物理学中的群论

物理学中的群论绪论1.1群的定义1.2子群和陪集1.3共轭元和类1.4正规子群和商群1.5同构、同态和直积群绪论群论的主要研究内容——对称性日常生活中说的对称性，是指物体各部分之间的比例适当、平衡、协调一致，从而产生一种简单性和的美感。这种美来源于几何对称性，来源于群体与个体的有机结合。1.生物学中的对称性2.建筑艺术中的对称性3.文学艺术中的对称性雾窗寒对遥天幕幕天遥对寒窗雾花落正啼鸦鸦啼正落花袖罗垂影瘦瘦影垂罗袖风剪一丝红红丝一剪风落霞与孤鹜齐飞秋水共长天一色王勃《滕王阁序》无边落木萧萧下不尽长江滚滚来杜甫《登高》4.物理学中的对称性物理学中的对称性是物质结构的对称性以及物理定律的内在对称性。物质结构对称性，如下面某结构，若不考虑其分子平面的对称性，可将其看成具有正三角形的对称性。如右图所示的正三角形，绕A,B,C轴旋转180度，及绕Z轴转120度和240度构成了其所有对称操作，形成的群称为D3群。Noether定理：一个物理系统，每具有一种对称性，就相应的有一种守恒量。比如说，三维空间的平移对称性对应了动量守恒，旋转对称性对应了较动量守恒，等等。群论主要用来研究这种物理体系的对称性。物理定律的对称性指系统的运动方程在某种变换下的不变性，如运动方程在某种变换的不变性和时空结构的对称性。1空间平移不变性2转动不变性3时间平移对称4时空结构对称性不可观测量物理定律变换不变性守恒定律适用范围时间绝对值时间平移能量守恒完全空间绝对位置空间平移动量守恒完全空间绝对方向空间旋转角动量守恒完全空间左和右镜象反射宇称守恒弱作用中破缺绝对惯性系伽利略变换时空绝对性vc近似成立洛仑兹变换时空四维空间完全动量、能量四维矢量完全带电粒子与中性粒子的相对相位电荷规范变换电荷守恒完全重子与其它粒子的相对相位重子规范变换重子数守恒完全轻子与其它粒子的相对相位轻子规范变换轻子数守恒完全粒子与反粒子电荷共轭电荷、宇称守恒弱作用中破缺Noether定理：一个物理系统，每具有一种对称性，就相应的有一种守恒量。7群论有近二百年历史，是代数学的一个分支。群论的主要来源是代数方程、数论和几何学。群论由伽罗瓦（Galois）创立，最初应用在几何学和分析学等数学学科。量子力学诞生后，要求对对称性进行深入研究，美籍匈牙利物理学家E.P.Wigner（1902－1995）将群论引入量子力学，从而使群论在物理学、化学等其他学科得到迅速发展，其影响一直持续到今天。参考书目①徐婉棠，喀兴林，《群论及其在固体物理中的应用》，高等教育出版社，1999.②丁培柱，王毅，《群及其表示》，高等教育出版社，1990.③马中骐，《物理学中的群论》(第二版)，科学出版社，2006.④J.P.Elloitt,SymmetryinPhysics,Vol.Ⅰ,London:Macmillan,1979.⑤张瑞明，钟志成，《应用群论导引》，华中科技大学出版社，2001。⑥韩其智，孙洪洲，《群论》，北京大学出版社，1987。⑦王萼芳，《有限群论基础》，清华大学出版社，2002。8第一章群的基本概念§1.1群（group）一、定义元素集合{A、B、C、…}存在一个与次序有关的运算方法(群乘)使得任意两个元A,B得出确定的元C(记为AB=C)，若满足下列四个条件，则称此集合为群。(1)封闭性：A,BG，AB=CG；(2)结合律：(AB)C=A(BC);(3)存在单位元：AE=EA=A;(4)存在逆元：A-1A=AA-1=E.一般用G表示群，集合中的元素称为群元。由群的定义可以得到如下几个性质：E-1=E;(A-1)-1=A;(AB)-1=B-1A-1;An;A-n=(A-1)n=(An)-1根据群的阶，可以将群进行分为群有限群(元素有限)无限群分立群(间断群：元素可以排序)连续群(元素无法排序，连续分布)一般说来，群的乘法不满足交换律，即：ABBA.如果群元素的乘法满足交换律，即：AB=BA.则该群称为交换群/阿贝尔群。二、群的例子①所有整数的集合（群乘：数的加法）构成群。[单位元：0,n+(–n)=0,–n是逆元。]②所有整数的集合（群乘：数的乘法）不构成群。无逆元。③所有实数的集合（群乘：数的乘法）不构成群。元素0无逆元。推论：不含零的实数在数的乘法运算下构成群。11推论：非奇异方阵的集合在矩阵乘法下构成群。⑤在乘法下构成群。单位元是1；逆元是自身。1,1在乘法下构成群。加法下不构成群。1ii,,1,1在乘法下构成群。单位元是1；逆元是？12④n一定时，n×n阶矩阵A的集合（矩阵乘法）不构成群。因为只有detA≠0的矩阵有逆矩阵。⑥行列式是正负1的三阶方阵（d3群）及2阶矩阵1000101000101000010010010100010010100101000011000101001010==0101EABCDFEA13223122131313222222313131222222BCDFEABCDFEEABCDFAAEDFBCBBFEDCACCDFEABDDCABFEFFBCAED乘法表左乘因子右乘因子例如：正三角形，绕中心轴旋转120°，其空间位置不变，该操作就是正三角形的一个对称操作。三、对称操作群3.1对称操作使物质体系所占空间位置不变的空间变换，称为该体系的对称操作。3.3对称操作群某一物质体系（几何实体）的所有对称操作构成的集合，称为该体系的对称操作群。