二次函数与一元二次方程

用函数的观点看一元二次方程1.理解二次函数图像与x轴的交点的个数的情况3.会用一元二次方程解决二次函数图象与x轴的交点问题2.理解二次函数图像与一元二次方程的根的关系二次函数•定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。•图象：是一条抛物线。•图象的特点：（1）有开口方向，开口大小。（2）有对称轴。（3）有顶点（最低点或最高点）。oxyoxy二次函数y=ax2的图象与二次函数y=ax2+k的图象的关系•二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2的图象向上（或向下）平移得到：•当k＞0时，抛物线y=ax2向上平移k的绝对值个单位，得y=ax2+k•当k＜0时，抛物线y=ax2向下平移k的绝对值个单位，得y=ax2+ky=2x2y=2x2-2y=2x2+2二次函数y=ax2的图象与二次函数y=a(x-h)2的图象的关系•二次函数y=a(x-h)2的图象可由二次函数y=ax2的图象向左（或向右）平移得到：•当h＞0时，抛物线y=ax2向右平移h的绝对值个单位，得y=a(x-h)2•当h＜0时，抛物线y=ax2向左平移h的绝对值个单位，得y=a(x-h)2二次函数y=ax2的图象与二次函数y=a(x-h)2+k的图象的关系•二次函数y=a(x-h)2+k的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移h的绝对值个单位,在向上(或向下)平移k的绝对值个单位而得到.在对称轴的右侧，即当x﹥-时，y随x的增大而增大。简记左减右增。抛物线有最低点，当x=-时，y最小值=二次函数y=ax2+bx+c的性质•当a﹥0时：抛物线开口向上。•对称轴是x=-,顶点坐标是（-，)•当a﹥0时,在对称轴的左侧，即当x＜-时，y随x的增大而减小；oxyb2a4a4ac-b24a4ac-b2b2ab2ab2ab2a在对称轴的右侧，即当x﹥-时，y随x的增大而减小。简记左增右减。抛物线有最高点，当x=-时，y最大值=•当a＜0时：抛物线开口向下。•对称轴是x=-,顶点坐标是(-，)•在对称轴的左侧，即当x＜-时，y随x的增大而增大；oxyb2ab2ab2ab2ab2a4a4ac-b24a4ac-b2引言在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题。如：被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行；抛物线形拱桥的跨度、拱高的计算等．利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，我将和同学们共同研究解决这些问题的方法，探寻其中的奥秘。复习.1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由确定。＞0=0＜0有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根b2-4ac2、在式子h=50-20t2中，如果h=15，那么50-20t2=，如果h=20，那50-20t2=，如果h=0，那50-20t2=。如果要想求t的值，那么我们可以求的解。15200方程问题1:如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系:h=20t–5t2考虑下列问题:(1)球的飞行高度能否达到15m?若能,需要多少时间?(2)球的飞行高度能否达到20m?若能,需要多少时间?(3)球的飞行高度能否达到20.5m?若能,需要多少时间?(4)球从飞出到落地要用多少时间?15=20t–5t2h=0ht20=20t–5t220.5=20t–5t20=20t–5t2解：（1）解方程15=20t-5t2即：t2-4t+3=0t1=1,t2=3∴当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。（2）解方程20=20t-5t2即：t2-4t+4=0t1=t2=2∴当球飞行2s时，它的高度为20m。（3）解方程20.5=20t-5t2即：t2-4t+4.1=0因为(-4)2-4×4.1＜0，所以方程无解，∴球的飞行高度达不到20.5m。（4）解方程0=20t-5t2即：t2-4t=0t1=0,t2=4∴球的飞行0s和4s时，它的高度为0m。即飞出到落地用了4s。你能结合图形指出为什么在两个时间球的高度为15m吗？那么为什么只在一个时间求得高度为20m呢？那么为什么两个时间球的高度为零呢？从上面我们看出，对于二次函数h=20t–5t2中，已知h的值，求时间t？其实就是把函数值h换成常数，求一元二次方程的解。ht20101432o2205htt那么从上面，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?一般地，当y取定值时，二次函数为一元二次方程。如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程。为一个常数（定值）1、二次函数y=x2+x-2,y=x2-6x+9,y=x2–x+1的图象如图所示。(1).每个图象与x轴有几个交点？(2).一元二次方程?x2+x-2=0,x2-6x+9=0有几个根?验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?22yxx269yxx21yxx答：2个，1个，0个.,2,2.2无实数根个相等的根个根边观察边思考b2–4ac＞0b2–4ac=0b2–4ac＜0OXY2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点,则b2-4ac的情况如何。.二次函数与一元二次方程的关系1、如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时，函数值为0，因此x=x0就是方程y=ax2+bx+c的一个根2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点情况如何？（b2-4ac如何）二次函数与一元二次方程b2–4ac0b2–4ac=0b2–4ac0思考：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2-4ac.≥0（1）有两个交点（方程有两个不相等的实数根）（2）有一个交点（方程有两个相等的实数根）（3）没有交点（方程没有实数根）)43,21(第四象限第三象限　　　　第二象限第一象限　　　　　　　的顶点在抛物线则没有实数根的一元二次方程关于顶点坐标为则其顶点经过原点抛物线个个　　　Ｄ．个　　　Ｃ．个　　　　　　轴的交点个数有与抛物线....).(,0)3(.__________,33)2(321.0.).(32)1(22222DCBAnxynxxmxmyBAxxyxxmxxCA?.),0,1(,)2(;,:)1(.2.422点坐标求为点坐标且、轴有两个公共点若该二次函数的图象与轴总有公共点该二次函数的图象与对于任意实数求证已知二次函数BABAxxmmxymx.,02402,0:)1(9)(22222轴总有公共点抛物线与取何值不论得令证明xmmxymmmmx)0,2(1,20)1)(2(,02120)0,1()2(212222212点坐标为　　即上在抛物线BmmmmmxyAmmmmmx●请你把这节课你学到了东西告诉你的同桌，然后告诉老师？交点b2-4ac0b2-4ac0b2-4ac=0两个交点没有交点一个交点二次函数与x轴的交点当二次函数y=ax2+bx+c中y的值确定，求x的值时，二次函数就变为一元二次方程。即当y取定值时，二次函数就为一元二次方程。二次函数与一元二次方程的关系二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解讨论这节课应有以下内容：升华提高体会两种思想：数形结合思想弄清一种关系------函数与一元二次方程的关系如果抛物线y=ax+bx+c与x轴有公共点(x,o),那么x=x就是方程ax+bx+c=0的一个根.2200分类讨论思想一元二次方程ax2+bx+c=0的根二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有两个交点有两个相异的实数根有一个交点有两个相等的实数根没有交点没有实数根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4acb2-4ac0b2-4ac=0b2-4ac0课堂作业：课本56页第4题（选择配方法或公式法，要有计算过程，不画图）家庭作业：练习册37，38页结束寄语•时间是一个常数,但对勤奋者来说,是一个“变数”.•用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算时间的人时间多59倍.下课!