位置关系的判断垂直

位置关系二、垂直问题的证明常见问题：1、直线与直线垂直的证明；2、直线与平面垂直的证明；3、平面与平面垂直的证明；二、垂直问题的证明二、垂直问题的证明一、线线垂直的判定1、定义：两条直线所成的角为900,则两直线垂直。2、定理：直线垂直两条平行直线中的一条,与另一条垂直。3、三垂线定理及逆定理：垂射则垂斜;垂斜则垂射.一、线线垂直的判定4、线面垂直的性质:如果直线与平面垂直,那么直线与平面内的任意直线垂直。5、如果两直线所在的向量内积为0,则两直线互相垂直.例1、已知a、b是异面直线，a上两点A、B的距离为8，b上两点C、D的距离为6，AD、BC的中点分别为M、N，且MN=5，求证：a⊥b。BCDbAaMNO定义法例2、已知三棱锥V-ABC中，侧面AVB垂直侧面BVC，VA垂直底面ABC，求证：AB⊥BC。VABCD线面垂直的性质例3、已知三棱锥V-ABC中，VA⊥VC，VB⊥VC，VE⊥AB于E，求证：CE⊥AB。VABEC线面垂直的性质例4、已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，(1)求证：AC⊥BO1。(2)求二面角O-AC-O1的大小(课后练）.3ABCDOO1ABODCO105湖南高考试卷14分二、线面垂直的判定1、判定定理:一直线与平面内的两条相交直线垂直,则垂直平面。2、两平行线中的一条与平面垂直,则另一条与平面垂直。3、面面垂直的性质：如果两平面垂直,那么其中一平面内垂直交线的直线垂直另一平面.推1、一直线垂直两平行平面中的一个,必垂直另一个平面。推2、两相交平面与第三平面垂直,它们的交线必垂直第三平面.4、直线所在的方向向量与平面内两不共线向量内积为0，则线面垂直.例1、直三棱柱ABC-A1B1C1中AC=BC=C1C=a,∠ACB=900,P为BB1的中点,Q∈AB,∠A1QP=900,(1)求证:CQ⊥面A1ABB1.(2)求二面角C-A1P-Q(3)求P到面A1CQ的距离.ABCPB1A1Q仿北京、福建05试卷例2（2009浙江卷理）（本题满分15分）如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E、F、O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．（I）设G是OC的中点，证明：//FG平面BOE；（II）证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．能力提高思考题如图，直四棱柱A’B’C’D’-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A’C⊥B’D’？ADBCC'B'D'A'例3.结论：当四边形ABCD的两条对角线互相垂直时，A’C⊥B’D’三、面面垂直的判定1、面面垂直的定义:如果两平面所成的角是900,那么两平面垂直。2、面面垂直的判定：如果一平面经过另一平面的垂线,则两平面互相垂直。3、两平面的法向量内积为0,那么两平面垂直。例1（2009广东卷理2.）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④[D]例2（2009浙江卷文4.）设,是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若,l，则lB．若//,//l，则lC．若,//l，则lD．若//,l，则lC例3、在四面体S-ABC中,∠ASC=∠BSC=450，∠ASB=600，求证：面SAC⊥面BSC。SABCPQR例4、如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.证明:设已知⊙O平面为α,PABC面面BCPA为圆的直径又ABBCACPAACAPACBC面PACPBC面面BCPBC面PABCACBC,PAPACACPAC面面例5、正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点.求证：平面AH⊥平面DFHFGED1C1B1DCBAA1例6、在四面体A-BCD中,∠BCD=900,∠ADB=300,BC=CD,AB⊥面BCD，E、F分别为AC、AD的中点,(1)求证：面BEF⊥面ABC.(2)求面BEF与面BCD所成的角.ABCDQGEF15arccos5已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC试判断点P在底面ABC的射影的位置？已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCO外心垂心内心智力探究直线、平面综合训练3arcsin33121、空间四边形ABCD中，P、Q、R、S依次分别为四条边的中点，已知AC=，BD=，四边形PQRS的面积为，求异面直线AC与BD所成角的大小。34312SRQPDCBA123直线、平面52arccos1010arccos515arccos2、正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、H分别是A1B1、BB1、CD的中点，O为底面ABCD的中心，求（1）异面直线AM与CN所成角的大小；（2）异面直线AM与BD所成角的大小；（3）异面直线C1H与NO所成角的大小。ABCDA1B1C1D1MNHO直线、平面EHDCBAP3、P是矩形ABCD所在平面外一点，H为AD的中点，且PH⊥平面ABCD，ΔPAD是正三角形，E是PD的中点（1）求证：PB//平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）当AB=a，AD=时，求证：AC⊥PB。a2直线、平面4、四棱锥P—ABCD中，ABCD是矩形且PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，（1）求证：MN//平面PAD；（2）当PM=MC时，求证：MN⊥平面PDC；NMDCBAP直线、平面5、三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，M、N分别是ΔPBC与ΔABC的垂心，求证：MN⊥平面PBC。NMCBAP直线、平面6、正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且4CG=CD，（1）求证：EF⊥B1C；（2）异面直线EF与C1G所成角的大小。1751arccosGFED1C1B1A1DCBA直线、平面7、如图，几何体中，EA、DC是平面ABC的垂线，ΔABC是边长为2的正三角形，EA=2，DC=1，F是EB的中点，（1）求证：DF//平面ABC；（2）求证：AF⊥BD。FDCBAE直线、平面8、Rt△ABC中,∠C=900,它在平面α内的射影为等边△A1B1C1,AA1=a,BB1=a+2,CC1=a+1，求直线AB与平面α所成的角θ.ACBA1B1C1αFE3arccos3(arctan2)直线、平面9、在正四棱锥S-ABCD中,SA=AB=a,M是SA上的点,SM:SA=1:3,AC∩BD=O,(1)求直线MO与SB所成的角.(2)求MO与面SBD所成的角.(3)求二面角M-CD-ASABCDOM直线、平面10、在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E是DC边的中点,沿AE将AED折起,使二面角D-AE-B为600,(1)求直线DE与面AC所成的角(2)求二面角D-CE-BDABCAEBDCE339arcsin2639arctan611、如图：ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，(1)求证：BD⊥平面ACC1A1.(2)若二面角C1-BD-C的大小为600，求BC1与AC所成角的大小。直线、平面DABCD1B1C1A155arccos奇思妙想12、P为正四面体S-ABC的侧面SBC内一动点,且PS始终等于点P到底面ABC的距离,则P点的轨迹是[]A、圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线SCABPe=PO/PE1OE13、在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱是底面边长的2倍，P是侧棱CC1上的点。(1)求证:无论P在CC1上任何位置，总有BD⊥AP.(2)若CC1=3C1P，求平面AB1P与ABCD所成的角。(3)P在何处时，AP在平面ACB1上的射影是∠B1AC平分线.直线、平面DABCD1B1C13(2)arccos7A1P(3)1014PC距的距离是侧棱的14、经过底面是菱形的直四棱柱ABCD-A/B/C/D/的顶点A作一截面AB1C1D1,分别与侧棱BB/,CC/,DD/交于B1,C1,D1,得到几何体ABCDD1C1B1,BB1=DD1,CC1=,AB=2,∠DAB=600。(1)求证:四边形AB1C1D1为菱形.(2)求截面AC1与底面AC所成的角.(3)求几何体ABCDD1C1B1的体积.直线、平面2DABCD1B1C16arctan66