对称操作的乘法定义为相继操作。143.2对称元素施行某一对称操作所凭借的点、线、面等几何元素称为对称要素，或对称元素。15（1）使正三角形自身重合的操作（D3群）：对称元素：对称轴一个3重轴，三个2重轴不动操作，记为e绕1,2,3轴转动π角度的操作，记为绕z轴逆时针转动2π/3角度的操作，记为绕z轴逆时针转动4π/3角度的操作，记为222CCC，，O1232C2C2Cxy正三角形所有对称操作的集合222233,,,,,ccccce23C3C3De3c23c2c2c2cee3c23c2c2c2c3c3c23ce2c2c2c23c23ce3c2c2c2c2c2c2c2ce3c23c2c2c2c2c23ce3c2c2c2c2c3c23ce16乘法表集合满足封闭性、结合律，有单位元，存在逆元，此集合构成群，称为D3群，是非Abel群。322232CCCCCC17（2）使正三角形自身重合的操作（C3v群）：对称元素：一个3重轴，z轴；三个镜面不动操作，记为e绕1,2,3镜面做镜面反射的操作，记为绕z轴逆时针转动2π/3角度的操作，记为绕z轴逆时针转动4π/3角度的操作，记为O123123xy正三角形所有对称操作的集合321233,,,,,cce1323CC3C321,,作业1：写出C3v群的乘法表，判断是否是Abel群。yvux1234C4v群vuyxmmccce,,,,,,,34244（3）使正方形自身重合的操作（C4v群）四、重排定理(Rearrangementtheorem)表述一：在群的乘法表的任一行和任一列中，群的任一元素都要出现，且只出现一次。20表述二：群G乘以群中任意一个元素结果仍然是群G，即GGXXGGX,)2(,...,,,)1(,...,,,3232kgkkkkgkkkkkAAAAAAAGAAAAAAAAGAgAAAEG,...,,,32g阶群取任意群元Ak左乘右乘群G群中的每一个元都出现在（1）和（2），且只出现一次。低阶群的可能群表21eaeeaaae(左因子)二阶群的群表二阶群表仅有一种形式！22eabeeabaabebbea四阶群表有二种形式！三阶群的群表eabceeabcaabcebbceacceab（一）eabceeabcaaecbbbceaccbae（二）四阶群的群表三阶群表仅有一种形式。三阶群是循环群，也是Abel群。※字母为红色处只有b、e两种选择。若为c，与为b时等价。ebaaaaabaaa32,由某一个群元的幂产生的群称为循环群，循环群一定是Abel群。23举例：群中，为3阶元为2阶元233,cc3D2c※有限群的群元自乘若干次后必等于单位元。(有限群的普遍性质，可由群乘表看出)群元的阶(有限群，但不一定是循环群)，必有，若，则是阶的元素，称为群元的阶。GaGaaan,,,32)(,nkeaeaknann五、群元的阶和群的生成元24生成元如果群的一个最小的群元集合及乘法关系可以构造出整个群，即确定乘法表，则称最小的群元集合为群的生成元，彼此间的关系称为生成关系。1000101000101000010010010100010010100101000011000101001010==0101EABCDFEA13223122131313222222313131222222BCDFd3EABCDFEEABCDFAAEDFBCBBFEDCACCDFEABDDCABFEFFBCAED例1：d3群，群元D和A可以生成整个乘法表，因为AA=E,AD=B,DA=C,DD=F3De3c23c2c2c2cee3c23c2c2c2c3c3c23ce2c2c2c23c23ce3c2c2c2c2c2c2c2ce3c23c2c2c2c2c23ce3c2c2c2c2c3c23ce25例2：D3群，由，生成。3c2c223323322232eCCCCCCCCCCC1.2子群(Subgroup)和陪集群G有子集S，若S按群G的乘法运算也满足群的定义，则S为G的子群。例1.整数加法群为群G，则所有偶数在加法下构成G的子群。26例2.D3群中，为D3群的子群；也为D3群的子群。233,,cce2,ce2,ce2,ce2233,,,ccce是否是D3的子群？1、子群对任意一个群，群元e和群本身均是其子群，除此两子群外的其他子群称为真子群。而e和群本身则称为平庸子群(显然子群)。任何一个群都有两个平庸子群。272陪集28如果，则，不是陪集。SXSSX定义：若S是G的一个子群，G中任取一元素X，则有，称该集合为子群关于X的一个左陪集。称为子群关于X的右陪集。SXXS性质：（1）陪集不是群。（2）每一个陪集和子群无公共元素（3）群G中的所有元必然存在于某一子群及其所有右陪集中（4）右陪集中不存在相同的元素（或者子群与陪集元素数目相同）29例：正三角形对称操作——D3群222233,,,,,ccccceD3群的一个子群，关于的右陪集233,,cce222,,ccc222,,ccc306.3陪集分解把群G按子群G1及其陪集ajG1瓜分(aj∈(G\G1))，则有这称作群按子群的陪集分解。陪集分解还可写作D3群：子群C3，D3群按陪集分解为或者等2333,,cceC3233CcCD323CcCiiGaG11112111GaGaGaGGn陪集中的任何一个元都可以做陪集代表元。3