复变函数论第2章第3节

§3初等多值函数2、根式函数3、对数函数4、一般幂函数与一般指数函数5、具有多个有限支点的情形6、反三角函数和反双曲函数1、辐角函数本节将要看到,许多复变量的初等函数都是多值的,在复数域中对多值函数的研究具有特殊重要的意义.因为只有在这样的讨论中才能看出函数多值性的本质.函数多值性源于辐角函数的多值性.本节的主要内容是介绍幂函数与根式函数、指数函数与对数函数的映射性质;主要是采用限制辐角或割破平面的方法,来分出根式函数与对数函数的单值解析分支.最后,对反三角函数及一般幂函数作简单介绍.根据今后研究问题的需要，先介绍辐角函数，对理解辐角多值性是有益的.1辐角函数我们知道，都有无穷多任意一个复数)0(zz.个辐角因此，辐角函数}0{C它的定义域是.)0(处辐角无意义在z,}0{内一条简单曲线是设CL,0的起点是Lz.1的终点是Lz0yx0z1zzL连续变从沿当0zLz,1时动到zArgzoz所旋转的角称作,上的改变量在L简称,辐角改变量Argzw,是一个多值函数.ArgzL记作0yx0z1zzLArgzL,例如同起点对下图中的三条具有相,和终点简单曲线有i1i1oxy1Li1i1oxy2Li1i1oxy3LArgzL1;2πArgzL2;23πArgzL3.25π一般说来，尽管起点和终点相同，但若曲线不同，其辐角改变量也不尽相同，它们要相差2π.绕的多值性正是由于它围辐角函数Argzw.原点旋转的圈数那么，在什么条件下，起点和终点相同的不同?等呢曲线上的辐角改变量相C当且仅当在区域时，“伦移”与内两曲线1010~:}0{LLLL才有.10ArgzArgzLL,~(1010LLLLD伦移与内区域其几何意义是存,iφ在一个连续曲线族连续变形到通过它可使0LDL而不离开区域1.))(如图0L1LiφoxyD,0)((1常数若tL只是一个即1L点，为一条则称1L.零曲线0L若,和零曲线同伦.0~0L就记为对单连通域内任,L一简单闭曲线.)0~L有这是因为，可不通过原点连续变形这时0L,1L到而在连续变形中，的值也要连续变ArgzL0的值，到ArgzL1,2的跳跃就不能从原来的值作π.从而只能保持原值,}0{,,10中的简单曲线为若因此CLL,~10时当且仅当LL.10ArgzArgzLL有,是零曲线则显然有1L若.01ArgzL单闭内任一不围绕原点的简由于区域}0{C,0都能连续收缩到一点曲线L，即0~0L因此，,}0{CL若简单闭曲线有ArgzL外部在Lz0内部在Lz0，0,2π显然有此外,.ArgzArgzLL则,}0{内的一条简单曲线是设CL的是Lz0,起点,的终点是Lz,0的一个值取定在Argzz记称作.0的初值在zArgzArgzzL0arg将,arg0z为,的终值在称作zArgz，记作zarg即.argarg0ArgzzzL,0时连续变到终点沿即当自变量从起点zLz.argarg0zzArgz连续变动到终值从初值辐角函数.arg角改变量依赖于起点的初值和辐z方便，多值函数应用起来很不Argz总希望能将由.数分解为若干单值连续函ArgzzzL0argarg，可知,0z即使固定起点,arg0z取定初值ArgzL由于,}0{的形状有关内与在LC,}0{Cz一对于任意.arg都不是惟一的z因此，是不能分内在zCarg}0{.解为单值连续函数的这样自然会想到，缩小区域是?否可行呢这样的区域，而问题的关键在于寻找使得的形终点位置有关而与曲线辐角改变量只与起点、.状无关由辐角改变量ArgzL外部在Lz0内部在Lz0，0,2π,可知单闭曲线都不围绕原只要能使区域内任一简,0z点内就与区域的形状辐角改变量在这个区域.