二次函数的图像及其性质

·新课标第15讲│二次函数的图象及其性质第15讲二次函数的图象及其性质·新课标第15讲│考点随堂练│考点随堂练│考点1二次函数的定义≠0·新课标第15讲│考点随堂练1.若二次函数y＝x2＋2x－7的函数值为8，则对应的x的值是()A．3B．4C．5或－3D．3或－5[解析]x2＋2x－7＝8，解得x1＝－5，x2＝3.2．当m取何值时，函数y＝(m＋1)xm2－m－2x＋1是二次函数？解：根据二次函数的定义，得m2－m＝2，m＋1≠0.解m2－m＝2，得m1＝－1，m2＝2.解m＋1≠0，得m≠－1,∴m＝2.∴当m＝2时，这个函数是二次函数，其解析式是y＝3x2－2x＋1.D·新课标第15讲│考点随堂练3．一个正方形的边长是12cm.若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x＋1)cm的小长方形．剩余部分的面积为ycm2.(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数；(2)当小长方形的长中x的值为2,4时，相应的剩余部分面积是多少？解：(1)剩余面积＝正方形面积－小长方形面积．y＝122－2x(x＋1)，即y＝－2x2－2x＋144.∴y是x的二次函数．(2)当x＝2,4时，相应的y的值分别为132cm2,104cm2.·新课标第15讲│考点随堂练考点2二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质·新课标第15讲│考点随堂练4ac－b24a4ac－b24a·新课标第15讲│考点随堂练4.对于抛物线y＝－13(x－5)2＋3，下列说法正确的是()A．开口向下，顶点坐标(5,3)B．开口向上，顶点坐标(5,3)C．开口向下，顶点坐标(－5,3)D．开口向上，顶点坐标(－5,3)5．若抛物线y＝ax2经过点(1，－4)，则它也经过点()A．(－1,4)B．(－4,1)C．(1,4)D．(－1，－4)[解析]a＝－130，开口向下．[解析]图象关于y轴对称，则点(1，－4)关于y轴对称的点为(－1，－4)，故选D.AD·新课标第15讲│考点随堂练6．[2011·玉林、防城港]已知抛物线y＝－13x2＋2，当1≤x≤5时，y的最大值是()A．2B.23C.53D.73[解析]由抛物线y＝－13x2＋2的对称轴是x＝0，因为抛物线开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，所以当x＝1时，y值最大，所以y＝53.C·新课标第15讲│考点随堂练7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图15－1所示，若点A(1，y1)，B(2，y2)是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是()图15－1A．y1y2B．y1＝y2C．y1y2D．不能确定[解析]由于抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，即y1y2，故选C.C·新课标第15讲│考点随堂练8．抛物线y＝2x2＋6x＋c与x轴的一个交点为(1,0)，则这个抛物线的顶点坐标是______________．9．抛物线y＝3x2－2的图象可由抛物线y＝3x2的图象向______平移______个单位得到，它的顶点坐标是_________，对称轴是_______．[解析]将(1,0)代入二次函数解析式，求得c＝－8，再代入配方求出顶点．[解析]y＝3x2－2的顶点为(0，－2)，y＝3x2的顶点为(0,0)，所以将y＝3x2的图象向下平移2个单位就得到y＝3x2－2，顶点为(0，－2)，对称轴是y轴．－32，－252y轴下2(0，－2)·新课标第15讲│考点随堂练10．[2011·舟山]如图15－2，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1,0)，(1，－2)，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是______________.图15－2[解析]把点(－1,0)，(1，－2)代入y＝x2＋bx＋c，得1－b＋c＝0，1＋b＋c＝－2.解得b＝－1，c＝－2.∴y＝x2－x－2.∴二次函数的对称轴为x＝－b2a＝－－12＝12.∴当y随x的增大而增大时，x的取值范围是x＞12.x12·新课标第15讲│考点随堂练11．如图15－3为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝－1，x2＝3；③a＋b＋c＞0；④当x＞1时，y随着x的增大而增大．正确的说法有__________．(请写出所有正确说法的序号)图15－5[解析]由抛物线的图象a0，b0，c0，对称轴为直线x＝1.就可以判断①②④是正确的．①②④·新课标第15讲│考点随堂练考点3待定系数法求二次函数解析式·新课标第15讲│考点随堂练12.将抛物线y＝x2＋1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的函数关系式为()A．y＝－x2B．y＝－x2＋1C．y＝x2－1D．y＝－x2－1[解析]抛物线的顶点坐标为(0,1)，绕O点旋转180°后，顶点坐标为(0，－1)，开口向下．D·新课标第15讲│考点随堂练13．[2011·玉溪]如图15－4，函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象与x轴、y轴的交点分别为A(1,0)，B(0,3)，对称轴是x＝－1，在下列结论中，错误的是()A．顶点坐标为(－1,4)B．函数的解析式为y＝－x2－2x＋3C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．抛物线与x轴的另一个交点是(－3,0)图15－4C·新课标第15讲│考点随堂练[解析]因为函数y＝－x2＋bx＋c的图象过点A(1,0)，B(0,3)，则有0＝－1＋b＋c，3＝c，解得b＝－2；c＝3，则y＝－x2－2x＋3；当x＝－1时，y＝4，则顶点坐标为(－1,4)；因为此抛物线的对称轴为x＝－1，则当x＜－1时，y随x的增大而增大，选项C是错误的；因为抛物线与x轴的交点坐标关于对称轴的距离相等，则此抛物线与x轴的另一个交点是(－3,0)．·新课标第15讲│考点随堂练14．抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象如图15－5所示，则此抛物线的解析式为_________________．