数模竞赛用到的知识点

概率论与数理统计概率论－事件发生的可能性数理统计－用数据来分析对象满足的概率规律一、必然现象与随机现象1、必然现象在一定条件下肯定会发生的现象如水100ºC沸腾，苹果从树上掉落2、偶然现象或随机现象即使条件一定，结果也不可预测如掷一枚硬币，出现正面或反面？买一张彩票，是否中奖？是否会发生水灾？第一章随机事件与概率§1随机事件要面对随机现象进行研究，还有一些要求。二、随机试验与随机事件随机试验是对随机现象进行试验或观察1、相同的条件下可以重复进行2、每次试验有多种可能的结果，而且在试验之前即可明确有几种可能。3、每次试验不能预知哪一结果会发生。当目的不同时，结果也会有不同。如天气：下雨或不下雨。晴、多云、阴、小雨、大雨等。随机试验的每个结果称为随机事件，简称事件。一般用大写英文字母A、B、C等表示。例如在0、1、2、…、9中任取一数。A表示取到0，B表示取到5，C表示取到奇数，D表示取到3的倍数。它们都是随机事件。不能分解为其它事件的事件称为基本事件。如A,B能分解为其它事件的事件称为复合事件。如C,D每次试验一定发生的事件称为必然事件。如点数大于0一般用Ω表示必然事件。每次试验一定不发生的事件称为不可能事件。如点数大于9一般用φ表示不可能事件它们是随机事件的特例。为了研究的方便，可以用点集来表示事件，也可以用文氏图表示。基本事件用只包含一个元素ω的单点集{ω}表示。复合事件用包含若干个元素的集合表示。例如掷一颗骰子，A表示点数为4，即为单点集{4}B表示点数为偶数，即为点集{2,4,6}点数为正数，是必然事件，即为全集{1,2,3,4,5,6}点数为负数，是不可能事件，即为空集φ所有基本事件对应的元素组成的集合称为样本空间。每个基本事件对应的元素称为一个样本点。三、事件间的关系及运算1、事件的包含若事件A发生必然导致事件B发生，即属于A的每个样本点也属于B,则称事件B包含事件A。等价的说法是：B不发生，则A也不发生。例如A={4},B={2,4,6},则AB记作BA或AB对任何事件A,有φAΩA用图形表示，即B2、事件的相等若AB且BA，称事件A与B相等。即A与B中的样本点完全相同。记作A=B掷一颗骰子A表示点数小于3，B表示点数为1或2则A=B3、事件的并（和）两个事件A，B中至少有一个发生，即“A或B”，是一个事件，称为A与B的并（和）。它是由A与B的所有样本点构成的集合。记作A+B或A∪B掷骰子之例中，若A={1,2,3},B={1,3,5}则A∪B={1,2,3,5}集合的运算规律对事件也成立，如A∪B=B∪A,(A∪B)∪C=A∪(B∪C)A∪BA,A∪BBA∪φ=A,A∪Ω=Ωn个事件A1,…,An中至少有一个发生，是一个事件。称为事件A1,…,An的和。记作A1+…+An或A1∪…∪An可列个事件A1,A2,…,An,…中至少有一个发生称为事件A1,A2,…,An,…的和若A={1,2,3},B={1,3,5},C={1,3,4}iii1i1AAU＝＝记作或则A+B+C={1,2,3,4,5}用图形表示，即AB4、事件的交（积）两个事件A与B同时发生，即“A且B”,是一个事件。称为事件A与B的交（积）。它是由A与B的公共样本点构成的集合。记作AB或A∩B如A={1,2,3},B={1,3,5}则AB={1,3}它也有运算律：A∩B=B∩A(A∩B)∩C=A∩(B∩C)A∩BAA∩BBA∩φ=φA∩Ω=A也可定义多个事件的交。交与并运算还满足分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)用不同的记号，可写为(A+B)C=AC+BC(AB)+C=(A+C)(B+C)用图形表示，即BA5、事件的差事件A发生而事件B不发生，是一个事件，称为事件A与B的差。它由属于A但不属于B的所有样本点组成。记作A-B如：A={1,2,3},B={1,3,5}则A-B={2},B-A={5}A用图形表示即B6、互不相容事件（互斥事件）若A与B不能同时发生，即AB=φ称事件A与B互不相容或互斥。互斥事件没有公共的样本点。基本事件间是互不相容的。如A={1,2,3},B={1,3,5},C={4,5}A与C是互不相容的。A与B是相容的。用图形表示即AC7、对立事件事件“非A”,即A不发生，称为A的对立事件。也称为A的逆事件。它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成。记作Ā如A={1,2,3},Ā={4,5,6}易见AĀ=φ,A+Ā=ΩĀ=Ω-A=AAA用图形表示ΩĀ8、完备事件组若事件A1,…,An两两互不相容，并且A1+…+An＝Ω称A1,…,An构成一个完备事件组。A与Ā构成一个完备事件组。若Ω＝{1，2，3，4，5，6}则A1={1,2,3},A2={4,6},A3={5}是一个完备事件组。用图形表示，如A1A2A3A4Ω例1从一批产品中每次取出一个产品进行检验，事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3)用事件的运算表示下列事件：三次都取到合格品，三次中至少有一次取到合格品，三次中恰有两次取到合格品，三次中最多有一次取到合格品。