对数函数的图像和性质

对数函数的图像和性质咸阳师院附属中学殷敏一.复习对数函数的概念定义：函数y=logax(a＞0,且a≠1)叫做对数函数.,其中x是自变量,函数定义域是（0,+∞）。图象性质yx0y=1(0,1)y=ax(a1)yx(0,1)y=10y=ax(0a1)定义域:值域:恒过点：在R上是单调在R上是单调a10a1R(0,+∞)(0,1),即x=0时,y=1.增函数减函数指数函数的图像及性质当x0时，y1.当x0时，.0y1当x0时，y1；当x0时，0y1。对称性：和的图像关于y轴对称.xya=1()xya=xY=log2x……1/41/2124……-2-1012xyo12345678123-1-2-3Y=log2x①.描点画图.●●●●㈠作和的图像2logxy=12logxy=xY=log1/2x…………-31/81/41/21248-2-10123xyo12345678123-1-2-3Y=log1/2x②.OXY123456789123-1-2-3Y=log2xY=log1/2x将两图放入同一坐标系下观察：三.对数函数的性质:现在我们同样利用描点法在同一坐标系下作出和的图像，观察图像并归纳总结性质.23log,logxxyy==1123log,logxxyy==4321-1-2-3246810y=log2xy=log3xxyO13logxy=12logxy=a10a1图像性质定义域：值域：R过点（1，0），即x=1时,y=0x1时,y00x1时,y00x1时,y0x1时,y0在(0,+上是增函数在(0,+上是减函数x1YOY=logaxxYO1Y=logax¥（0，+）4321-1-2-3246810y=log2xy=log3xxyO13logxy=12logxy=总结其它性质：（1）y=logax(a＞0,且a≠1)与y=log1/ax(a＞0,且a≠1)的图像关于x轴对称。（2）对数函数是非奇非偶函数。考虑：根据作出的图像，还能得到其他性质吗？刚才利用描点法作出了和的图像.思考：还有其他方法可以作出它们的图像吗？2logxy=12logxy=我们现在在同一坐标系下作出，和，的图像，并观察分析它们之间的关系.2xy=2logxy=1()2xy=12logyx=XYO112233445567Y=log2xY=XY=2x-1-1-2●●●●●●●●●●12()xy=12logxy=从图上可以看出：点(0,1)与点(1,0)关于直线y=x对称，点(-1,)与点(,-1)点关于直线y=x对称.则上的点p(a,b)与上的点Ｑ(b,a)关于直线y=x对称.1212并且函数和互为反函数，由此，我们总结出：2xy=2logxy=xya=logayx=㈡.利用对称性画图.因为指数函数y=ax(a＞0,且a≠1)与对数函数y=logax(a＞0,且a≠1)互为反函数，所以它们的图象关于直线y=x对称。则：上的点p(a,b)关于y=x的对称点Q(b,a)总在上.故利用对称点可作出的图像.xya=logayx=logayx=例1求下列函数的定义域：（1）（2）解:解:2logayx=由20x得0x¹∴函数2logayx=的定义域是{}|0xx¹log(4)ayx=-由40x-得4x∴函数的定义域是log(4)ayx=-{}|4xx（3）2log(9)xyx=-解:由290x-得∴函数的定义域是2log(9)ayx=-(0,1)(1,3)È应用：和x＞0,且x≠1例2比较下列各组数中两个值的大小：⑴log23.4,log28.5⑵log0.31.8,log0.32.7⑶loga5.1,loga5.9(a＞0,a≠1)解:⑴考察对数函数y=log2x,所以它在(0,+∞)上是增函数,于是log23.4＜log28.5⑵考察对数函数y=log0.3x,因为它的底数为0.3,即0＜0.3＜1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是log0.31.8＞log0.32.7因为它的底数2＞1,⑶loga5.1,loga5.9(a＞0,a≠1)(对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论)解:当a＞1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,于是当0＜a＜1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,于是loga5.1＜loga5.9loga5.1＞loga5.9练习:比较下列各题中两个值的大小:⑴log106log108⑵log0.56log0.54⑶log0.10.5log0.10.6⑷log1.51.6log1.51.4＜＜＞＞例3比较下列各组中两个值的大小:⑴log67,log76;⑵log3π,log20.8.解:⑴∵log67＞log66＝1log20.8＜log21＝0说明:利用对数函数的增减性比较两个对数的大小.当“底真”不同不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入一个“桥梁”(如1或0等),间接比较上述两个对数的大小.提示:logaa=1提示:loga1=0log76＜log77＝1∴log67＞log76⑵∵log3π＞log31＝0∴log3π＞log20.8图象性质对数函数y=logax(a0,a≠1)指数函数y=ax(a0,a≠1)(4)a1时,x0,0y1;x0,y10a1时,x0,y1;x0,0y1(4)a1时,0x1,y0;x1,y00a1时,0x1,y0;x1,y0(5)a1时,在R上是增函数；0a1时,在R上是减函数(5)a1时,在(0,+∞)是增函数；0a1时,在(0,+∞)是减函数(3)过点(0,1),即x=0时,y=1(3)过点(1,0),即x=1时,y=0(2)值域：(0,+∞)(1)定义域：R(1)定义域：(0,+∞)(2)值域：Ry=ax(a1)y=ax(0a1)xyo1y=logax(a1)y=logax(0a1)xyo1（2）看见函数式想图像，结合图像记性质。(1)类比记忆指数函数和对数函数。比较大小：（1）（2）35loglog22和351loglog21和2提示：此种比较大小属于“同真”.习题3-53，4