导与练直线平面垂直关系的判定与性质

基础自主梳理考向互动探究第节直线、平面垂直关系的判定与性质最新考纲1.以立体几何的相关定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.1.线面角与二面角的取值范围分别是(D)(A)2π,0,[0,π)(B)2π,0,[0,π](C)2π,0,[0,π)(D)2π,0,[0,π]解析:根据定义可知,线面角的范围是2π,0,二面角的范围是[0,π],故选D.2.已知直线a⊥平面α,b∥α,则a与b的位置关系是(B)(A)平行(B)垂直(C)异面(D)以上都有可能解析:因为b∥α,则b一定平行于平面α内的某一条直线c,又a⊥α,所以a⊥c,又b∥c,所以a⊥b,故选B.3.(2013成都外国语学校高三月考)在正方体ABCDA1B1C1D1中,直线A1B与平面BC1D1所成角的正切值为(C)(A)22(B)12(C)33(D)3解析:连接AD1、A1D交于O,连接BO,易证A1O⊥平面BC1D1A,则∠A1BO为直线A1B与平面BC1D1所成角,设正方体棱长为1,则A1O=22,BO=62,∴tan∠A1BO=1AOBO=2262=33.故选C.4.m、n是空间中两条不同直线,α、β是两个不同平面,下面有四个命题:①m⊥α,n∥β,α∥βm⊥n;②m⊥n,α∥β,m⊥αn∥β;③m⊥n,α∥β,m∥αn⊥β;④m⊥α,m∥n,α∥βn⊥β.其中,所有真命题的编号是.解析:①中,由n∥β,α∥β得n∥α或nα,又m⊥α,∴m⊥n,故①正确;②中,也可能nβ,故②错误;③中,直线n也可能与平面β斜交或平行,也可能在平面β内,故③错;④中,由m∥n,m⊥α,可得n⊥α,又α∥β可得n⊥β,故④正确.答案:①④1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直blalObabal⊥α(3)直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行baa∥b2.直线与平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.如图,∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角.(2)线面角θ的范围:2π,0.3.二面角、平面与平面垂直(1)二面角①二面角的定义.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做二面角的面.如图,记作:二面角αlβ或二面角αABβ或二面角PABQ.②二面角的平面角.在二面角αlβ的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.(2)平面与平面垂直①定义.一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.②平面与平面垂直的判定定理.文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直ll⇒α⊥β③平面与平面垂直的性质定理.文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直allal⊥α直线与平面垂直的判定与性质【例1】(2012年高考福建卷)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M为棱DD1上的一点.(1)求三棱锥AMCC1的体积;(2)当A1M+MC取得最小值时,求证:B1M⊥平面MAC.(1)解:连接AM、AC、AC1、C1M、CM,由长方体ABCDA1B1C1D1知,AD⊥平面CDD1C1,∴点A到平面CDD1C1的距离等于AD=1.又1MCCS=21CC1×CD=21×2×1=1,∴1MCCAV=31·1MCCS·AD=31.(2)证明:将侧面CDD1C1绕DD1旋转90°展开,与侧面ADD1A1共面,当A1、M、C'共线时,A1M+MC取得最小值.此时由AD=C'D=1,AA1=2,得M为DD1的中点.连接B1M,在△C1MC中,MC1=2,MC=2,CC1=2,所以C21C=M21C+MC2,故CM⊥MC1.又由长方体ABCDA1B1C1D1知B1C1⊥平面CDD1C1,所以B1C1⊥CM.又B1C1C1M=C1,所以CM⊥平面B1C1M,得CM⊥B1M.同理可证B1M⊥AM,又AMMC=M,所以B1M⊥平面MAC.证明线面垂直的常用方法（1）利用线面垂直的判定定理.（2）利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”.（3）利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个也垂直”.（4）利用面面垂直的性质.变式训练11:如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN⊥CD;(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.证明:(1)连接AC、AN、BN,∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC.在Rt△PAC中,∵N为PC的中点,∴AN=21PC.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.又BC⊥AB,PAAB=A,∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥PB.从而在Rt△PBC中,BN为斜边PC上的中线,∴BN=21PC,∴AN=BN.∴△ABN为等腰三角形.又M为底边AB的中点,∴MN⊥AB.又∵AB∥CD,∴MN⊥CD.(2)连接PM、CM,∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC,∴PA=BC.又∵M为AB的中点,∴AM=BM,而∠PAM=∠CBM=90°,∴△PAM≌△CBM,∴PM=CM.又∵N为PC的中点,∴MN⊥PC.由(1)知,MN⊥CD,PCCD=C,∴MN⊥平面PCD.平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2012年高考新课标全国卷)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=21AA1,D是棱AA1的中点.