相干态表象

==−∞=−∑0|ee|!e|†22ˆ||210||21azznnznnzz!)(e!||e||22||22nnnzcnnzn−−==∑==0||nnncz2)cos||2(212eπ|ϕξµωξ⋅⋅−−=zz相干态都是最小不确定态；不同z值的相干态一般不正交；有限个相干态是线性无关的；全部相干态是线性相关的、但构成完备系。βααββα*22||21||21e|+−−==zzza||ˆ相干态表象{}z|=∑∞=−ψψ|!)(e|0*||212nnzznnz′′⋅′=′∑∞=′′′−−nAnnnzzzAznnnnzz|ˆ|!!)()(ee|ˆ|0,*||21||2122*†*ˆ)2(ˆzazza=∂∂+=四、压缩态1.位移算符=−0|ee|†2ˆ||21azzz=−−0|eeeˆˆ||21*†2azazz=−0|eˆˆ*†azazazazzDˆˆ*†e)(ˆ−=设=0|)(ˆ|zDz则2*†||]ˆ,ˆ[zazaz=−⇒z|0|azazzDˆˆ*†e)(ˆ−=复平面上的位移算符)(ˆ)(ˆ)(ˆ1†zDzDzD−==−幺正算符azazzDˆˆ*†e)(ˆ−=位移算符相干态的三个等价定义：（1）湮灭算符的本征态aˆ（2）最小不确定度态（3）从谐振子基态经平移后得到的态0|)(ˆzD)(ˆˆ)(ˆˆ†zDazDa=′†*†ˆˆ*ˆˆeˆeazazazaza−−=]ˆ,ˆ[!1eˆe)(0ˆˆBAiBiiAA∑∞=−=]ˆ,ˆ[21ˆˆˆˆeeeBABABAe−+=zzazazzzazaza*21ˆˆ*21ˆˆeeeˆeee†**†−−−=†*†ˆˆ*ˆˆeeˆeeazazazaza−−=††ˆˆeˆeazaza−=za−=ˆ)(ˆˆ)(ˆˆ†††zDazDa=′*†ˆza−=幺正变换作用下，产生和湮灭算符也发生了平移)(ˆzD2.压缩态21)()(=∆⋅∆px相干态是最小不确定度态µω2=∆x2µω=∆pxˆ2ˆµωξ=pˆ21ˆµωη=设41)()(=∆⋅∆ηξ在复平面（）上，相干态可用中心位于z，半径为的小圆来表示。两个方向上测量精度相同。ηξ,21如果在方向上压缩(提高测量精度)，由不确定关系的要求，在方向上就要膨胀，原来的小圆成为等面积的椭圆。新得到的态称为原态的压缩态。Squeezedstateηˆξˆ21=∆=∆ηξ−=1||ˆnnna++=1|1|ˆ†nnna对于产生、湮灭算符定义两个新算符†ˆˆˆaabγλ+=1||||22=−γλaabˆˆˆ*†*†γλ+=[][]1ˆ,ˆ)|||(|ˆ,ˆ†22†=−=aabbγλ显然††ˆ,ˆˆ,ˆbbaa⇒幺正变换设=βββ||ˆb在本征态下，仍有（请证明）β|21)()(=∆⋅∆px但此时||21γλξ−=∆||21γλη+=∆不再相等！定义：)(ˆˆ)(ˆ)(ˆ†rSarSrb=)(ˆˆ)(ˆ)(ˆ†††rSarSrb=[][]1ˆ,ˆ)(ˆ),(ˆ††==aarbrb幺正变换对于：)ˆ,ˆ(†aaf)ˆ,ˆ()(ˆ)ˆ,ˆ()(ˆ†††bbfrSaafrS=例如：xrSxrSrˆe)(ˆˆ)(ˆ†=prSprSrˆe)(ˆˆ)(ˆ†−=压缩算符−=22†)ˆ(2)ˆ(2exp)(ˆararrSr为实数幺正算符)(ˆ)(ˆ)(ˆ1†rSrSrS−==−=rxrx,0|ˆ|,0真空态经压缩的变化=rrS,0|0|)(ˆ新的压缩后的真空态上的不确定关系=0|ˆˆˆ|0†SxS=0|ˆe|0xr0=0,0|ˆ|,0==rprp=rxrx,0|ˆ|,022r2e2µω==rprp,0|ˆ|,022r2e2−=µω21)()(=∆⋅∆px压缩后，动量和坐标的不确定度分别被放大和缩小。