图15－5[解析]由对称轴为x＝1可得b＝2，再把(3,0)代入y＝－x2＋2x＋c中可得c＝3.y＝－x2＋2x＋3·新课标第15讲│考点随堂练15．已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图15－6所示，它与x轴的一个交点坐标为(－1,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)．(1)求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；(2)根据图象，写出函数值y为负数时，自变量x的取值范围．图15－6·新课标第15讲│考点随堂练解：(1)由题意得－1－b＋c＝0，c＝3.解得b＝2，c＝3.故所求解析式为y＝－x2＋2x＋3；(2)令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0)∴由图象可知函数值y为负数时，自变量x的取值范围是：x＜－1或x＞3.·新课标第15讲│考点随堂练16．如图15－7所示，一个二次函数的图象经过点A，C，B三点，点A的坐标为(－1,0)，点B的坐标为(4,0)，点C在y轴的正半轴上，且AB＝OC.(1)求点C的坐标；(2)求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．图15－7·新课标第15讲│考点随堂练解：(1)∵A(－1,0)，B(4,0)，∴AO＝1,OB＝4，即AB＝AO＋OB＝1＋4＝5.∴OC＝5，即点C的坐标为(0,5)．(2)设图象经过A，C，B三点的二次函数的解析式为y＝a(x－4)(x＋1)，∵点C(0,5)在图象上．∴5＝a(0－4)(0＋1)，即a＝－54.∴所求的二次函数解析式为y＝－54(x－4)(x＋1)．即y＝－54x2＋154x＋5，y最大＝4ac－b24a＝12516.·新课标第15讲│考点随堂练第15讲│归类示例·新课标归类示例类型之一二次函数的定义命题角度：1．二次函数的概念2．二次函数的一般式[2011·泰安]若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：x－7－6－5－4－3－2y－27－13－3353·新课标第15讲│归类示例则当x＝1时，y的值为()A．5B．－3C．－13D．－27D[解析]从表中选择三个点(－5，－3)，(－4,3)，(－3,5)代入y＝ax2＋bx＋c，得25a－5b＋c＝－3，16a－4b＋c＝3，9a－3b＋c＝5，解得a＝－2，b＝－12，c＝－13，所以y＝－2x2－12x－13，当x＝1时，y的值为－27.·新课标第15讲│归类示例(1)已知条件是图象上的三点的坐标(或函数解析式三对对应值)，代入二次函数的关系式y＝ax2＋bx＋c中，得关于a、b、c的方程组是求函数解析式的常用方法．(2)选择点最好是坐标轴上的点．·新课标第15讲│归类示例类型之二二次函数的图象与性质命题角度：1．二次函数的图象及画法2．二次函数的性质[2011·黄冈]已知函数y＝x－2－x，x－2－x＞，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为()A．0B．1C．2D．3D[解析]画出函数图象，过y＝3的直线与已知函数图象共有三个交点．·新课标第15讲│归类示例(1)用配方法把二次函数y＝x2－4x＋3变成y＝(x－h)2＋k的形式；(2)在直角坐标系中画出y＝x2－4x＋3的图象；(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝x2－4x＋3图象上的两点，且x1x21，请比较y1、y2的大小关系(直接写结果)；(4)把方程x2－4x＋3＝2的根在函数y＝x2－4x＋3的图象上表示出来．·新课标第15讲│归类示例[解析](1)根据配方法的步骤进行计算．(2)由(1)得出抛物线的对称轴、顶点坐标并列表，注意抛物线与x轴、y轴的交点及对称点等特殊点不要弄错．(3)开口向上，在抛物线的左边，y随x的增大而减小．(4)抛物线y＝x2－4x＋3与y＝2的交点的横坐标即为方程x2－4x＋3＝2的两根．·新课标第15讲│归类示例解：(1)y＝x2－4x＋3＝(x2－4x＋4)＋3－4＝(x－2)2－1.(2)对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－1)．列表如下：x…01234…y…30－103…图象如图所示：(3)y1y2.(4)如图，点C、D的横坐标x3、x4即为方程x2－4x＋3＝2的根．·新课标第15讲│归类示例(1)求二次函数的顶点坐标有两种方法：①配方法，②顶点公式法．(2)画抛物线y＝ax2＋bx＋c的草图，要确定五点，即①开口方向；②对称轴；③顶点；④与y轴交点；⑤与x轴交点．·新课标第15讲│归类示例类型之三二次函数的图象与性质的综合运用命题角度：二次函数的图象与性质的综合运用[2011·贵阳]如图15－1所示，二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象与x轴的一个交点为A(3,0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C.(1)求m的值；(2)求点B的坐标；(3)该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x＞0，y＞0)，使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．·新课标第15讲│归类示例图15－1·新课标第15讲│归类示例[解析](1)将(3,0)代入二次函数解析式y＝－x2＋2x＋m；(2)令y＝0，解一元二次方程；(3)由S△ABD＝S△ABC，得C、D关于二次函数对称轴对称．·新课标第15讲│归类示例解：(1)将(3,0)代入二次函数解析式，得－32＋2×3＋m＝0.解得m＝3.(2)二次函数解析式为y＝－x2＋2x＋3，令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0.解得x＝3或x＝－1.∴点B的坐标为(－1,0)．(3)∵S△ABD＝S△ABC，点D在第一象限，∴点C、D关于二次函数对称轴对称．∵对称轴为x＝1，点C的坐标为(0,3)，∴点D的坐标为(2,3).·新课标第15讲│归类示例(1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用抛物线的轴对称性，是研究二次函数性质的关键．(2)已知二次函数图象上几个点的坐标求二次函数解析式，一般用待定系数法直接列方程(组)求解．(3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的