无关因此，“剪开”包括无穷远点沿负实轴将复平面)(C,而成一单连通开区域.G记为这时，内任取一简单在D,L闭曲线，故0~L从而有.0ArgzLoyxzGL，内的任一简单曲线于是，对于LG将ArgzΔL,的起点和终点有关只与L.而与曲线的形状无关,0zG内固定起点,arg0z取定初值ArgzΔzL0arg则在,的单值连续函数就是终点z,2arg0πz如果取定初值πzπz2arg2arg0数则得另一个单值连续函.ArgzΔL一般来说，,)(2arg0为整数如果取初值kπkz.2argπkz数则得到一个单值连续函,这样函数分成无穷多个单值连续内把ArgzG就在.,2argZkGzπkz定义2.8,)(内有定义在区域设函数Dzf内任若对D,21zz与意不同两点，都有)()(21zfzf则称函数内是在D,单叶的并且称区域D的为)(zf.单叶性区域显然，就是的单叶满变换到区域)(zfwGD.的一一变换到GD.)(,)()(,)(的单叶性区域为并称的值上是单叶在则称上的一一映射是区域如果zfDDzfDzfw)(zf为了后面讨论问题的需要，先给出如下定义.2根式函数定义2.9nnwzzw规定为幂函数复变根式函数的反函数.)1(的整数是大于n(1)幂函数的变换(映射)性质及其单叶性区域幂函数nwz)10.2(平面上在wzw平面变成扩充它将扩充,平面.,0,0zw分别变为并将,单值解析由时及当,0zznzwnπkzinez2arg||)1,,1,0(nn,可知，平面上的每个点对应于zz个平面上有在nw,原像角形的心的正个点分布在以原点为中且此nn.顶点上于是，的反函数幂函数nwz.值的上是n,θirez若设,φieρw式为则)10.2()10.2(nwz,,nrn)11.2(平面在zzwn)11.2(,φnθρrn)10.2(nwz，可知由)11.2(平面上从原点发出将变换w)10.2(，线平面上从原点发出的射变成的射线φnθzφφ0.00nρrρρ变成圆周并将圆周ovuwoxyznwz0φ0φφ0φnθ0φnnzw0ρρnρr000φφφw扫动到射线平面上的射线从射线当,时下的像，在变换nwz0θz平面上从射线就在.0φnθ扫动到射线从而，00:φφw平面上的角形.00φnθz平面上的角形：就被变成oxyouvzw0φ0φnnwznzwnπφnπw平面上的角形将变换特别)10.2(,)10.2(nwz.轴的区域平面上除去原点及负实变成znπnπwouvzyoxnwznzw,一般地个的平面上张度为将变换nnπw2)10.2(:角形nπnπkφnπnπkTk22:)12.2()1,,1,0(nk.的区域平面除去原点及负实轴都变成z,6时的情形下图是n都这时)5,4,3,2,1,0(kTk.的区域平面除去原点及负实轴变成zzyoxwouv0T1T2T3T4T5T6wzkzw6)5,4,3,2,1,0(k因此，上，的定义域限制在角形域把knTwz就.反函数可以确定出相应的单值,,212211φiφieρweρw及设有两个不同点例如:21zzwzn映射成同一点经,2121φinnφinneρeρ则,21ρρ,221πkφnφn或,21ρρ;221nπkφφ反之，1wwzn点将任何满足上述条件的变换.2变为同一点及w即件是：是单叶性区域的充要条区域因此T,足条件内不能含有任何两个满T;||||21wwnπkww2argarg21)1,,1,0(nk.21ww及的点)12.2(22:nπnπkφnπnπkTk的单叶性区域的是函数中的nkwzT)12.2(.一种分法互不相交而填满角形所表示的这些kT)12.2()12.2(22:nπnπkφnπnπkTk都()加上同一端边界.