数理统计引言及41总体与样本课件

1数理统计的基础知识21.某电视机厂全年生产的电视机，2.某个交通路口，3.某汽车在高速公路上行驶,4.有一大批工业产品,XpqX10~其中参数电视机的寿命，设X为任一服从什么分布？X在任意一个小时内通过的车辆服从什么分布？X任一时刻的速度服从什么分布？X其中有正品和次品,任取一件,记服从0—1分布:Xp?数为X，为X,从中该产品为正品1该产品为次品03数理统计就是研究怎样有效地收集、整理和带有随机性的数据,以便对所考察的问题作出推断和预测,分析,直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议.这种由局部观察来对总体下结论必须建立在科学的方法基础上,否则就会犯错误.数理统计的就是给出这种统计推断任务之一以科学的理论及方法.4数理统计1.如何从总体中抽样?2.如何用所抽样品对总体进行推断?抽样全面调查(如人口普查)部分调查总体部分抽样统计推断估计假设检验主要研究两方面的问题:5由于抽样是一个随机现象,对总体所作的推断不可能绝对准确,多少含有一定程度的不确定性,这种不确定性概率大推断比较可靠概率小推断不太可靠数理统计的核心问题是:从总体中抽取样本并且必须伴有一定的概率这种伴有一定概率的推断所以根据部分观测或试验的结果用概率的大小表示.(部分资料),根据样本所得到的部分信息对该总体作出推断(检验、估计)以表明推断的称为统计推断.要求每个推断可靠程度.61.抽样分布是进行统计推断的基础理论部分.2.参数估计假设总体的分布类型已知,3.假设检验对总体的分布估计其中的参数.或分布中的参数提出假设,讨论样本信息对假设作出成立与否的判断.怎样利用4.回归分析之间的相互关系,根据样本信息,对两个或两个以上随机变量进行统计推断.7§4.1总体与样本一、总体与总体分布总体：研究的对象的全体构成的集合.个体：组成总体的每一个成员.统计学中关心的不是每个个体的所有特性,而仅仅关心它的某一项或某几项数量指标.总体是一个随机变量.(或随机向量)总体的分布称为总体分布.定义4.1统计学中称随机变量(或随机向量)X为总体,并把随机变量(或随机向量)X的分布称为总体分布.用X表示每个个体的这一项数量指标.（几项）8总体中所含个体的数量容量有限的总体容量无限的总体称为总体容量.称为无限总体;称为有限总体;9说明:表示总体的X既可以是随机变量，也可以是随机向量.如果只关心每一个体的一项数量指标，则总体是随机变量；数量指标，如果关心两项或两项以上则总体就是随机向量.但为简化讨论，本书只考察一项数量指标的情形,因此,今后总体都是随机变量.10二、样本与样本分布11由于所以样本通常但当一次抽样实现后,nxxx,...,,21称它们为样本值一是指某次抽取的12,,...,nxxx有时泛指一次抽取的可能结果,nXXX,...,,21从总体X中随机抽取n个个体12,,...,nXXX称为总体X的这n个一个容量为的样本,nn称为nXXX,...,,21是从总体X中可能结果,12,,...,nXXX是n个随机变量,也把它们看成一个元随机向量n12,,...,nXXX它们就变成了n个具体的或样本观测值.常有一个容量为n的样本时,每当提到总体的X双重意义:具体数值,即样本值这时个体样本容量.随机抽取出来的数值:是指样本随机变量12抽样应满足下面两个条件:(1)随机性:(2)独立性:满足以上两个条件的抽样简单随机样本nXXX12,,...,一定相互独立,nXXX12,,...,有了简单随机样本，都与总体X总体中的每一个个体有同等的机会每次抽取的结果,不受其它抽取结果也不影响其它抽取结果.称为简单随机抽样且每个有相同的分布.被抽到.的影响,就可以利用概率论中独立，同分布条件下的一系列结论.13定义4.2nXXX12,,...,是一组相互独立，(,,...,)nXXX12在一次试验中,,,...,nxxx12称为样本值设X是总体,的随机变量.且与有相同分布X则称简单随机样本,简称样本.为来自总体的X称为样本容量,n样本的具体观测值或样本观测值.14设总体X的分布函数为()Fx故样本(,,...,)nXXX12的分布函数为：12...(,,,)nxxFx11,PXx22,XxnnXx...,11xPX22PXx...nnPXx1()Fx2()Fx...()nFx因nXXX12,,...,都与总体同分布，故nXXX12,,...,的分布函数也是()Fx()iFx1ni15~()Xfx由于11~()Xfx22~()Xfx...~()nnXfx相互独立,12(,,...,)nfxxx1()fx............2121nnpppPaaaX所以11,iPXa11iPXa21...iniippp(1)若总体X是连续型的12,,...,nXXX与总体有相同的分布,X所以由于12,,...,nXXX所以的12(,,...,)nXXX联合密度函数为其概率分布为由于独立,12,,...,nXXX2()fx...()nfx是离散型的,22,iXa...,ninXa22iPXaninPXa...(2)若总体X与X同分布,16§4.2统计量定义4.312(,,...,)nXXX的函数,任一不含未知参数12(,,...,)ngXXX为统计量.说明:12(,,...,)ngXXX也是随机变量.