限速约束的数学模型为：0maxmax0mmin()s.t.()()1()()11(0)()0,()()()()(,)LfbLEFxdxxxdxTvxdvxdtvvTvxVdvxFvBvWxvdtax()()1,()100fbxxx(4—8)式中,E为列车运行的牵引耗能；L为列车的运行距离；T为列车的运行总时间；max()Vx为列车在x处的限速。4.1.2两路段的最优控制模型根据上述模型可以得出单路段的最优操控，问题一第二问要求在两路段进行优化。在上一问的基础上，对于两路段的优化提出如下数学模型：1212121200maxmax00mins.t.(),()()()11()()()()()(,)LLfbLLEEEEFxdxEFxdxxxdxdxTvxvxdvxFvBvWxvdtmax()11(0)()0,()()()1,()100fbdvxdtvvTvxVxxx(4—9)式中,1E和2E分别为路段1和路段2的耗能；1L和2L为两路段路程；T为两运行总用时（不包括停车时间）；其余变量含义不变。4.2模型求解方法4.2.1列车运行状态之间的转换分析列车运行过程中，一般会有牵引、巡航、惰行、制动四种运行状态。在列车运行过程中，由于受到线路的限速等限制，这四种状态之间发生相互转化（如图4.1所示）。例如，当列车启动后加速运行到最高限速时，列车需要由牵引状态转化为巡航状态。虽然列车运行过程中会发生四种状态之间的相互转化，但是这种无序操纵序列转化显然不是最优的，频繁的加减速必然会使得能量消耗较大[2]。-9-速度牵引巡航惰行制动路程牵引惰行图4.1列车的操纵序列示意图由庞德利亚金最大原则[1]可知，最小化列车牵引能耗等价于最大化汉密尔顿函数H：21[()()()]()()pHpFxBxWxFxvx(4—10)根据式（4—10），分析列车节能运行策略分为5种情况：1）11p时，F=Fmax，B=0，最大加速；2）11p时，F可变