不可约张量

§5不可约张量一、张量算符三维空间的n阶直角张量（笛卡尔张量）：个分量，转动变换中按一定规则变化。n3零阶张量、标量SˆSnDSnDSˆ)(ˆˆ)(ˆˆ†==′ϕϕ0]ˆ,ˆ[=JS一阶张量、矢量AˆAQnDAnDAˆ)(ˆˆ)(ˆˆ1†−==′ϕϕ3个分量∑=′αααAQAiiˆˆ二阶张量、并矢Fˆ9个分量∑⊗=′2121212121)(jjjjiijjiiQQFF张量的阶数越高，空间转动下变换规律越复杂！二阶张量Fˆ9个分量∑⊗=′2121212121)(jjjjiijjiiQQFF22211121jijjjijjQQF∑=可以看出332211FFFFiii++=∑矩阵的迹，不变量零阶张量（标量）的变换方式−−−211213313223TTTTTT一阶张量（矢量）的变换方式可想象并矢BATˆˆˆ=高阶张量的一些分量的变换方式与低阶张量的变换方式相同是否还有更好的分类方式？二、不可约张量算符球面张量算符定义：阶不可约张量算符是由个分量（算符）构成的，其中。而在空间转动变换下，按下面规律变换：µλTˆλ12+λλλλλµ,1,,1,−+−−=µλTˆ∑−===′λλγλγλγµλµλµTDQDTQDTˆ)(ˆˆ)(ˆˆ†∑−==jjnjnmjnDjmQD||)(ˆ的共同本征态zJJˆˆ2、jm|相同对给定的j，2j+1个构成了一个j阶不可约张量jm|零阶不可约张量只有一个分量0000000ˆ)(ˆˆTQDT=′00ˆT=)(cosP)(00θϕθψllD=零阶不可约张量也就是零阶直角张量、标量ϕθi11esinπ83⋅−=Y)ˆiˆ(π83ˆ11ryrxT+−=θcosπ4310=Yϕθi11esinπ83−−⋅=Y由球函数构成的一阶不可约张量)(ˆˆ)(ˆˆ†QDTQDTλµλµ=′对无穷小转动JnnDˆdi1)d(ˆ⋅−=ϕϕ)ˆdi1(ˆ)ˆdi1(JnTJn⋅+⋅−=ϕϕλµ]ˆ,ˆ[diˆλµλµϕTJnT⋅−=′=′λµµλλµµ|ˆ|DD⋅−′=λµϕµλ|ˆdi1|Jn′⋅−=′λµµλϕδµµ|ˆ|diJnrzTˆπ43ˆ10=)ˆiˆ(π83ˆ11ryrxT−=−ϕθϕθθϕsinsincossinesinii+=⋅∑−=′′′==′λλµµλλµµλµλµTDQDTQDTˆ)(ˆˆ)(ˆˆ†]ˆ,ˆ[diˆˆλµλµλµϕTJnTT⋅−=′′⋅−=′′λµµλϕδµµλµµ|ˆ|diJnDµλλλµλµλµµλϕ′−=′∑′⋅−=TJnTˆ|ˆ|diˆJnJnˆˆ⋅=∑−=′′′=λλµµλλµλµµλ|ˆ|ˆ]ˆ,ˆ[nnJTTJ∑−=′′′=λλµµλλµλµµλ|ˆ|ˆ]ˆ,ˆ[zzJTTJ∑−=′′′=λλµµλλµµλµ|ˆTλµµTˆ=∑−=′′±±′+±=λλµµλλµµλµλµλµλ1,|ˆ)1)((]ˆ,ˆ[TTJ1,ˆ)1)((±+±=µλµλµλT对于一阶直角张量（矢量）算符)ˆ,ˆ,ˆ(ˆzyxAAAA=不可约张量的Racha定义λµλµµTTJzˆ]ˆ,ˆ[=1,ˆ)1)((]ˆ,ˆ[±±+±=µλλµµλµλTTJ定义)ˆiˆ(21ˆ11yxAAT+−=zATˆˆ10=)ˆiˆ(21ˆ11yxAAT−=−+−=Aˆ21−=Aˆ21符合Racha定义，一阶不可约张量（直角）标量、矢量算符都是不可约张量每一个矢量算符都与一个一阶不可约张量对应，反之亦然。一阶不可约张量算符亦直接称为矢量算符与直角张量不同，高阶不可约张量算符的分量不可能通过线性组合给出低阶不可约张量算符的分量。