312用二分法求方程的近似解第四届全国高中数学青年教师观摩与评比活动山东杨明

普通高中课程标准实验教材－－数学（必修1）中央电视台“幸运52”录制现场有奖竞猜游戏：请同学们猜一猜某物品的价格从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，如果沿着线路一段段的查找困难很多,为了尽快断定故障发生点，你能找一个简便易行的方法吗？请你思考:123456789101112131415定义：查找目标时，每次区间取中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法.常用于查找电线、水管、气管等管道线路故障及实验设计、资料查询等.利用二分法求方程的近似解问题1.你能求下列方程的解吗？2(1)210(2)ln260(3)2370xxxxxx-+=+-=+-=问题2.怎么求上述方程的近似解？请你思考:阿贝尔伽罗瓦探究：(2)ln260xx求方程的近似解(误差不超过0.1).由上节课例1:我们发现f(2)=-1.30690,f(3)=1.09860，由零点存在定理知:函数在区间(2,3)上有零点，又因为f(x)在其定义域内为增函数,所以原方程有唯一解x0∈(2,3).问题3:你知道零点大致范围吗？()ln26fxxx7.79185.60943.38631.0986-1.3069-4f(x)654321xxyo....2534.探究：(2)ln260xx求方程的近似解(误差不超过0.1).问题3:你知道零点大致范围吗？()ln26fxxx7.79185.60943.38631.0986-1.3069-4f(x)654321xxyo....2534.问题4：用什么方法进一步缩小零点所在的区间？-+23-++020,30(2,3)ffx02.50,30(2.5,3)ffx02.50,2.750(2.5,2.75)ffx02.50,2.6250(2.5,2.625)ffx∵|2.5－2.5625|=0.06250.1∴原方程的近似解可取2.522.53-+22.52.753--+22.52.6253--++02.50,2.56250(2.5,2.5625)ffx-+22.52.56253+-02.531250,2.56250(2.53125,2.5625)ffx22.531252.56253-+-+问题5：分到何时可以停止计算?设精确度为,只要有便断言达到精确度,停止计算,零点的近似值为a或beabe-(2)ln260xx探究:方程的近似解(误差不超过0.1).（精确度是0.1）020,30(2,3)ffx问题6：你能否给出二分法求方程近似解的一般步骤？[]()0,()()0,,abfafbxab?1.确定区间,验证得；()12.2ababx+=求得区间，的中点；13.(),fxab计算，二分区间（）；1(3)()0,fx=若1(1)()()0fafx若，()12()()0fbfx若，4.判断是否达到给定的精确度，若达到，则得出近似解；若未达到，则重复步骤2～4。01.xx=则101(,))bxxaxÎ则令＝（此时；101(,))axxxb=?则令（此时；02.50,30(2.5,3)ffx02.50,2.750(2.5,2.75)ffx02.50,2.6250(2.5,2.625)ffx∵|2.5－2.5625|=0.06250.102.50,2.56250(2.5,2.5625)ffx∴原方程的近似解可取2.5(2)ln260xx求方程＝的近似解(精确度是0.1).020,30(2,3)ffx02.50,30(2.5,3)ffx02.50,2.750(2.5,2.75)ffx02.50,2.6250(2.5,2.625)ffx∵|2.5－2.5625|=0.06250.1∴原方程的近似解可取2.502.50,2.56250(2.5,2.5625)ffx次数n取区间ab2ab2abfab例：∵|2.5－2.5625|=0.06250.1,∴x0≈2.5次数n取区间ab2ab2abfab020,30(2,3)ffx02.50,30(2.5,3)ffx02.50,2.750(2.5,2.75)ffx02.50,2.6250(2.5,2.625)ffx02.50,2.56250(2.5,2.5625)ffx(2)ln260xx求方程＝的近似解(精确度0.1).例：解：设f(x)=lnx+2x-6,则其零点x0∈(2,3)31242.5-0.0842.530.5120.52.752.52.750.252.6250.2152.52.6250.1252.56250.0662.52.56250.06252.(多项选择)下列函数的图象中,其中不能用二分法求其零点的是（）问题7:根据练习2，请思考利用二分法求函数零点的条件是什么？1.函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续不断.2.y=f(x)满足f(a).f(b)0.巩固练习ACxy0xy0xy0xy0ABCD1.方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，f(x0)＝5.625那么下一个有根区间是________．[2，2.5]在同一坐标系内画函数y=2x与y=7-3x的图象，如图：2.利用计算器，求方程（3）2x+3x-7=0的近似解（精确度是0.1）.巩固练习2ab2abfabba取区间次数n填表：课堂小结1.二分法：这是一种求一元方程的近似解的常用方法。2.二分法求方程的近似解的步骤：体现了程序化的思想即确定区间求得中点中点函数值为零取新区间判断精确度结束是否否是算法思想.再见作业：•1.课后练习•2.市编《高中数学新学案数学1》•3.查阅资料了解求方程近似解的其他方法二分法求解方程近似解的基本步骤0)()(),,(1bfafba使法，确定初始区间、利用估算或作图的方2),(21baxba的中点、求区间)(31xf、计算是方程的根，则若110)()1(xxf),(0)()()2(101xaxxfaf，则方程的根若),1(0)()()3(01bxxxfbf，则方程的根若4、判断是否达到精确度;即若,ab则得到零点近似值a(或);否则重复2--4b如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B,BAC6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,1.首先从中点C查.2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段,3.再到BC段中点D,4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段,5.再到CD中点E来看.DE第一个证明“高于四次方程不能用根号求解”的是挪威青年数学家阿贝尔1931年上半年，华在上海出版的《科学》上发表了五次方程不可解的论文中外历史上方程的求解经历了哪些过程？结合阅读材料和二分法的学习与应用，你对二分法以及对数学有哪些新的认识？什么是二分法？二分法使用的范围是什么？如何利用二分法求方程的近似解？如何确定精度？