ClebchGordan系数

Clebsch–Gordan系数mjjj,,,|21=mjjjmjmjCjjjmmm,,,|,,,2122112121无耦合表象耦合表象2211,,,|mjmj转动算符的矩阵元′=′jmQDmjQDjmm|)(ˆ|)(kmmkmmjkkmmjmmmkjkmmkkmjmjmjmjmjD2220)i(2sin2cos)!(!)!()!()!()!()!()!()1(e)(+−′−′−+=+′−′×′−−′+−−+′−′+−+−⋅=∑ββαβγγαD矩阵与球函数的关系),(Y12π4)0(*0ϕθϕθlmlmlD+=群)2(SU⋅⋅⋅−⋅=−−βγγβααααiiiiecosesinesinecosU−+−=⋅=zyxyxzrhiiˆσrrh⋅=σˆ用U对h为做幺正变换1−=′UhUh1)ˆ(−⋅=UrUσ对应于三维空间的点),,(zyxr′′′=′)det()det(1−=′UhUh)det(h=222222zyxzyx++=′+′+′正交变换将对应的群元记为)(UQrUQr)(=′rUQrh)(ˆˆ⋅=′⋅=′σσ另12121)()(−UUhUU111221)ˆ(−−⋅=UUrUUσ()1121)(ˆ−⋅=UrUQUσrUQUQ)()(ˆ21⋅=σrUUQ)(ˆ21⋅=σ)3(SO与同态)2(SU同构吗？的群元U与的一个群元对应)ˆ(DQ或)3(SO)2(SUrzyxyxz′⋅=′−′+′′−′′=σˆii零迹、厄米性在幺正变换下不变rQr=′rUQUhUh)(ˆ1⋅==′−σrUQUhUUhU)(ˆ)()(11⋅==−−−−σU与-U对应于同一个Q，或者)()(UQUQ−=2对1是否还有更多？设和对应同一个1U2Uh′122111)ˆ()ˆ(−−⋅=⋅UrUUrUσσ1211112)ˆ()ˆ(−−−⋅=⋅UrUrUUσσ()()112112)ˆ()ˆ(UUrrUU−−⋅=⋅σσ−+−=⋅zyxyxzriiˆσ零迹矩阵22×112UU−与所有零迹矩阵对易22×112UU−是幺模矩阵1112±=−UU21UU±=例：设=−2i2ie00e)(αααU则：）（αα1)(−=′hUUh−+−=−−2i2i2i2ie00eiie00eααααzyxyxz−+−=−−−2i2i2i2i2i2ie00eee)i(e)i(eααααααzyxyxz−+−=−zyxyxzααiie)i(e)i(=′+=′+′−=′−′−zzyxyxyxyxααiie)i(ie)i(i=′+=′−=′zzyxyyxxααααcossinsincos′−′+′′−′′=zyxyxzii=′+=′−=′zzyxyyxxααααcossinsincos=−2i2ie00e)(αααU)()(3eQUQα=−=1000cossin0sincosαααα绕轴转zαπ2+=′→ααα)()(33eQeQαα′=但：)()π2()(αααUUU−=+=′2对1例：设−=2cos2sin2sin2cos)(βββββU−==βββββcos0sin010sin0cos)()(2eQUQ二维复矢量空间的表示同构的群有相同的表示2对1扩大的转动群与群的覆盖群同构态)3(SO)2(SU与同态)3(SO)2(SU群是无限维的连续群，绕不同轴转过相同角度的所有转动都形成一类。（不同轴可通过转动转到同一方向上），因此有无限多不可约表示。)3(SO)3(SO作业：对转动求对应的群元)2(SU)(αβγU)()()()(kQjQkQQγβααβγ=二、群的不可约表示)2(SU显然：是的一个忠实表示−=**abbaU)2(SUπ4~0π2~0→()−=**21abbaξξn+1个n次单项式的线性组合可取为n+1维空间的基矢U是幺正矩阵，以之做变换一组新的基矢建立一个二维复矢量空间，其基矢()21,ξξ()n21ξξ+考虑∑=−=nkknkknC021ξξn+1个knk−21ξξ线性无关一维10201=ξξ}1{二维}{21ξξ，三维{}222121,,ξξξξ()()U2121ξξξξ=′′()2*12*1ξξξξabba+−=是群在此空间的表示−=**abbaU)2(SU显然，n+1维不变子空间)!()!(),(2121mjmjfmjmjjm−+⋅=−+ξξξξn+1=2j+1维复矢量空间基矢的标准形式jjjjm,1,,0,,1,−+−−=∑∑−=−+−=−+⋅=jjmmjmjjjmjmmjmjf)!()!(2212ξξ()jj22221||||)!2(1ξξ+=SU(2)变换下，2j+1维复矢量空间的不变量222120!)!2(1kjkjkkkj−=⋅⋅−=∑ξξ∑==jkj20)!2(1()kjkjkk−−⋅2*222*11）（ξξξξkjC2()()∑=−⋅=jkkjkkjCj20222212||||)!2(1ξξjmk+=三、转动算符的矩阵表示∑−=′′=jjjmjmjmjmfcffUDfααα|||)(ˆ|∑−=′=jjjjmmffcααα|mmjmmcUD′′=)(D矩阵、D函数、Wigner函数群的2j+1维表示的矩阵元)2(SUmmc′=∑−=′′′=jjmjmjmmjmfDfUD),(),()(ˆ2121ξξξξ∑−==jjjmjmfcfUDααα||)(ˆ)(ˆ)(ˆnDQDϕ=)(ˆeˆiUDJn==⋅ϕ)!()!(),(2121mjmjfmjmjjm−+⋅=−+ξξξξ()())!()!()!()!(),()(ˆ2*12*12121mjmjabbamjmjfUDmjmjmjmjjm−++⋅−=−+′⋅′=−+−+ξξξξξξξξ()()∑+=−+++−=mjkkkmjkmjmjbaC02*1)!