位移算符对压缩后的真空态的作用azazzDˆˆ*†e)(ˆ−==rrS,0|0|)(ˆ==rzrSzDrzD,|0|)(ˆ)(ˆ,0|)(ˆ)ˆiˆ(2ˆpxaµωα+=µωα=ηξˆiˆ+=x∆⋅=∆2µωξre21=rp−=∆⋅=∆e2121µωη41)()(=∆⋅∆ηξ和的不确定度不再相同。ηˆξˆ不确定关系不变！ξ0|η半径1/2的圆，面积4π/压缩、平移ξηrz,|0rre21=∆ξr−=∆e21ηξη0r椭圆的面积仍为4π/§2密度算符一、纯态与混合态纯态：可以用希尔伯特空间的一个矢量描写的量子态。+=2211|||ϕϕϕcc混合态：不能用希尔伯特空间的一个矢量描写的量子态。⇒2211|||pp概率：概率：ϕϕϕ差别：设211||cp=222||cp==iiiaaaA||ˆ纯态222112|||||+=ϕϕϕiiiacaca纯态：干涉、相干叠加混合态222211||||||+=ϕϕiiapapP混合态：无干涉、概率相加，相干叠加不是处于的概率21||c1|ϕ二、密度矩阵与密度算符表象Fˆ=nfnFn||ˆ1.对任意纯态ψ|，力学量Aˆ=ψψ|ˆ|AA∑=nAnnψψ|ˆ||∑=nnAn||ˆ|ψψ定义：||ˆψψρ=∑=nnAnA|ˆˆ|ρ)ˆˆtr(ρA=态下取的概率ψ|Aˆia2|||=ψiiaW=iiaa||ψψ=iiaa|ˆ|ρ的平均值ρˆ能用态矢量给出的信息都可由密度算符给出！态下的密度算符ψ|投影算符2.对混合态iippp：：：ψψψ|||2211力学量的平均值Aˆ11=∑=kiip=AAˆ双重平均∑==kiiiiAp1|ˆ|ψψ∑∑==nkiiiiAnnp1|ˆ||ψψ=∑∑npAnniiii|||ˆ|ψψ定义：∑==kiiiip1||ˆψψρ混合态的密度算符∑=nnAnA|ˆˆ|ρ)ˆˆtr(ρA=11=∑=kiip与纯态形式相同k可能是∞iψ|混合态的参与态纯态是混合态的特例（k=1）取的概率Aˆia∑=jjijiapW2|||ψ∑=jijjijaap||ψψ∑=jijjjiapa|||ψψ∑=jiiaa||ˆ|ρ能用态矢量给出的信息都可由密度算符给出，且更简捷！∑==kiiiip1||ˆψψρ11=∑=kiip3.密度算符在具体表象中的表示。表象Fˆ=nfnFn||ˆ=nm|ˆ|ρ∑=iiiimnnpm||ψψρ∑∑==nmkiiiinnpmm,1||||ˆψψρ∑=nmmnnm,||ρ表象下，为对角矩阵。}{mnρFˆ若构成混合态的各均为的本征态iψ|Fˆ=ii||ψ∑==iiiimnnpmnm|||ˆ|ψψρρ∑=iinipim||∑=inimiipδδmnmpδ=4.密度算符的本征值若混合态的参与态是两两正交的jψρ|ˆ=∑=kijiiip1||ψψψ∑==kiijiip1|δψ=jjpψ|ijjiδψψ=|∑==kiiiip1||ˆψψρ=jjjpψψρ||ˆ的本征值方程ρˆ一般：∑==kiiiip1||ˆψψρ厄米算符，本征函数族完备=αααϕρϕρ||ˆαββαδϕϕ=|1||1=∑=αααϕϕ=βααβϕρϕρ|ˆ|=ββαϕρϕ||αββδρ=ρϕϕραααˆ||ˆ1=∑=∑==1||ˆααααϕρϕρ密度算符的自然展开密度算符在坐标表象中的表示′=′xxxx|ˆ|ρρ∑′=iiiixpx||ψψ对于纯态′=′xxxx|ˆ|ρρ′=xx||ψψ∑⋅⋅′=iiiixpx)()(*ψψ)()(*xxψψ⋅′=),(xx′=ρ对角元)()(*xxxxψψρ⋅=坐标空间的概率密度动量表象中的纯态′=′pppp|ˆ|ρρ)()(*ppϕϕ⋅′=′=pp||ψψ对角元)()(*ppppϕϕρ⋅=∑==kiiiip1||ˆψψρ1.