第9章到第12章介绍集合论包含集合

第9章集合第9章到第12章介绍集合论．包含集合、关系、函数和基数．对概念和定理的介绍将以数理逻辑的谓词逻辑为工具来描述，体现了这两个数学分支之间的联系，且可使集合论的研究既简练又严格，还将简要介绍集合论公理系统．这个公理系统又称公理集合论，是数理逻辑的一个分支．9．1集合的概念和表示方法9．1．1集合的概念一个模糊定义：集合是一些确定的、可以区分的事物汇聚在一起组成的一个整体，组成—个集合的每个事物称为该集合的一个元素．或简称—个元．(集合论公理系统的一个基本思想是将集合中的元素也描述为集合，这样集合论就可以只关心集合了。)如果a是集合A的一个元素，就说a属于A，或者说a在A中，记作a∈A，如果b不是集合A的—个元素，就说b不属于A．或者说b不在A中,记作bA．朴素的集合论简单但存在多种悖论，例如例5的罗素悖论。为避免悖论，准确理解，特别应注意以下约束：(1)不自吞：集合的元素可以是任何事物，也可以是另外的集合(以后将说明，集合的元素不能是该集合自身，正则公理指出集合不能自吞p153-154)．(2)不重复：一个集合的各个元素是可以互相区分开的．这意味着，在一个集合中不会重复出现相同的元素．(3)无次序：组成一个集合的各个元素在该集合中是无次序的．(注：有序对也可由集合来表达p135)(4)确定性：任—事物是否属于一个集合，回答是确定的，也就是说。对一个集合来说，任一事物或者是它的元素或者不是它的元素，二者必居其一而不可兼而有之，且结论是确定的。(例5的罗素悖论违反了这一性质p131)9．1．2集合的表示方法约定1：我们—般用不同的大写字母表示不同的集合．并用不同的小写字母表示集合中不同的元素，但是因为某个集合的一个元素可能是另—个集合．所以这种约定不是绝对的．约定2：用几个特定的字母表示几个常用的集合．约定N表示全体自然数组成的集合(本书中,规定0是自然数,即0N．但在另一些书中,规定0不是自然数．),Z表示全体整数组成的集合，Q表示全体有理数组成的集合，R表示全体实数组成的集合，C表示全体复数组成的集合．两种表示集合的方法(另外还有运算式子表达法§9.3、图形表达法§9.4)：一种方法是外延表示法(列举)．这种方法一一列举出集合的全体元素．例如A={7，8，9}，N={0，1，2，3，…}，表示集合A有三个元素7，8，9．集合N的元素是0，1，2，3，…，集合N就是自然数的集合，N的表示式中使用了省略符号，这表示N中有无限多个元素4，5，6，7等．有限集合中也可以使用省略符号，例如{a，b，c,…，y，z}表示由26个小写英文字母组成的集合．另一种方法是内涵表示法(谓词描述)：这种方法是用谓词来描述集合中元素的性质．上述的集合A和N可以分别表示为A＝{x|x是整数且6xl0}，N＝{x|x是自然数}，一般情况，如果P(x)表示一个谓词，那么就可以用{x|P(x)}或{x:P(x)}表示一个集合.{x|P(x)}是使P(x)为真的所有元素组成的集合．也就是说，若P(a)为真，则a属于该集合；若P(a)为假，则a不属于该集合．在表示式中的|和：是一个分隔符号．在它前向的x是集合中元素的形式名称(如集合A中元素的形式名称是x，但实际名称是7，8，9.常用x，y，z表示形式名称)．在分隔符号后面的P(x)是仅含自由变元x的谓词公式．9．1．3集合的实例例1(外延表示法)B={9，8，8，7}(约束2)，集合B中的两个8应看作B中的同一个元素，所以B中只有三个元素．集合B就是{9，8，7}．它与上述的集合A={7,8,9}是同样的集合，因为元素之间没有次序．例2(内涵表示法)D＝{x|xB}．集合D是用集合B来定义的．若xB，则xD：若xB，则xD．集合D中的元素是除7，8，9外的一切事物．