解：三次全部取到合格品：A1A2A3三次中至少有一次取到合格品A1+A2+A3三次中恰有两次取到合格品123123123AAAAAAAAA三次中至多有一次取得合格品121323AAAAAA123123123123AAAAAAAAAAAA或例2设x表示一个沿数轴做随机运动的质点的位置，试说明下列各事件的关系：A={x|x≤20}B={x|x3}C={x|x9}D={x|x-5}E={x|x≥9}解：ACD,BED与B,D与E互不相容C与E为对应事件。B与C，B与A，E与A相容A与C,A与D,C与D,B与E也是相容的。符号集合含义事件含义Ω全集样本空间，必然事件Φ空集不可能事件ω∈Ω集合的元素样本点{ω}单点集基本事件AΩ一个集合一个事件ABA的元素在B中A发生导致B发生A=B集合A与B相等事件A与B相等A∪BA与B的所有元素A与B至少有一个发生A∩BA与B的共同元素A与B同时发生ĀA的补集A的对立事件A-B在A中而不在B中的元素A发生而B不发生A∩B=φA与B无公共元素A与B互斥§2概率概率是事件发生可能性的数量指标。即在多次重复后，某结果出现的比率。概率应有如下特征：(1)是事件本身固有的，可通过大量试验来检验。(2)符合一般常情，可能性大时，概率也大。一般叙述可能性时用百分比。以后为方便更多地用0到1之间的小数。即0≤P(A)≤1且P(Ω)=1P(φ)=01、古典概型要计算事件发生的可能性，对随机试验有一定要求。(1)每次试验只有有限个可能的试验结果。(2)每次试验中，各基本事件发生的可能性相同。这种试验称为古典概型试验。AmPAn()有利于的基本事件数＝试验的基本事件总数定义1若试验结果一共有n个基本事件组成，且这些事件的出现具有相同的可能性，且事件A由其中某m个基本事件组成，则事件A的概率为例1掷一枚硬币，出现正面的概率解：设硬币是均匀的只有正、反面两个基本事件。若A表示出现正面。1PA2()则解：为简便，每位数字有10种选择。基本事件总数是106。事件A表示找到张某，则A只有一个基本事件。61PA000000110().故例2随意拨一个六位电话号码，正好找到朋友张某的概率。例3袋中装有5个白球，3个黑球。从中任取两个球，计算取出的两个球都是白球的概率。解：组成试验的基本事件总数253nC事件A表示取到两个白球，基本事件数25mC故2528PACC()5035714.另解：若认为取出的两个球有先后次序，则基本事件总数为54PA87()故5035714.2887A54P,25的事件数为P注意，若认为是取出一个，放回去后再取一个。则基本事件总数是8×8，A的事件数为6×655PA88()故2564例4福利彩票35选7中特等奖的概率。解：不论是号码是自选还是机选，基本事件总数为735CA表示中特等奖，则A只含一个基本事件，73511PA00000001486724520C().故若B表示中一等奖(对6个号码)B的基本事件数为61728CC11728735PB00000292CCC().故2、统计概率古典概率要求很严格，特别是基本事件等可能，这一点很难做到。如硬币真的是均匀的吗？随机事件在一次试验中是否发生不确定，但在大量重复试验中，它的发生却具有统计规律性。在n次重复试验中，若事件A发生了m次，则m/n称为事件A发生的频率。不可能事件的频率一定为0。必然事件的频率一定为1。关于掷硬币，前人做过试验。试验者掷的次数正面次数正面频率Buffon404020480.5069Pearson24000120120.5005Kerrich1000050670.5067可见，掷的次数越多，频率越接近0.5如上表说明硬币出现正面的概率为0.5。概率是事件本身固有的，试验只是帮助我们了解它。定义2在不变的条件下，重复进行n次试验，事件A发生的频率稳定地在某一常数P附近摆动。且n越大，摆动幅度越小。则称这常数P为事件A的概率，记为P(A)。年份新生儿总数男婴儿数女婴儿数男婴频率女婴儿概率197736701883178751.3148.69197842502177207351.2248.78197940552138191752.7347.27198058442955288950.5649.44198163443271307351.5648.44198272313722350951.4748.536年总计31394161461524851.4848.52可以认为生男孩的概率近似值为0.515这种概率只能通过统计得出。又如某妇产医院几年间出生婴儿的性别记录为：3、几何概型考虑一个点随机落在[0,1]区间。00.31若问事件A:点落在0.5处的概率。显然P(A)=0但A不是不可能事件。而问事件B：点落在0与0.3之间的概率。则P(B)=0.3这种与几何形状有关的概率称为几何概率。4、关于概率的一些解释。(1)硬币出现正面的概率为12(2)概率不会自动“平衡”是指多次试验中正面出现的频率接近12而不是多次试验中正面出现的次数接近一半。如总次数100正面55总次数10000正面5050硬币连在10个正面，下一次是什么？打牌手风很顺，该继续还是停止？连生几个女孩，想生男孩，该继续生吗？(3)对概率的错误估计a、你认为自己买彩票会中奖吗？b、你害怕SARS吗？对可怕后果的担忧使人过高估计概率。c、一对夫妇要去买点东西，该把婴儿单独留在家中？还是带在汽车上和自己一起去？因为不可控制而错估概率。d、你认为自己买彩票会赚钱吗？过度自信使人低估了风险。