二次函数图像5

4.2二次函数图象和性质(6)2yaxbxc1.对于任何实数h，抛物线y=(x-h)2与抛物线y=x2的相同2.将抛物线y=-2x2向左平移一个单位，再向右平移3个单位得抛物线解析式为.3.抛物线y=3(x-8)2最小值为.方向，大小y=-2(x–2)204.抛物线y=-3(x+2)2与x轴y轴的交点坐标分别为.5.已知二次函数y=8(x-2)2当时,y随x的增大而增大,当时，y随x的增大而减小.(-2,0)(0,-12)x≥2x﹤2函数y=3(x-1)²+1的图像有什么特点？函数y=-3(x+1)²+1的图像呢？图像是抛物线顶点是（1.1）对称轴直线x=1开口方向向上理由是y=3(x-1)²+1的图像可以看成是y=3(x-1)²平移得到的知识回顾应用1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。(1)y=2(x－3)2－5(2)y=－0.5(x+1)2(3)y=3(x+4)2+22.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平移得到。2)1(43xy3)3(432xy2)5(432xy2)1(432xy如何平移：①y=2x2-5x+3③y=(x-3)(x+2)②y=-x2+4x-9求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴21请画出草图:xxy32)4(2问题探究函数y=ax²+bx+c的图象我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.那是怎样的平移呢？y=3x2-6x+5y=3(x-1)2+2只要将表达式右边进行配方就可以知道了。配方后的表达式通常称为配方式或顶点式函数y=ax²+bx+c的顶点式cbxaxy2acxabxa2acababxabxa22222222442abacabxa.44222abacabxa这个结果通常称为求顶点坐标公式.顶点坐标公式?因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：.2:abx它的对称轴是直线.44,22abacab它的顶点是.44222abacabxay;13122.12xxy;319805.22xxy;2212.3xxy.2123.4xxy①y=2x2-5x+3③y=(x-3)(x+2)②y=-x2+4x-9求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴21请画出草图:xxy32)4(2问题探究练习确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.;25.12xy;142.22xxy;263.32xxy;21.4xxy.933.5xxy247,yxkxk①k取何值时，抛物线经过原点；②k取何值时，抛物线顶点在y轴上；③k取何值时，抛物线顶点在x轴上；④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。问题探究例1已知抛物线例1已知抛物线247,yxkxk①k取何值时，抛物线经过原点；解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y＝0，所以所以k＝－7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点；问题探究200407kk，所以k＝－4，所以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。解：②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即例1已知抛物线②k取何值时，抛物线顶点在y轴上40221kba247,yxkxk，所以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴上。解：③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即24120kk122,6kk，整理得，解得：22417440441kkacba例1已知抛物线247,yxkxk③k取何值时，抛物线顶点在x轴上；解：④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6时，抛物线的顶点在坐标轴上。例1已知抛物线247,yxkxk④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。所以当x＝2时，。解法一（配方法）：2281yxx22277x7y最小值＝－2241xx224441xx例2当x取何值时，二次函数有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？2281yxx问题探究因为所以当x＝2时，。因为a＝2＞0，抛物线有最低点，所以y有最小值，2281yxx224218842,7222442bacbaa－7y最小值＝－总结：求二次函数最值，有两个方法．(1)用配方法；(2)用公式法．解法二（公式法）：又例3已知函数，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。211322yxx解法一：，102a∴抛物线开口向下，21169922xx21913222x21352x∴对称轴是直线x＝－3，当x＞－3时，y随x的增大而减小。211322yxx问题探究102a331222ba解法二：，∴抛物线开口向下，∴对称轴是直线x＝－3，当x＞－3时，y随x的增大而减小。例4已知二次函数212321ymxmxmm的最大值是0，求此函数的解析式．问题探究解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0．所以应满足以下的条件组．21041322041mmmmm，①②由②解方程得121,22mm不合题意，舍去所求函数解析式为21111232,222yxx。21122yxx即相等，则形状相同。1、a决定抛物线形状及开口方向，若a①a＞0开口向上；抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。②a＜0开口向下。规律总结抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线2bxa③若a，b异号对称轴在y轴右侧。，故①若b＝0对称轴为y轴，②若a，b同号对称轴在y轴左侧，规律总结5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置。当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有一个交点(0，c)，①c＝0抛物线经过原点；②c＞0与y轴交于正半轴；③c＜0与y轴交于负半轴。规律总结例5已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值．(1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b；(6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．规律应用分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用．解：(1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；判断a的符号(2)因为对称轴在y轴右侧，所以02ba，而a＜0，故b＞0；判断b的符号(3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正半轴，即c＞0；判断c的符号2404acba240acb240bac(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标，且a＜0，所以，故。判断b2－4ac的符号，且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；(5)因为顶点横坐标小于1，即12ba判断2a＋b的符号(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a·12＋b·1＋c＞0，故a＋b＋c＞0；判断a＋b＋c的符号(7)因为图象上的点的横坐标为－1时，点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1)＋c＜0，故a－b＋c＜0．判断a－b＋c的符号例3、抛物线y=-2x2+4x+6顶点为A，与x轴交于B、C两点，与y轴交于D点，求四边形ABCD的面积。例4、判断符号a、b、c、2a+b、2a-b、b2-4ac、a+b+c、a-b+c、4a+2b+c、4a-2b+c1-1判断符号a、b、c2a+b,2a-b,b2-4aca+b+ca-b+c1-1abc2a+b2a-bb2-4aca+b+ca-b+c4a+2b+c4a-2b+c开口方向大小向上a0向下ao对称轴与y轴比较左侧ab同号右侧ab异号与y轴交点交于上半轴co下半轴c0-与1比较ab2-与-1比较ab2与x轴交点个数令x=1，看纵坐标令x=-1，看纵坐标令x=2，看纵坐标令x=-2，看纵坐标规律应用121xy轴相交于负半轴且与图象经过点的图象开口向上，二次函数ycbxaxy)0,1)(2,1(..12______cba)(c)(b)(a)()a(其中正确结论的序号是问：给出四个结论：04030201______1)4(1)3(02)2(0)1()(是其中正确结论的序号问：给出四个结论：acabaabcb2.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.不论k取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的顶点都在（）A.直线y=x上B.直线y=-x上C.x轴上D.y轴上4.若二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值是2,则a的值是（）A.4B.-1C.3D.4或-1CBA5.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx-3的大致图象是()6.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）xyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-3xyoxyoxyoxyoABCDCC二次函数表达式顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0)一般式：y=ax2+bx+c（a≠0)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0)