数字图像处理第3章

DigitalImageProcessing◆3.1图像的几何变换◆3.2图像的离散傅立叶变换◆3.3图像变换的一般表示形式◆3.4图像的离散余弦变换◆3.5图像的离散沃尔什－哈达玛变换◆3.6K-L变换第3章图像变换DigitalImageProcessing图像和其它信号一样，既能在空间域（简称空域）处理，也能在频率域（简称频域）处理。把图像信息从空域变换到频域，可以更好地分析、加工、处理图像信息。图像信息的频域处理具有如下特点:①能量守恒，但能量重新分配；②有利于提取图像的某些特征；③正交变换具有能量集中作用，可实现图像的高效压缩编码；④频域有快速算法，可大大减少运算量，提高处理效率。本章除介绍图像的几何变换外，主要介绍可分离正交变换，包括离散傅立叶变换、离散余弦变换、离散哈达玛-沃尔什变换等。概述DigitalImageProcessing◘图像的几何变换包括:图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。◘图像几何变换的实质:改变像素的空间位置或估算新空间位置上的像素值。3.1图像的几何变换DigitalImageProcessing◘图像几何变换的一般表达式:其中，为变换后图像像素的笛卡尔坐标，为原始图像中像素的笛卡尔坐标。这样就得到了原始图像与变换后图像的像素的对应关系。如果，，则有，即变换后图像仅仅是原图像的简单拷贝。3.1图像的几何变换)],(),,([],[yxYyxXvu],[vu],[yxxyxX),(yyxY),(],[],[yxvuDigitalImageProcessing◘平移变换:若图像像素点平移到，则变换函数为，。写成矩阵表达式为：其中，和分别为和的坐标平移量。3.1图像的几何变换),(yx),(00yyxx0),(xxyxXu0(,)vYxyyy00yxyxvu0x0yyxDigitalImageProcessing3.1图像的几何变换◘比例缩放:若图像坐标缩放到（)倍，则变换函数为：其中,分别为和坐标的缩放因子，其大于1表示放大，小于1表示缩小。),(yxyxss,00xysuxsvyyxss,xyDigitalImageProcessing3.1图像的几何变换◘旋转变换:将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋转角度，则变换后图像坐标为：yxvucossinsincos图像旋转变换的示例:a原始图像b逆时针旋转30度后的图像DigitalImageProcessing3.1图像的几何变换◘仿射变换:仿射变换的一般表达式为:平移、比例缩放和旋转变换都是一种称为仿射变换的特殊情况。2102101xaaauybbbv仿射变换具有如下性质：（1）仿射变换只有6个自由度（对应变换中的6个系数），因此，仿射变换后互相平行直线仍然为平行直线，三角形映射后仍是三角形。但却不能保证将四边形以上的多边形映射为等边数的多边形。（2）仿射变换的乘积和逆变换仍是仿射变换。（3）仿射变换能够实现平移、旋转、缩放等几何变换。DigitalImageProcessing3.1图像的几何变换上式可以表示成如下的线性表达式:设定加权因子和的值，可以得到不同的变换。例如，当选定，，，该情况是图像剪切的一种列剪切。（a）原始图像（b）仿射变换后图像001212bayxbbaavuiaib112ba1.02b0001baaDigitalImageProcessing3.1图像的几何变换◘透视变换:把物体的三维图像表示转变为二维表示的过程，称为透视变换，也称为投影映射，其表达式为:透视变换也是一种平面映射，并且可以保证任意方向上的直线经过透视变换后仍然保持是直线。透视变换具有9个自由度（其变换系数为9个），故可以实现平面四边形到四边形的映射。1'''333231232221131211yxaaaaaaaaawvuDigitalImageProcessing3.1图像的几何变换◘灰度插值:(1)最近邻插值法：也称作零阶插值，也就是令变换后像素的灰度值等于距它最近的输入像素的灰度值。特点：造成的空间偏移误差为像素单位，计算简单。但当图像中的像素灰度级有细微变化时，该方法会在图像中产生人工的痕迹。(2)双线性插值也称作一阶插值。该方法通常是沿图像矩阵的每一列（行）进行插值，然后对插值后所得到的矩阵再沿着行（列）方向进行线性插值。特点:当对相邻四个像素点采用双线性插值时，所得表面在邻域处是吻合的，但斜率不吻合。并且双线性灰度插值的平滑作用可能使得图像的细节产生退化，这种现象在进行图像放大时尤其明显。2/1DigitalImageProcessing3.1图像的几何变换◘灰度插值:(3)卷积插值法:当图像放大时，图像像素的灰度值插值可以通过卷积来实现，即将输入图像两行两列中间插零值，然后通过低通模板滤波。