中南大学20092010学年二学期微积分III课程2010年6月21日考试试题及答案学

12008~2009学年二学期微积分III课程（时间：2010年6月21日，星期一，10：00—11：40，共计：100分钟）24学时，1.5学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70%一、填空：1.是曲线1422yx，其周长为s，则dsyxxyL)4(22=．2.设是平面1432zyx位于第一卦限内部分，则dszyxI)342(_______________3.是从)0,0(O沿曲线)sin(2xy到点)0,1(A，则dyxeexdxxeyyyLy)()2(22=．4.若2)()yxydydxayx（为某函数的全微分，则a_________.5.设222zyxr，则)2,2,1(|)(gradrdiv二、选择题(每小题3分,共15分)1.设曲线,1,:2xxyL则在dsyxfL),(中,被积函数),(yxf取()时,该积分可以理解成L的质量.;)(yxA;2)(yxB;2)(yxC3)(xD.2.已知有向光滑曲线ttytxL)(),(:的始点B对应的参数值为,终点A对应的参数值为,则)(),(dxyxfL.;)(),()(dtttfA;)(),()(dtttfB;)()(),()(dttttfCdttttfD)()(),()(.3.当表达式QdyPdx中函数QP,取()时,此式在其定义域内必为某一函数的全微分.;,)(2222yxxQyxyPA;,)(2222yxxQyxyPB;,)(2222yxyQyxxPC2222,)(yxyQyxxPD4.以下四结论正确的是（）（Ａ）2222522234)(azyxadvzyx；（Ｂ）;442222222adszyxazyx（Ｃ）外侧222242224)(azyxadxdyzyx；（Ｄ）以上三结论均错误。5.曲面积分dxdyz2在数值上等于().LL2)(A面密度为2z的曲面之质量;)(B向量iz2穿过曲面的流量;)(C向量jz2穿过曲面的流量;)(D向量kz2穿过曲面的流量.三、(8分)计算dszyx22)2(,其中为02222zyxRzyx.四、(10分)计算LyxydxxdyI224，其中L为)1,0()1(222RRRyx取逆时针五、(10分)计算曲线积分dzyxdyxzdxzyI)()()(222222其中是用平面23zyx截立方体0x10y10z1的表面所得的截痕若从x轴的正向看去取逆时针方向六、(10分)计算dSxzyzyx)(，其中为锥面22yxz被柱面axyx222所截的部分.七、(10分)计算yxyzxzyzyyxIdd4dd)1(2dd)18([2，其中为01xyz)31(y，绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向夹角大于2。八、(12分)设函数)(xf在),(内具有一阶连续导数,L是上半平面)0(y内的有向分段光滑曲线,其始点为),(ba,终点为),(dc.记dyxyfyyxdxxyfyyIL1)()(11222,(1)证明曲线积分I与路径L无关.(2)当cdab时,求I的值.参考答案一、1.s4；2.461；3.1；4.2a；5.32。二、1.(C)2.(C)3.(A)4.(B)5.(D)．三、(8分)计算dszyx22)2(,其中为02222zyxRzyx.解(方法一)由于是平面0zyx上过球2222Rzyx的中心的大圆．两个曲面方程联立消去z,得2223,2222222RyxxRyxyx①在①式中,令tRxtRxcos32,cos223②3tRtRytRyxcos6sin2,sin22③将②,③代入平面0zyx,得tRtRzsin2cos6,故的参数方程为tRtRytRxcos6sin2,cos32，)20(,sin2cos6ttRtRzdttztytxds)()()(222RdtdttttttR2222cos6sin6sin2cossin32所以dszyx)2(22dtttRttRtRR2022222sin6cos26cos2sincos3220220232cos6sin23cossin21cos31ttRdttttR320233432cos22sin2161RttttR(方法二)由于积分曲线方程中的变量zyx,,具有轮换性,即三个变量轮换位置方程不变,且对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关.故有dszyxdszdsydsx)(3122222232323RdsR同理0)(31dszyxdszydsdsxLLLL所以dszyxdszyx)(32)2(22222334)(32Rdszyx四、(10分)计算LyxydxxdyI224，其中L为)1,0()1(222RRRyx取逆时针解：222244yxxyyPxQ(1)0)()1dxdyyPxQIRD（；(2)0)(4)122dxdyyPxQyxydxxdyIRDl（，2224:yxl取逆时针方向。2221114222222DllldxdyydxxdyydxxdyyxydxxdyI五、(10分)计算曲线积分dzyxdyxzdxzyI)()()(222222其中是用平面23zyx截立方体0x10y10z1的表面所得的截痕若从x轴的正向看去取逆时针方向4解取为平面23zyx的上侧被所围成的部分的单位法向量)1,1,1(31n即31coscoscos按斯托克斯公式有dSzyxdSyxxzxyzyxI)(34313131222222xyDdxdydS3322334其中Dxy为在xOy平面上的投影区域于是294366xyDdxdyIdxdyyxdzdxzxdydzzyyxxzzyzyxdxdydzdxdydzI)()()(2222222提示)(34coscoscos222222zyxyxxzxyzyxdxdydS222111dSdSzyxI2334)(34296332xyxyDDdxdydxdy六、(10分)计算dSxzyzyx)(，其中为锥面22yxz被柱面axyx222所截的部分.解：：22yxz，dxdydxdydSyzxz2)()(122投影区域,2:22axyxDxy或222)(ayax，因此dSxzyzxy)（=dxdyyxyxxyxyD2])([22=rdrrda]sincossin[cos222cos202=da4)cos2(41)sincossin(cos222=3524405428cos282ada=415642a.七、(10分)计算yxyzxzyzyyxIdd4dd)1(2dd)18([2，其中为01xyz)31(y，绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向夹角大于2。解：为122zxy，不封闭，补上1：2322zxy，其法向量与y轴正向同向。1dd4dd)1(2dd)18([dd)4418(2yxyzxzyzyyxyxyyyI510dd)1(22d2xzyV34。八、(12分)设函数)(xf在),(内具有一阶连续导数,L是上半平面)0(y内的有向分段光滑曲线,其始点为),(ba,终点为),(dc.记dyxyfyyxdxxyfyyIL1)()(11222,(1)证明曲线积分I与路径L无关.(2)当cdab时,求I的值.证明(1)设)(112xyfyyP,1)(22xyfyyxQ.xQxyfxyyxyfyP)(1)(2在上半平面内处处成立,所以在上半平面内曲线积分I与路径无关.(2)(方法一)如图10-10,由于积分I与路径无关,所以dyxyfyyxdxxyfyyIbcba1)()(11222,,dyxyfyyxdxxyfyydcbc1)()(11222,,dbcadycyfyycdxbxfbb2221)()(11bcdcdycycfdxbxbfbacdbca)()(cdcbbcabdttfdttfbadc)()(dttfbadccdab)(当cdab时,0)(dttfcdab,所以badcI.(方法二)LLdyxyxfdxxyyfyxdyydxI2)()(Lxdyydxxyfbadc)(Lxydxyfbadc)()(因为)(tf连续,所以dttftFt0)()(存在,))(()()(ydyxdxxyfdttftdF)()()()()(),(,abFcdFxyFxydxyfdcbaL当cdab时,0)()(Lxydxyf,由此得badcI.),(dcCxyO),(baA),(bcB图10-10