例3(外延表示法，有层次)F={7，{8，{9}}}．集合F和集合B不同。7F，但8F，9F．只有8{8，{9}}和9{9}．集合F仅含有两个元素7和{8，{9}}，这两个元素由表示F的最外层花括号包围，并由逗号分隔开．对于以集合为元素的集合(即有多层花括号的集合)，应注意集合的层次．例4(内涵表示法，递归)G＝{x|x＝1V(y)(yGx={y})}．集合G是用递归方法定义的．这个定义是构造性的，可以由该定义求G的每个元素，从而构造出G．构造G的过程是由1G，有{1}G，由{1}G，有{{1}}G，…这个构造过程是无止境的，因此G的元素有无限多个．例5(内涵表示法)罗素悖论H＝{x|x是一个集合xx}(所有不自吞集合的集合，违反约束4)可用反证法证明集合H是不存在的．假设存在这样的集合H，下面将证明，对某一具体事物y，无法确定y是否属于H．我们以H本身作为这个具体事物y，证明中y就是H.对于集合H，必有yH或yH，下面分别考虑之．(1)若yH．由于y是H的元素,y就具有H中元素的性质yy.考虑到y就是H，所以yH．这与yH矛盾．(2)由于y不是H的元素，y就没有H中元素的性质，因此yy．又因y就是H，则yH．这与yH矛盾．两种情况都存在矛盾，所以yH和yH都不成立，集合H不存在．问题的根源在于，集合论不能研究“所有集合组成的集合”(由子集公理和罗素悖论推出，见定理9.7.5)．这是集合论中的一个悖论，称为Rusell悖论．9．2集合间的关系和特殊集合9．2．1集合间的关系本小节，介绍几种集合关系符，可以用来构造命题(构造集合、命题、复合命题、描述命题关系时，使用符号的优先权问题：集合运算符优于集合关系符优于逻辑联结词优于逻辑关系词，见§9.3.5）在实数之间可以定义关系=、、≤，、≥．类似地，在集合之间可以定义关系符＝、、、、.注意也是集合关系符。1、相等关系：定义9．2．1(＝)两个集合是相等的，当且仅当它们有相同的元素．若两个集合A和B相等，则记作A＝B；若A和B不相等，则记作A≠B，这个定义也可以写成A=B(x)(xAxB)，(注意左边由集合关系符产生命题；右边由逻辑联结词产生复合命题；左右两边命题由逻辑关系词衔接)A≠B(x)﹁(xAxB)．(注意同上)这个定义就是集合论中的外延公理(集合论公理1)，也叫外延原理．它实质上是说“一个集合是由它的元素完全决定的”．因此，可以用不同的表示方法(外延的或内涵的)，用不同的性质、条件和内涵表示同一个集合．例如{7，8，9}，{x|x是整数6x10}，{x|(x-7)(x-8)(x-9)=0}，表示同一个集合，即三个集合相等．2、包含关系：定义9．2．2对任意两个集合A和B，若A的每个元素都是B的元素，就称A为B的子集合，或称B包含A，或称B是A的超集合，记作AB或BA．这个定义也可以写成AB(x)(xA→xB)两命题间的关系．当A不是B的子集合时，即AB不成立时，记作AB(子集合可简称为子集)。注意区分和．例如{a}{{a},b}但{a}{{a}，b}，{a，b}{a，b，{a}}但{a，b}{a，b，{a}}．是集合论的原始符号，这是一个基本概念；是由定义出来的概念．3、下面给出有关=和的两个主要结论，定理9.2.1两个集合相等的充要条件是它们互为子集，即A＝B=(ABBA)．证明A＝B=(x)(xAB)=(x)((xA→xB)(xB→xA))=(x)(xA→xB)(x)(xB→xA)=ABBA．这个定理很重要，以后证明两个集合相等时，主要使用这个定理，判定两个集合互为子集．定理9．2．2对任意的集合A，B和C；(即包含关系为偏序关系)(1)AA．(2)(ABBA)=A=B(3)(ABBC)=AC在这个定理中，(1)是自反性，(2)是反对称性(这是定理9．2．1的一部分)，(3)是传递性．定理9．2．