输入图像邻域插零的邻域一般低通模板有：柱形棱锥形钟形三次B样条22211211xxxx2221121100000xxxx11111212421214113313993399313311611464141624164624362464162416414641641DigitalImageProcessing3.1图像的几何变换(a)原始图像（b）最近邻插值放大图像（c）双线性插值放大图像（d）三次B样条插值放大图像插值放大示例：DigitalImageProcessing3.2图像的离散傅立叶变换◘一维离散傅立叶变换（1D-DFT）:1D-DFT的定义：对于有限长序列，其DFT定义为：，1D-DFT的矩阵表示：)1,,2,1,0)((Nnnf10101()(),011()(),01NnuNnNnuNnFufnWuNNfnFuWnNN)1()2()1()0()1()2()1()0()1)(1(1)1(0)1()1(22120)1(11110)1(00100NffffUfFexp2/NWjNDigitalImageProcessing3.2图像的离散傅立叶变换其中：，，其中的称为变换矩阵。从的构成形式可知，是对称的，即又由，则称为酉矩阵，且，而1D-DFT就称为正交变换。同理可得到反变换的矩阵表示：TNFFFFF)1()2()1()0()1)(1(1)1(0)1()1(11110)1(010100NNNNNNNNNNNNNNNTNfffff)1()2()1()0(UUUUUTNTIUU*)(U**)(1UUUTFUFUf*1DigitalImageProcessing3.2图像的离散傅立叶变换◘二维离散傅立叶变换（2D-DFT）1、2D-DFT的定义:其中，都是整数，它们的取值范围:1010)(1010),(1),(),(1),(NuNvnvmuNNmNnnvmuNWvuFNnmfWnmfNvuFvunm,,,1,,,0Nvunm2、几个相关参数:傅立叶变换表示为复数形式:上式也可表示成指数形式：通常称为的频谱或幅度谱，为相位。，频谱的平方称为功率谱，即:),(),(),(vujIvuRvuF),(),(),(vujevuFvuF),(nmf),(vu),(),(),(22vuIvuRvuF),(),(arctan),(vuRvuIvu),(),(),(22vuIvuRvuP),(vuFDigitalImageProcessing3.2图像的离散傅立叶变换3、2D-DFT的性质:（1）变换核的可分离性：在离散傅立叶变换中，称为变换核，将代入2D-DFT定义式的正变换中，得nvmuNWNnvmuj/)(2expmunvmunvNNN11001100101(,)(,)11(,)1(,)(,)NNmunvNmnNNnvmuNNmnNmuNmFuvfmnWNfmnWWNNFmvWNFuv该性质说明2D-DFT可通过两次1D-DFT完成，即按如下两种方法来实现2D-DFT：),(),(),(11vuFvmFnmfDFTDDFTD沿行沿列),(),(),(11vuFnuFnmfDFTDDFTD沿列沿行或DigitalImageProcessing3.2图像的离散傅立叶变换（2）移位特性：若，则：a.空间移位:b.频域移位:c.移位时幅度不变:，d.频谱中心化:令，则即使的频谱从原点移到中心。),(),(vuFyxf)(0000),(),(vnumNWvuFnnmmf),(),(00)(00vvuuFWnmfnvmuN),(),(00vuFnnmmf),(),(00vvuuFnmf200Nvu2,2),(1NvNuFnmfnm)0,0(2,2NN),(nmf（a）原图像（b）|F(u,v)|的示意图（c）|F(u-N/2,v-N/2)|的示意图DigitalImageProcessing3.2图像的离散傅立叶变换（3）周期性和共轭对称性：a.周期性:其中和为整数。b.共轭对称性:图像为实函数，则具有共轭对称性，即:（4）旋转不变性:若用极坐标,则以及其傅立叶变换就可以转化为和，这样，则),(),(bNnaNmfnmf),(),(bNvaNuFvuFab),(nmf),(vuF),(),(*vuFvuF(,)|(,)|FuvFuvsin,cos,sin,cosvurnrmnmf,vuF,,rf,F),(),(Frf),(),(00FrfDigitalImageProcessing3.2图像的离散傅立叶变换从上式可见，空域中函数旋转角度，它的傅立叶变换也旋转同样大小的角度，反之亦然。（a）原始图像（b）频谱（c）图像旋转45（d）图c的频谱（5）实偶函数的DFT:()nmf,0vuF,NnvNmunmfvuFNmNnee2cos2cos),(),(1010),(),(nmfnmfee，仅有余弦项的实部。DigitalImageProcessing3.2图像的离散傅立叶变换（6）实奇函数的DFT:()，仅有正弦项的虚部。（7）线性性:若和是常数，傅立叶的正反变换都是线性变换，即（8）比例性（尺度变换）:若和是标量，，则NnvNmunmfjvuFNmNnoo2sin2sin),(),(1010),(),(nmfnmfooab),(),(),(),(2121nmfDFTbnmfDFTanmbfnmafDFT),(),(),(),(2121vuFIDFTbvuFIDFTavubFvuaFIDFTab),(),(vuFnmf),(),(1bvauabFbnamfDigitalImageProcessing3.2图像的离散傅立叶变换（9）平均值:数字图像的平均值