对于二阶直角张量算符FFBAijˆ}ˆ{ˆˆ==∑−=iiiBATˆˆ31ˆ00jiijBAFˆˆˆ=并矢()321321ˆˆˆBBBAAABAF=⊗=可约化为三类不可约张量算符：BAˆˆ31⋅−=零阶张量、标量()()[]3113233211ˆˆˆˆiˆˆˆˆ2iˆBABABABAT−+−−=λµλµµTTJzˆ]ˆ,ˆ[=γαβγβαεAAJˆi]ˆ,ˆ[=×+×−=yxBABA)ˆˆ(i)ˆˆ(2izBAT)ˆˆ(2iˆ10×=×−×−=−yxBABAT)ˆˆ(i)ˆˆ(2iˆ11一阶张量、矢量++=BATˆˆ21ˆ22)ˆˆˆˆ(21ˆ21+++=BABATzz)ˆˆˆˆ3(61ˆ20BABATzz⋅−=)ˆˆˆˆ(21ˆ12−−−+=BABATzz−−−=BATˆˆ21ˆ22二阶不可约张量可类比球函数加以理解m2Y实际上BAFˆˆˆ⊗=张成了一个9维空间jiijBAFˆˆˆ=的转动矩阵是SO(3)群的一个9维表示Fˆ11ˆˆˆDDD⊗=210ˆˆDDD⊕⊕=约化为一个零阶、一个一阶、一个二阶不可约张量的直和对于三阶直角张量算符2733=个分量其转动矩阵是SO(3)群的一个27维表示111ˆˆˆˆDDDD⊗⊗=()1210ˆˆˆDDDD⊗⊕⊕=()()()121110ˆˆˆˆˆˆDDDDDD⊗⊕⊗⊕⊗=()()3212101ˆˆˆˆˆˆˆDDDDDDD⊕⊕⊕⊕⊕⊕=3210ˆˆ2ˆ3ˆDDDD⊕⊕⊕=三、Wiger-Eckart（魏格纳-艾卡）定理不可约张量算符在角动量本征态上矩阵元′⋅=′′′′jTjCjmTmjjmjm||ˆ|||ˆ|λλµλµ其中∑′′′+′′′′′′′+′=′µµµλλµλδnnnnjnjnjnTnjCjjTj,|ˆ|121||ˆ||约化矩阵元′⋅=′′′′jTjCjmTmjjmjm||ˆ|||ˆ|λλµλµ证明：′′=′′jmDDTDDmjjmTmj|ˆˆˆˆˆ||ˆ|††λµλµ′′=′′∑′′′jmDTDDmjjmTmj|ˆˆˆˆ||ˆ|†µµλλµµλµ∑′′′==′µµλλµµλµλµTDQDTQDTˆ)(ˆˆ)(ˆˆ†∑−==jjnjnmjnDjmQD||)(ˆ∑∑∑′′=′′′′′′′njnmnjmnjnDTDDnj|ˆ|*µµλλµµ∑′′′′′′′′′=µµλλµµnnjnmjmnjnTnjDDD|ˆ|*∑∑∑′′′+−=′′′′′′′′′=′′µµλλλλµλµλµnnjjJMMjJMmJMMjMJnjmnjnTnjCDCDjmTmj|ˆ||ˆ|||*∑∑+−=′′′′′′′=212121212121222111||jjjjjmmjjjmmmjmmjjmjmmjmmjmmCDCDDµµ+=′+=′mMnM,∑∑′′′+−=′′′′′′′′=′′µµλλλλµλµλµnnjjJjJMmJMMjMJnjmnjnTnjCDCDjmTmj|ˆ||ˆ|||*′′⋅⋅′′=′′′+−=′′′′∑∑jnTnjjmJMjDMJjjnDnnjjJJMMjmn|ˆ|||||*µλµλλλµλλµλ上式两边对欧拉角积分)(αβγjmmjmmDD′′=′′=′′∫jmTmjjmTmj|ˆ|π8dddsin|ˆ|2λµλµγβαβ∫∑∑′′′+−=′′′′′′′′µµλλλλµλµγβαβnnjjJjJMmJMMjMJnjmnjnTnjCDCDdddsin|ˆ|||*()∑∑∫′′′′′′′′′′′=µµλλµλµγβαβnnJjJMmjMJnJMMjmnjnTnjCCDD|ˆ|dddsin*()21212122211112π8d)()(12*mmmmjjjmmjmmjΩDDδδδαβγαβγ′′′′+=⋅∫∑∑′′′′′′′′′′′+′=µµλλµλµδδδnnJjJMmjMJnMmMnJjjnTnjCCj|ˆ|12π82∑′′′′′′′′′′