纯态||ˆψψρ=(1)厄米性ρψψρˆ||ˆ1†==∑=kiiiip并不是可观测力学量！ρˆ(2)幺迹性1)ˆtr(=ρ证明：)ˆtr(ρ∑=nnn||ψψ∑=nnnψψ||=ψψ|1=(3)幂等性=)ˆtr(2ρ1)ˆtr(=ρ|||ˆ2ψψψψρ=||ψψ=ρˆ=0)1ˆ(ˆ=−ρρ纯态密度算符的本征值只可能是0或11)ˆtr()ˆtr(2==ρρ三、密度矩阵的性质(4)正定性（任意态的期待值是非负的）ϕρϕ|ˆ|对任意态ϕ|=ϕψψϕ||2|||=ψϕ0≥例：求：（1）电子自旋算符的本征态在泡利表象中的密度矩阵；（2）它们在表象中的密度矩阵。1±=xσxσˆ解：=+01z=−10z（1）泡利表象的基矢1±=xσ的本征态=+1122|ϕ−=−1122|ϕ=+111121ˆρ−−=−111121ˆρ（2）表象下xσˆ=′+01|ϕ=′−10|ϕ=′+0001ˆρ=′−1000ˆρ利用表象变换由（1）得出（2）：−=111122ˆU=+1122|ϕ−=−1122|ϕ=−1ˆU−1111221ˆˆˆˆ−++=′SSρρ−⋅⋅−=111122111121111122=00012.密度矩阵的性质（混合态）(1)厄米性∑==kiiiip1||ˆψψρ11=∑=kiipρρˆˆ†=(3)幺迹性1)ˆtr(=ρ=)ˆtr(ρ∑∑niiiinpn||ψψ∑∑=niiiipnnψψ||∑=iiiipψψ|1==∑iip(2)正定性（4）对混合态1)ˆtr(2ρ纯态有幂等性1)ˆtr()ˆtr(2==ρρ此性质为系统是纯态还是混合态的判据)ˆtr(2ρ∑∑∑=nijjjjiiinppn|||ψψψψ∑∑=ijjijiijppψψψψ||1|||2≠jijiψψ，时∑∑=ijjjiipp2|||ψψ1=∑jjp而所以1|||2=∑∑jjjjjippψψ1)ˆtr(2ρ=1)ˆ(tr1)ˆ(tr22ρρ纯态混合态证明：)ˆˆtr(ρρ⋅===∑=nmnpmkiiiimn|ˆ|||1ρψψρ*nmmnρρ=1)(tr=mnρ∑=nmmnnm,||ˆρρ∑==kiiiimnnpm1||ψψρ∑==kiniimicpc1*=imimcψ|1=∑iip1||2=∑mmic3.密度矩阵矩阵元的含义表象Fˆ=nfnFn||ˆ∑==kiininnpc12||ρ混合态下测量的的概率nf混合态在量子态的布居n|population0≠mnρ混合态下出现态与态的相干效应m|n|四、密度算符的运动方程海森堡绘景中，态矢量不含时间。∑=iiHiiHHp||ˆψψρ与时间无关薛定谔绘景中，密度算符是含时的∑=iiSiiSStptt|)()(|)(ˆψψρ)ˆˆtr(ˆρAA=二绘景下结果结果相同运动方程∑∂∂=∂∂iiSiiSStptttt|)()(|i)(ˆiψψρ∑∂∂=iiSiiStptt|)()(|iψψ∑∂∂+iiSiiSttpt|)(i)(|ψψ()∑=iiSiiSStptH|)()(|ˆψψ()∑−+iSiSiiSHtptˆ)|()(|ψψHttHSSˆ)(ˆ)(ˆˆ⋅−⋅=ρρ[])(ˆ,ˆtHSρ=[])(ˆ,ˆ)(ˆitHttSSρρ=∂∂∑∂∂=∂∂iiSiiSStptttt|)()(|i)(ˆiψψρ密度算符的运动方程刘维方程(Liouv