复变函数第四版课件章节23

§2.3初等函数一、指数函数二、对数函数三、乘幂与幂函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数六、小结与思考1、指数函数1.定义如果函数f(z)满足下列三个条件:i)ez不等于零,且|expz|=ex;ii)当Im(z)=0时,f(z)=ex,其中x=Re(z)；iii)f(z)在复平面内解析，且f’(z)=f(z)。称f(z)为指数函数2.性质i)在复平面处处解析的函数,且有f'(z)=f(z),当y=0时,f(z)=ex.记作expz=ex(cosy+isiny).等价于关系式:|expz|=ex,Arg(expz)=y+2kp所以expz0.ii)expz服从加法定理:expz1expz2=exp(z1+z2)事实上,设z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,按定义有)exp()]sin()[cos(e)]sincoscos(sin)sinsincos[(cose)sin(cose)sin(coseexpexp21212121212121221121212121zzyyiyyyyyyiyyyyyiyyiyzzxxxxxxiiii)expz的周期性,它的周期性是2kpi,即ez+2kpi=eze2kpi=ez其中k为任何整数.注意：为了方便,往往用ez代替expz.这里的ez没有幂的意义,仅仅作为代替expz的符号使用。2、对数函数1.定义对数函数定义为指数函数的反函数.将满足方程ew=z(z0)的函数w=f(z)称为对数函数.令w=u+iv,z=reiq,则eu+iv=reiq,所以u=lnr,v=q.因此w=ln|z|+iArgz由于Argz为多值函数,所以对数函数w=f(z)为多值函数,并且每两个值相差2pi的整数倍,记作2.公式Lnz=ln|z|+iArgz主值lnz=ln|z|+iargz而其余各值可由Lnz=lnz+2kpi(k=1,2,...)(2.11)表达.对于每一个固定的k,(2.11)式为一单值函数,称为Lnz的一个分支.特别,当z=x0时,Lnz的主值lnz=lnx,就是实变数对数函数.例1求Ln2,Ln(1)以及它们相应的主值.[解]因为Ln2=ln2+2kpi,所以它的主值就是ln2.而Ln(1)=ln1+iArg(1)=(2k+1)pi(k为整数),所以它的主值是ln(1)=pi.注：在实变函数中,负数无对数,此例说明在复数范围内不再成立.而且正实数的对数也是无穷多值的.因此,复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.3.性质:i)21212121LnLnLnLnLn)Ln(zzzzzzzzii)对数函数的解析性.就主值lnz而言,其中ln|z|除原点外在其它点都是连续的,而argz在原点与负实轴上都不连续.因为若设z=x+iy,则当z0时,.πarglim,arglim00zzyyp所以,除去原点与负实轴,在复平面内其它点lnz处处连续.综上所述,z=ew在区域-pv=argzp内的反函数w=lnz是单值的,由反函数求导法则可知:zwzzw1dde1dlnd所以,lnz在除去原点及负实轴的平面内解析.Lnz的各个分支在除去原点及负实轴的平面内也解析,并且有相同的导数值.今后我们应用对数函数Lnz时,指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支.3、乘幂与幂函数1.定义乘幂设a为不等于0的一个复数,b为任意一个复数,定义乘幂ab为ebLna,即ab=ebLna由于Lna=ln|a|+i(arga+2kip)是多值的,因而ab也是多值的.说明:(1)当b为整数时,由于ab=ebLna=eb[ln|a|+i(arga+2kp)]=ea(ln|a|+iarga)+2kbpi=eblna,所以这时ab具有单一的值.)],2(argsin)2(arg[cosee||ln)2(arg||lnpppkaqpikaqpaaqpkaqpiaqpb具有q个值,即当k=0,1,...,(q-1)时相应的各个值.除此而外,一般而论具有无穷多个值.ba(2)当a=p/q(p和q为互质的整数,q0)时,由于22222Ln221Ln222e,).,2,1,0(,eee);,2,1,0().22sin()22cos(ee1][.12pppppppp它的主值是是正实数由此可见解的值和求例ikikiiiiiikiikikkiki)(.)(eee)(ee,.1)性质幂函数LnLnLnLnLnLnLn个因子个因子项指数根据定义时为正整数当因为是完全一致的次根的定义的次幂及的时是与及分数为正整数当的幂函数为一复数，就得到一般如果nzzznnznanznznnbizwzazzzzzzznnb2.).1(,,2,1,0,2argsin2argcos||2argsin2argcosee,11||ln1Ln11nkznkzinkzankzinkzznannznznn其中有时为分数当pppp.1,,,11Ln111nznnnnnznezznzz且有是解析的点和负实轴的复平面内它的各个分支在除去原个分支具有是一个多值函数所以幂函数.)(,,)1aaaazzzwii并且有析的轴的复平面内也是解支在除去原点和负实它的各个分多值函数是一个幂函数性质.2eesin,2eecos定义.三角函数2.1izziziziziz4、三角函数和双曲函数i)cosz和sinz以2p为周期,即cos(z+2p)=cosz,sin(z+2p)=sinz.ii)cosz是偶函数,即cos(-z)=cosz而sinz是奇函数:即sin(-z)=-sinziii)公式1cossinsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz由此得cos(x+iy)=cosxcosiy-sinxsiniy,sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy.但当z为纯虚数iy时,我们有yiiiyyiyyyyysh2eesinch2eecos所以.shcoschsin)sin(,shsinchcos)cos(yxiyxiyxyxiyxiyx这两个公式对于计算cosz与sinz的值有用.iv)当y时,|siniy|和|cosiy|都趋于无穷大,因此,|sinz|1和|cosz|1在复数范围内不再成立.v)解析性在复平面内都解析其它复变数三角函数的定义如下:.sin1csc,cos1sec,sincosctg,cossintgzzzzzzzzzz双曲函数1.定义zzzzzzzzzzzeeeeth,2eesh,2eech分别称为双曲余弦,正弦和正切函数.2.性质chz和shz都是以为周期的函数,chz为偶函数,shz为奇函数,它们都是复平面内的解析函数,导数分别为:(chz)'=shz,(shz)'=chz不难证明chiy=cosy,shiy=isiny.sinchcossh)sh(,sinshcosch)ch(yxiyxiyxyxiyxiyx及ki25、反三角函数和反双曲函数1.反三角函数的定义.cosArc,,coszwzwwz记作的反余弦函数为那么称设,2cosiwiweewz由,0122iwiwzee得,12zzeiw方程的根为两端取对数得).1Ln(cosArc2zziz同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:),1Ln(Arcsin2ziziz.11Ln2Arctaniziziz2.反双曲函数的定义),1Ln(Arsinh2zzz反双曲正弦),1Ln(oshAr2zzzc反双曲余弦.11Ln21Artanhzzz反双曲正切补充题解).32tan(Arci求函数值)32tan(Arci)32(1)32(1Ln2iiiii53Ln2iippkii231arctan52ln2.31arctan212152ln4pki.,2,1,0k其中6、小结与思考复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:1.分成单值解析分支的方法2.指数函数具有周期性3.负数无对数的结论不再成立作业：第68页15,18,20题