′′+′=µµλλµλµδδnnjMjmjMjnMmMnjnTnjCCj|ˆ|12π82∫∑∑′′′+−=′′′′′′′′µµλλλλµλµγβαβnnjjJjJMmJMMjMJnjmnjnTnjCDCDdddsin|ˆ|||*∑′′′′′′′′′′′′+′=µµλλµλµδnnjmjmjnjnMnjnTnjCCj|ˆ|12π82′′=′′∫jmTmjjmTmj|ˆ|π8dddsin|ˆ|2λµλµγβαβ∑′′′′′′′′′′′′+′=′′µµλλµλµλµδnnjmjmjnjnMnjnTnjCCjjmTmj|ˆ|121|ˆ|∑′′′′′′′+′′′′′+′=µµλλµµλµδnnjnjnnnjmjmjnTnjCjC|ˆ|121,′⋅=′′′′jTjCjmTmjjmjm||ˆ|||ˆ|λλµλµ∑′′′+′′′′′′′+′=′µµµλλµλδnnnnjnjnjnTnjCjjTj,|ˆ|121||ˆ||与磁量子数无关，与转动无关µ,,mm′只与对称性有关，“几何部分”与物理过程性有关，“物理部分”′⋅=′′′′jTjCjmTmjjmjm||ˆ|||ˆ|λλµλµ′′′′jmBmjjmAmj|ˆ||ˆ|λµλµ对两同阶不可约张量′⋅′⋅=′′′′jBjCjAjCjmjmjmjm||ˆ||||ˆ||λλµλλµ′′=jBjjAj||ˆ||||ˆ||λλ与系统转动无关可利用角动量简化计算Jˆ对矢量算符Aˆ∑′′⋅′=⋅mjmJmjmjAjmjmJAjm|ˆ||ˆ||ˆˆ|∑′′⋅′′′=mjmJmjmjJjmmjJjmmjAjm|ˆ||ˆ||ˆ||ˆ|∑′′⋅′=mjmJmjmjJjmjJjjAj|ˆ||ˆ|||ˆ||||ˆ||2)1(||ˆ||||ˆ||+=jjjJjjAj2)1(|ˆ||ˆ|+′′=jjmjJjmmjAjm′+⋅=′mjJjmjjjmJAjmmjAjm|ˆ|)1(|ˆˆ||ˆ|2原子的磁矩SgLgMSLˆˆˆ+=JgJˆ=)ˆˆ()ˆˆ(ˆˆSLSgLgJMSL+⋅+=⋅SLggSgLgSLSLˆˆ)(ˆˆ22⋅+++=)ˆˆˆ)((21ˆˆ22222SLJggSgLgSLSL−−+++=)ˆˆ)((21ˆ)(21222SLggJggSLSL−−++=′+⋅=′mlsjJlsjmjjlsjmJMlsjmmlsjMlsjm|ˆ|)1(|ˆˆ||ˆ|2′++−+−+++=mlsjJlsjmjjssllggjjggSLSL|ˆ|)1()]1()1()[(21)1()(21)1(2)1()1()[()(21++−+−++=jjssllgggggSLSLL朗德因子的计算四、选择定则零阶不可约张量′⋅=′′′′jTjCjmTmjjmjm||ˆ|||ˆ|λλµλµ跃迁矩阵元不等于零，至少0≠′′λµjmjmCµ+=′mm0|ˆ|00≠′′jmTmjλ、j与满足三角形法则j′0=−′=∆jjj0=−′=∆mmm一阶不可约张量（矢量）0|ˆ|1≠′′jmTmjµ1,0±=∆j1,0±=∆mmm−′=µ1≥′+jj二阶不可约张量0|ˆ|2≠′′jmTmjµ2,1,0±±=∆j2,1,0±±=∆mmm−′=µ2≥′+jj§6时间平移与时间反演一、时间平移τ+==′tQttτ−=−ttQ1tD∂∂−=ττe)(ˆ若系统时间平移不变0]ˆ,ˆ[=DH系统的能量守恒0]e,ˆ[=∂∂−tHτ0ˆ=∂∂tH)i(iet∂∂=τ注意与时间演化算符的差别),()(ˆ),(trDtrϕτϕ=′),(),(1τϕϕ−==−trtQr二、时间反演时间反演不变性也称运动的可逆性tt−→ptrp−→=ddrr→初态),(ffpr−返回tt−=0=t不是时间倒流！),(iipr初态经