中央电大经济数学基础应用题和计算题小抄

1五、应用题（本题20分）1．设生产某种产品q个单位时的成本函数为：qqqC625.0100)(2（万元）,求：（1）当10q时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量q为多少时，平均成本最小？解：（1）总成本qqqC625.0100)(2，平均成本625.0100)(qqqC，边际成本65.0)(qqC．所以，1851061025.0100)10(2C（万元），5.1861025.010100)10(C（万元）116105.0)10(C．（万元）（2）令025.0100)(2qqC，得20q（20q舍去）．因为20q是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当20q时，平均成本最小.2．.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为201.0420)(qqqC（元），单位销售价格为qp01.014（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少．解：成本为：201.0420)(qqqC收益为：201.014)(qqqpqR利润为：2002.010)()()(2qqqCqRqLqqL04.010)(，令004.010)(qqL得，250q是惟一驻点，利润存在最大值，所以当产量为250个单位时可使利润达到最大，且最大利润为12302025002.025010)250(2L（元）。23．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为402)(qqC(万元/百台)．试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低．解：成本函数为：36)402()(0qdxxqC当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为6464264|40|)402(xxdxxC100（万元）364036)402()(20qqdxxqCqqqqC3640)(2361)(qqC，令0361)(2qqC得，6,6qq（负值舍去）。6q是惟一驻点，平均成本有最小值，所以当6x（百台）时可使平均成本达到最低.3、投产某产品的固定成本为36（万元），且边际成本为602)(qqC（万元/百台）。试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低。解：成本函数为：36)602()(0qdxxqC当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为6464264|60|)602(xxdxxC140（万元）366036)602()(20qqdxxqCqqqqC3660)(2361)(qqC，令0361)(2qqC得，6,6qq（负值舍去）。6q是惟一驻点，平均成本有最小值，所以当6x（百台）时可使平均成本达到最低。34．已知某产品的边际成本)(qC=2（元/件），固定成本为0，边际收益qqR02.012)(，求：①产量为多少时利润最大？②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？解：边际利润为：qqCqRqL02.010)()()(令0)(qL得，500q。500q是惟一驻点，最大利润存在，所以①当产量为500件时，利润最大。②5505002550500550500|01.0|10)02.010(xxdxxL-25（元）即利润将减少25元。5．已知某产品的边际成本为34)(qqC(万元/百台)，q为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.解：因为总成本函数为qqqCd)34()(=cqq322当q=0时，C(0)=18，得c=18，即C(q)=18322qq又平均成本函数为qqqqCqA1832)()(令0182)(2qqA，解得q=3(百台)该问题确实存在使平均成本最低的产量.所以当x=3时，平均成本最低.最底平均成本为9318332)3(A(万元/百台)6、已知生产某产品的边际成本为qqC4)((万元/百台)，收入函数为22110)(qqqR（万元），求使利润达到最大时的产量，如果在最大利润的产量的基础上再增加生产200台，利润将会发生怎样的变化？解：边际利润为：qqqqCqRqL26410)()()(令0)(qL得，3q3q是惟一驻点，而最大利润存在，所以当产量为3百台时，利润最大。当产量由3百台增加到5百台时，利润改变量为5325353||6)26(xxdxxL)35()35(62241612（万元）即利润将减少4万元。47..设生产某产品的总成本函数为xxC5)((万元)，其中x为产量，单位：百吨．销售x百吨时的边际收入为xxR211)(（万元/百吨），求：⑴利润最大时的产量；⑵在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？.解：⑴因为边际成本为1)(xC，边际利润xxCxRxL210)()()(令0)(xL，得5x可以验证5x为利润函数)(xL的最大值点.因此，当产量为5百吨时利润最大.⑵当产量由5百吨增加至6百吨时，利润改变量为65265)10(d)210(xxxxL1（万元）即利润将减少1万元.8..设生产某种产品x个单位时的成本函数为：xxxC6100)(2（万元）,求：⑴当10x时的总成本和平均成本；⑵当产量x为多少时，平均成本最小？.解：⑴因为总成本、平均成本和边际成本分别为：xxxC6100)(26100)(xxxC，所以，260106101100)10(2C26610110100)10(C，⑵1100)(2xxC令0)(xC，得10x（10x舍去），可以验证10x是)(xC的最小值点，所以当10x时，平均成本最小．5线性代数计算题1、设矩阵121511311A，求1)(AI。解：因为021501310121511311100010001AI110001010520310501100010001021501310][IAI1123355610100010001112001010100310501所以，1123355610)(1AI。62、设矩阵A=843722310，I是3阶单位矩阵，求1)(AI。解：因为943732311AI，(I-AI)=103012001010110311100010001943732311111103231100010001111012013100110201所以1)(AI=111103231。3．设矩阵A=021201，B=142136，计算(AB)-1．．解：因为AB=021201142136=1412(ABI)=1210011210140112121021210112101102所以(AB)-1=12212174．、设矩阵012411210A，101B，求BA1解：求逆矩阵的过程见复习指导P77的4，此处从略。211231241121A；所以，131101211231241121BA。5．．设矩阵3221,5321BA，求解矩阵方程BXA。解：13251001132510011301102110015321∴13251A∴1101132532211BAX6．.设矩阵112,322121011BA，求BA1.解：利用初等行变换得102340011110001011100322010121001011146100135010001011146100011110001011146100135010134001即1461351341A由矩阵乘法得7641121461351341BA。81．求线性方程组1261423623352321321321xxxxxxxxx的一般解．．解：因为增广矩阵18181809990362112614236213352A000011101401所以一般解为1143231xxxx（其中3x是自由未知量）2．求线性方程组03520230243214321431xxxxxxxxxxx的一般解．解：因为系数矩阵111011101201351223111201A000011101201所以一般解为4324312xxxxxx（其中3x，4x是自由未知量）3、当取何值时，齐次线性方程组083035203321321321xxxxxxxxx有非0解？并求一般解。解：因为系数矩阵31011013183352131A400110401所以当=4时，该线性方程组有无穷多解，且一般解为：32314xxxx（其中3x是自由未知量）。94．、问当取何值时，线性方程组1479637222432143214321xxxxxxxxxxxx有解，在有解的情况下求方程组的一般解。解：方程组的增广矩阵19102220105111021211114796371221211A100001051110212111000010511102121110000105111084901所以当1时，方程组有解；一般解为：43243151110498xxxxxx（其中43,xx是自由未知量）5．5114724212432143214321xxxxxxxxxxxx解：3735037350241215114712412111112A00000535