(ξξ()()∑−=′′′−−′−−⋅mjkkkmjkmjmjabC02*1)!(ξξ()()()()kkkkjkkmjkkmjmjkmjkkbbaakkkmjkmjmjmj′+′−−′−−′−++=−=′⋅×′′−−−+−+−=∑∑221**00!!)!()!()!()!()1(ξξ∑−=′′′=jjmjmjmmjmfDfUD),(),()(ˆ2121ξξξξ()()()−==′′**212121abbaUξξξξξξ()2*12*1ξξξξabba+−=()()()()mjmjkmmkmkjkmjmjkkmkjmkjmbbaamkjkmmkkmjmjmjfUD′−′+′+−′−−−++=−−=′⋅×′−−′+−−+−+−=∑∑21**021)!(!)!()!()!()!()1(),()(ˆξξξξ∑−=′′′=jjmjmjmmjmfDfUD),(),()(ˆ2121ξξξξ)!()!(),(2121mjmjfmjmjjm−+⋅=−+ξξξξmjkk′−=′+设则mjkkj′+=′−−2()()()()mjmjkmmkmkjkmjjjmmjkkbbaamkjkmmkkmjmjmj′−′+′+−′−−−+−=′+=⋅×′−−′+−−+−+−=∑∑21**0)!(!)!()!()!()!()1(ξξ()()()()kkkkjkkmjkkmjmjkmjkkjmbbaakkkmjkmjmjmjfUD′+′−−′−−′−++=−=′⋅×′′−−−+−+−=∑∑221**0021!!)!()!()!()!()1(),()(ˆξξξξ()()()()mjmjkmmkmkjkmjmjkkjkmmkbbaamkjkmmkkmjmjmj′−′+′+−′−−−++=−−=′⋅×′−−′+−−+−+−=∑∑21**0)!(!)!()!()!()!()1(ξξ()()()()mjmjkmmkmkjkmjjjmmjkkjmbbaamkjkmmkkmjmjmjfUD′−′+′+−′−−−+−=′+=⋅×′−−′+−−+−+−=∑∑21**021)!(!)!()!()!()!()1(),()(ˆξξξξ∑−=′′′=jjmjmjmmjmfDfUD),(),()(ˆ2121ξξξξ)!()!(),(2121mjmjfmjmjjm−+⋅=−+ξξξξ()()),()!(!)!()!()!()!()!()!()1(),()(ˆ21**021ξξξξjmkmmkmkjkmjjjmkkjmfbbaamkjkmmkkmjmjmjmjmjfUD′′+−′−−−+−=′=⋅×′−−′+−−+′−′+−+−=∑∑群的2j+1维表示的一般形式)2(SU()()kmmkmkjkmjkkjmmbbaamkjkmmkkmjmjmjmjmjD**0)!(!)!()!()!()!()!()!()1(′+−′−−−+=′×′−−′+−−+′−′+−+−=∑,2,23,1,21,0=jjjjjm,1,,0,,1,−+−−=所有整数维表示kmmkmmjkkmmjmmmkjkmmkkmjmjmjmjmjUD2220)i(2sin2cos)!(!)!()!()!()!()!()!()1(e)(+−′−′−+=+′−′×′−−′+−−+′−′+−+−⋅=∑ββγα()()kmmkmkjkmjkkjmmbbaamkjkmmkkmjmjmjmjmjUD**0)!(!)!()!()!()!()!()!()1()(′+−′−−−+=′×′−−′+−−+′−′+−+−=∑−=−=+−−−+−2cose2sine2sine2cose)()(2i)(2i)(2i)(2i**ββββγαγαγαγαabbaQU取)(αβγjmmD′=与前面利用角动量求得的结果完全一致)()1()(2UDUDjmmjjmm−−=′′j为奇数是时，双值表示0=m1000=DIUD=)(ˆ2j+1=1维表示100=f)!()!(),(2121mjmjfmjmjjm−+⋅=−+ξξξξ例：0=j（1）2j+1=2维表示21=j（2）21=m1212121),(ξξξ=f,21−=m2212121),(ξξξ=−f,;aD=2121210=k；bD=−2121212121==′mm；*212121bD−=−−2121−==′mm；0=k；2121=−=′mm；1=k；*212121aD=−−2121−=−=′mm；0=k；()()kmmkmkjkmjkkjmmbbaamkjkmmkkmjmjmjmjmjD**0)!(!)!()!()!()!()!()!()1(′+−′−−−+=′×′−−′+−−+′−′+−+−=∑−=**21ˆabbaDU=2j+1=3维表示1=j（3）1=m21211121),(ξξξ=f0=kabD2110=11==′mm；2111bD=−01==′mm；0=k11−==′mm；0=k*1012abD−=10==′mm；1=k0=m212110),(ξξξξ=f1−=m22211121),(ξξξ=−f()()kmmkmkjkmjkkjmmbbaamkjkmmkkmjmjmjmjmjD**0)!(!)!()!()!()!()!()!()1(′+−′−−−+=′×′−−′+−−+′−′+−+−=∑)!()!(),(2121mjmjfmjmjjm−+⋅=−+ξξξξ2111aD=**100bbaaD−=00==′mm；1,0=kbaD*1102=−10−==′mm；0=k−−−=2***2****221)(2)(222ˆababbabbaaabbabaD四、D矩阵与CG