(2)统计量中可以有参数,是来自总体X的样本,称(1)统计量但不能有未知参数.12,,...,nXXX设17例2~(,)XN当μ已知时,211()niiXn当μ未知时,的一次观测值12,,...,nxxx由于统计量12(,,...,)ngXXX就可以算出12(,,...,)ngxxx称为统计量12(,,...,)ngXXX观测值.12(,,...,)ngxxx设总体12,,...,nXXX是来自的一个样本,X是统计量;不是统计量.中不含未知参数,对样本12,,...,nXXX的18二、常用的统计量12(,,...,)nXXX是来自总体X的样本,设1.样本均值X11niiXn121...nXXXn2.样本方差未修正样本方差20S21()niiXX1n2S21()niiXX11n修正样本方差要估计总体的方差2,用2S比用20S更好,2S简称为样本方差.19未修正样本方差20S21()niiXX1n2S21()niiXX11n样本方差2S11n20nS201nSn当n较大时,220SS21()niiXX1ni2iX2iXX2X21niiX12niiXX21niX21niiX12niiXX2nXn1n21niiX2Xn22nX21niiX2nX11n21niiX2nX20样本方差3.样本标准差4.样本k阶原点矩5.样本k阶中心矩2B20S1~5统称为矩统计量,简称为样本矩.它们都可表为样本的显式函数.211()1niiXXnSkA11niikXn1,2,...k1A111niiXnXkB11kniiXXn2,3,...k211niiXnX2S11n21niiXX21111niinXX5.样本k阶中心矩kB11kniiXXn2,3,...k1k时，11niiXXn1n1XX2XXnXX...1n12...nXXXXn121...nXXXnXXX0226.顺序统计量12(,,...,)nXXX是来自总体X的样本,设将各分量按由小到大的次序排列成(1)X(2)X(3)X...()nX称(1)(2)()(,,...,)nXXX为样本的一组(1)X12min(,,...,)nXXX称为样本极小值;()nX12max(,,...,)nXXX称为样本极大值;()(1)nXX12max(,,...,)nXXX12min(,,...,)nXXX称为样本的极差.顺序统计量.23三、枢轴量定义12(,,...,)nXXX的分布已知,中仅包含总体的一个12(,,...,;)ngXXX则称是来自总体X的样本,设如果函数未知参数θ并且12(,,...,;)ngXXX设总体X的分布中含有未知参数θ,为了估计θ,需构造一个包含θ的12(,,...,;)ngXXX样本函数其分布已知.12(,,...,;)~ngXXX已知分布为枢轴量.12(,,...,;)ngXXX24§4.3常用的统计分布25给定的一、分位数定义4.4设随机变量X()Fx()Fx{}PXx对给定的实数α,(01)如果实数F满足条件{}PXF则称F为X的分布的水平α的上侧分位数.{}PXFPXF1FF11FFF当X是连续型随机变量时，PXFF其密度函数为()fx()fxdxxF()fx1的分布函数为26为的()Fx水平α的上侧分位数.{}PXFFF1F给定的()fx1为的()Fx水平1-α的上侧分位数.{}P1XF1{}P1XF1(1)PX2F21FP21XFP2XF122127例求标准正态分布的上侧分位数：解0()0.951.6450()0.91.280()0.70.5250.05u0.05u0.1u0.1u0.3u0.3u0.05u0.1u0.3u28如果连续型随机变量X的密度函数是偶函数.即密度函数的图像关于y轴对称.()yfx122TT称X是对称分布的随机变量,此时可定义定义4.5其分布函数()Fx对给定的实数α,(01)如果正实数T满足条件{}PXT则称T水平α的双侧分位数.双侧分位数.设X是对称分布的随机变量,为为X的分布的注意:只有具有对称分布的随机变量,才有双侧分位数.029()yfx122TT具有对称分布{}PXT水平α的双侧分位数.为X的分布的对于的随机变量XT{}P2XT{}P12XTFT12FTTF{}PXT1T2F2F130例求标准正态分布的水平α=0.05,的双侧分位数.及α=0.1解α=0.05时,设对应的双侧分位数为λ0()0.9751.96α=0.1时,设对应的双侧分位数为ν0()0.951.64531Γ函数:0如Γ函数有性质(1)!nn(1)s()s(0)s1sxxedx0(0.5)10.5xxedx0(2)12xxedx(10)09xxedx()ss如0(1)xedx0!10(2)dx1!1x0(3)dx2!22x0(4)3xdx3!69!12xexexe32分布二21.定义定义4.6,2分布记为2~()Xn2(;)xn0x00x2122nn12nx2xe则称X服从自由度为的n其中时10n与有关.n若随机变量的密度函数为X2(;)xnn为给定自然数.332(;)2x2xe0即2~()Xn当时,2n120x0x2()2指数分布.就是参数为的12当时,3n密度函数的图像012皆为单峰曲线，n越大,峰值越靠右,曲线越平缓.2(;)xn0x00x2122nn12nx2xe34分布的可加性2.2定理4.212~()Xn22~()Yn2~()XY推论211~()Xn