2说明包含关系具有这3个性质(实数间的≤关系也有这3个性质)。应该指出，没有这3个性质。见§9.7.3：(1)以后将证明，对任意的集合A，AA．(2)以后将证明，对任意的集合A和B，﹁(ABBA)．(3)对任意的集合A、B和C，当AB和BC时，不一定有AC．以后将指出，C为传递集合时才能推出AC4、定义9．2．3对任意两个集合A和B，若AB且A≠B，就称A为B的真子集，或称B真包含A，或称B是A的真超集合，记作AB或BA，这个定义也可以写成AB=(ABA≠B)5、定义9．2．4若两个集合A和B没有公共元素，就称A和B是不相交的．这个定义也可以写成A和B不相交=﹁(x)(xAxB)．若A和B不是不相交的，就称A和B是相交的．例如{1，2}{1，2，3}，{1，2}{1，2}，{1，2}和{3，4，5}不相交，{1，2}和{2，3，4}相交。9．2．2特殊集合空集和全集是两个特殊集合．它们的概念简单，但在集合论中的地位却很重要．下面介绍这两个集合．定义9．2．5不含任何元素的集合称为空集(集合论公理2)，记作．空集的定义也可以写成＝{x|x≠x)．显然，(x)(x)为真．下面介绍有关空集的两个重要结论．定理9．2．3对任意的集合A，A．证明假设存在集合A，使A，则存在x，使x且xA．这与空集的定义矛盾，所以定理得证．推论9．2．1空集是唯一的，证明留作思考题(只要假设有两个空集和，，证明＝，即可)，定义9．2．6在给定的问题中，所考虑的所有事物的集合称为全集，记作E.全集的定义也可以写成E＝{x|x＝x}．全集的概念相当于谓词逻辑的论域．对不同的问题，往往使用不同的论域，例如在研究有关实数的问题时，就以R为全集．9．3集合的运算运算是数学上常用的手段．两个实数进行加法运算可以得到一个新的实数．类似地，两个集合也可以进行运算，得到交集、并集等新的集合．集合的运算是由已知集合构造新集合的一种方法．这类似于用逻辑联结词构造出大量合式公式．集合的运算式子是表示集合的第三种方法。这种表示方法不仅简捷，而且可利用运算的性质简化一些证明问题．本小节，介绍几种集合运算符，可以用来构造集合。9．3．1集合的基本运算下面介绍的5种运算是集合论中的基本运算，定义9．3．1对集合A和B，(1)并集AUB定义为AUB＝{x|xAVxB}，(2)交集AB定义为AB={x|xAxB}．(3)差集(又称B对A的相对补集，补集)A-B定义为A-B＝{x|xAxB}．(4)余集(又称A的绝对补集)-A定义为(一元运算符)-A=E-A＝{x|xA}，(其中E为全集．A的余集就是A对E的相对补集．)(5)对称差AB定义为AB＝(A－B)U(B－A)＝{x|xAxB}．(参考p10)V例1已知集合A，B和全集E为A＝{a，b，c，d}，B＝{e,f，a,d}，E＝{a，b，c，d，e，f，g}，则有AUB＝{a，b，c，d，e，f}＝BUA，AB＝{a，d}＝BA，A－B＝{b，c}，B－A＝{e，f}，一A＝{e，f，g}，－B＝{b,c，g)，AB＝{b，c，e，f}=BA．并集AUB中的元素是A和B中所有的元素，公共元素只出现一次．交集AB中的元素是A和B占所有的公共元素．差集A－B中的元素是在A中但不在B中的那些元素，余集－A中的元素是在全集中但不在A中的那些元素．对称差AB中的元素即由A－B的元素和B－A的元素组成．9．3．2广义并和广义交广义并和广义交是一元运算，是对一个集合的集合A进行的运算．它们分别求A中所有元素的并和交，A中可以有任意多个元素，它们就可以求任意个元素的并和交．A中若有无限多个元素，它们就可以求无限多个元素的并和交．广义并和广义交是并集和交集的推广．定义9．3．2若集合A的元素都是集合(集合论公理体系的一个基本思想是把所有元素都描述为集合)，则把A的所有元素的元素组成的集合