(1)证明:平面BDC1⊥平面BDC;(2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.思维导引:(1)证两个平面垂直,可转化为在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直,要证平面BDC1⊥平面BDC,可证DC1⊥平面BDC;(2)平面BDC1分棱柱下面部分BDACC1为四棱锥,可直接求体积,上面部分可用间接法求得体积,从而确定两部分体积之比.(1)证明:由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1,又DC1平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又DCBC=C,所以DC1⊥平面BDC,又DC1平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.(2)解:设棱锥BDACC1的体积为V1,AC=1,由题意得V1=31×221×1×1=21.又三棱柱ABCA1B1C1的体积V=1,所以(V-V1)∶V1=1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义(作两平面构成二面角的平面角,计算其为90°).②面面垂直的判定定理(a⊥β,aαα⊥β).(2)三种垂直关系的转化(3)面面垂直性质的应用①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”.②两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.变式训练21:(2012宁波模拟)在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,AC∩BD=O.(1)若AC⊥PD,求证:AC⊥平面PBD;(2)若平面PAC⊥平面ABCD,求证:PB=PD.证明:(1)因为底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD.又因为AC⊥PD,PD∩BD=D,所以AC⊥平面PBD.(2)由(1)知AC⊥BD.因为平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面PAC.因为PO⊂平面PAC,所以BD⊥PO.因为底面ABCD是菱形,所以BO=DO,所以PB=PD.空间角的求法【例3】在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=22,∠PAB=60°.(1)证明:AD⊥平面PAB;(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值的大小;(3)求二面角PBDA的正切值的大小.(1)证明:在△PAD中,由题设PA=2,AD=2,PD=22,可得PA2+AD2=PD2,于是AD⊥PA.在矩形ABCD中,AB⊥AD,又PAAB=A,所以AD⊥平面PAB.(2)解:由题设,BC∥AD,所以∠PCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的角.在△PAB中,由余弦定理得PB=PABABPAABPA222=7.由(1)知AD⊥平面PAB,PB平面PAB,所以AD⊥PB,因而BC⊥PB,于是△PBC是直角三角形,故tan∠PCB=BCPB=27.故异面直线PC与AD所成的角的正切值的大小为27(3)解:如图所示,过点P作PH⊥AB于H,过点H作HE⊥BD于E,连接PE.因为AD⊥平面PAB,PH平面PAB,所以AD⊥PH.又ADAB=A,所以PH⊥平面ABCD,故HE为PE在平面ABCD内的射影,∴BD⊥PE.从而∠PEH是二面角PBDA的平面角.由题设可得PH=PA·sin60°=3,AH=PA·cos60°=1,BH=AB-AH=2,BD=22ADAB=13,由Rt△BEH∽Rt△BAD知ADHE=BDHB,∴HE=13134.∴tan∠PEH=HEPH=439.故二面角PBDA的正切值的大小为439.求空间角的方法:(1)定义法:根据线面角的定义或二面角的平面角的定义,作(找)出该角,再解三角形求出该角.(2)射影法:设斜线段AB在平面α内的射影为AB,AB与α所成角为θ,则cosθ=ABBA.设△ABC在平面α内的射影三角形为△ABC,平面ABC与α所成角为θ,则cosθ=ABCCBASS.直线、平面垂直的综合应用【例4】如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是CD、A1D1的中点.(1)求证:AB1⊥BF;(2)求证:AE⊥BF;(3)棱CC1上是否存在点P,使BF⊥平面AEP？若存在,确定点P的位置,若不存在,说明理由.(1)证明:连接A1B,则AB1⊥A1B,又AB1⊥A1F,且A1BA1F=A1,∴AB1⊥平面A1BF,而BF平面A1BF,∴AB1⊥BF.(2)证明:取AD中点G,连接FG、BG,则FG⊥AE,∵易知△BAG≌△ADE,∴∠ABG=∠DAE.∴AE⊥BG.又∵BGFG=G,∴AE⊥平面BFG.而BF平面BFG,∴AE⊥BF.(3)解:存在.取CC1中点P,即为所求.连接EP、AP、C1D,∵EP∥C1D,C1D∥AB1,∴EP∥AB1.由(1)知AB1⊥BF,∴BF⊥EP.又由(2)知AE⊥BF,且AEEP=E,∴BF⊥平面AEP.垂直关系综合题的解题思路(1)对于三种垂直的综合问题,要注意通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)对于垂直与平行结合的问题,应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)对于垂直与体积结合的问题,在求棱锥的体积时,可根据线面垂直得到表示高的线段,进而求得体积.变式训练41:如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中(侧棱垂直于底面的三棱柱叫直三棱柱),AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D为AC的中点.求证:(1)B1C∥平面A1BD;(2)B1C1⊥平面ABB1A1.证明:（1）如图所示,连接AB1,交A1B于O,则O为AB1的中点.连接OD,∵D为AC的中点,∴在