平面w因此，)1(的整数是大于幂函数nzwn的单叶性,区域,0z是顶点在原点.2的角形域张度不超过nπ(2)分出的单值解析分支nzw,θirez若则根式函数为nzw,2nπkθiner)1,,1,0(nk起的.),(辐角并不惟一确定确定后即当z.的单叶性区域问题以下继续探讨函数nzw原因是辐角的多值性引根式函数出现多值性的任意引一射线到平面上从原点现在oz或无()界简单曲线,平面割破将z平面构成以此割破了的zG割线为边界的区域表示包含在割破了同时也用G(.)平面内的某一子区域的z,0zG内任意指定一点在，的一个辐角并指定0z,zG内任意的点则对的辐角，皆可根据0z依连续变.的辐角化而惟一确定z,轴假定从原点起割破负实的一内过点是0zGC,条简单闭曲线不穿过负实轴即C.)(因而不包含原点起从则当动点0zz)()(nkwnw个像点平面上对应一周时，绕Cknkzwz的像点kΓ各画出一条简单闭曲线)(内包含在角形kT而回到,)0(kw它原来的位置.,,)0(kwwz的值也回到原来的位置与此相应的回到原来的值连续改变的辐角也回到原来的位置时当动点回到其起始的值因为这时zarg.arg0zzyox3wzkzw3)2,1,0(k.3时的情形下图是n0zC0T1T2T)0(0w0Γ)0(1w1Γvwuo)0(2w2Γ内可得到在区域因此G,knkzwnπkzθinezr2)()()13.2()1,,1,0(nk，个单值连续分支函数的称为nzwn)13.2(当中的固定值时，取1,,1,0nk个的第它就是kzn.分支函数定义,)(内的多值函数是区域设GzF内的是Gzf)(,)(函数解析单值连续,)(内每一点的值在如果Gzf,)(在该点的一个值都等于zFGzFzf在称为则)()(.)(分支解析内的一个单值连续是解析个单值连续分支函数都这以下证明n,,函数并有.1zznzdzdknn)(Gz)14.2()1,,1,0(nk,knkzw对任一固定分支其实部与虚部为,2cos),(nπkθrθrun,2sin),(nπkθrθrvn,,的可微函数内皆为在θrG并且nπkθrθrvnπkθrθrunn2sin),(,2cos),(,2cos111nπkθrnn,2sin11nπkθrnn,2sin111nπkθrnvnr,2cos11nπkθrnvnθ内满足在G,1θrvru.1θrurv方程：极坐标系下的RCruθu并且内解析在故,Gzkn)(rrnivuzrzdzd)2sin2cos1(1111nπkθrninπkθrnzrnn)2sin2(cos1nπkθinπkθznrn.1zznkn.)1,,1,0(nk(3)的支点及支割线nzw,平面若不象上述办法割破z可沿一条则动点z的简单闭曲线围绕原点0zC~,而变是0zC~,上某一点这时C~,穿过负实轴,0出发从于是当动点zz)(负沿正方向绕C~,一周后,2)(0πz了减的辐角已经增的像点z)0(kknkwzw就不能回到原来的位置,)(0)0(0ww沿当zC~,0绕行一周时从z0ww值就从与此相应的,2)0(1nπθinerw变到了另一个值继续按上述方向绕让zzyox3wzkzw3)2,1,0(k0z0T1T2T)0(0w0Γ)0(1w1Γvwuo)0(2w2Γ0Γ~1Γ~2Γ~C~C~,一周后回到原来位置时)0(2)0(1变到值又从,2)0(1nπiew,如此继续下去周后回到原按上述方向绕行n,来位置时.0ww才能回到原来的值到另一支：支变沿上图中虚线路径从一因而，函数nzw)0(00ww)0(1w)0(2w)0(3w)0(1nw0w()()()()()(),0,内的区域在一个包含原点这样Dz就不能把zyox3wzkzw3)2,1,0(k0z0T1T2T)0(0w)0(1w