数学建模算法与应用预测方法

基础部数学教研室第15章预测方法数学建模算法与应用基础部数学教研室3/165数学建模预测学是一门研究预测理论、方法、评价及应用的新兴科学。综观预测的思维方式，其基本理论主要有惯性原理、类推原理和相关原理。预测的核心问题是预测的技术方法，或者说是预测的数学模型。随着经济预测、电力预测、资源预测等各种预测的兴起，预测对各种领域的重要性开始显现，预测模型也随着迅速发展。基础部数学教研室4/165数学建模预测的方法种类繁多，从经典的单耗法、弹性系数法、统计分析法，到目前的灰色预测法、专家系统法和模糊数学法，甚至刚刚兴起的神经网络法、优选组合法和小波分析法，据有关资料统计，预测方法多达200余种。因此在使用这些方法建立预测模型时，往往难以正确地判断该用哪种方法，从而不能准确地建立模型，达到要求的效果。不过预测的方法虽然很多，但各种方法多有各自的研究特点、优缺点和适用范围。基础部数学教研室5/165数学建模当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态、研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态微分方程模型。微分方程大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件已经给出，只需用数学符号将已知规律表示出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的答案，答案是唯一的，但是有些问题是非物理领域的实际问题，要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件。15.1微分方程模型基础部数学教研室6/165数学建模做出不同的假设，就得到不同的方程。比较典型的有传染病的预测模型、经济增长预测模型、兰彻斯特（Lanchester）战争预测模型、药物在体内的分布与排除预测模型、人口的预测模型、烟雾的扩散与消失预测模型等。其基本规律随着时间的增长趋势呈指数形式，根据变量的个数建立微分方程模型。微分方程模型的建立基于相关原理的因果预测法。基础部数学教研室7/165数学建模该方法的优点是短、中、长期的预测都适合，既能反映内部规律，反映事物的内在关系，也能分析两个因素的相关关系，精度相应的比较高，另外对模型的改进也比较容易理解和实现。该方法的缺点是虽然反映的是内部规律，但是由于方程的建立是以局部规律的独立性假定为基础，故做中长期预测时，偏差有点大，而且微分方程的解比较难以得到。基础部数学教研室8/165数学建模J.H.Engel用二次大战末期美日硫黄岛战役中的美军战地记录，对兰彻斯特作战模型进行了验证，发现模型结果与实际数据吻合得很好。硫黄岛位于东京以南660英里的海面上，是日军的重要空军基地。美军在1945年2月开始进攻，激烈的战斗持续了一个月，双方伤亡惨重，日方守军21500人全部阵亡或被俘，美方投入兵力73000人，伤亡20265人，战争进行到28天时美军宣布占领该岛，实际战斗到36天才停止。美军的战地记录有按天统计的战斗减员和增援情况。日军没有后援，战地记录则全部遗失。例15.1美日硫黄岛战役模型基础部数学教研室9/165数学建模用()At和()Jt表示美军和日军第t天的人数，忽略双方的非战斗减员，则()()(),()(),(0)0,(0)21500.dAtaJtutdtdJtbAtdtAJ（15.1）基础部数学教研室10/165数学建模美军战地记录给出增援()ut为.54000,01,6000,23,()13000,56,0,ttutt其它并可由每天伤亡人数算出()At，1,2,,36t。下面要利用这些实际数据代入（15.1）式，算出()At的理论值，并与实际值比较。基础部数学教研室11/165数学建模利用给出的数据，对参数,ab进行估计。对（15.1）式两边积分，并用求和来近似代替积分，有11()(0)()()ttAtAaJu，（15.2）1()(0)()tJtJbA.（15.3）基础部数学教研室12/165数学建模为估计b在（15.3）式中取36t，因为(36)0J，且由()At的实际数据可得361()2037000tAt，于是从（15.3）式估计出0.0106b。再把这个值代入（15.3）式即可算出()Jt，1,2,,36t。基础部数学教研室13/165数学建模然后从（15.2）式估计a。令36t，得361361()(36)()uAaJ，（15.4）其中分子是美军的总伤亡人数，为20265人，分母可由已经算出的()Jt得到，为372500人，于是从（15.4）式有0.0544a。基础部数学教研室14/165数学建模把这个值代入（15.2）式得11()0.0544()()ttAtJu（15.5）由（15.5）式就能够算出美军人数()At的理论值，与实际数据吻合得很好。为了估计日军的人数，可以根据（15.3）式给出。当然也可以求微分方程组（15.1）的数值解，估计日军的人数。下面画出美军人数、日军人数的按时间变化曲线和微分方程组的轨线。(程序略)基础部数学教研室15/165数学建模灰色预测的主要特点是模型使用的不是原始数据序列，而是生成的数据序列。其核心体系是灰色模型（GreyModel，简称GM），即对原始数据作累加生成（或其它方法生成）得到近似的指数规律再进行建模的方法。15.2灰色预测模型基础部数学教研室16/165数学建模优点是不需要很多的数据，一般只需要4个数据就够，能解决历史数据少、序列的完整性及可靠性低的问题；能利用微分方程来充分挖掘系统的本质，精度高；能将无规律的原始数据进行生成得到规律性较强的生成序列，运算简便，易于检验，具有不考虑分布规律，不考虑变化趋势。缺点是只适用于中短期的预测，只适合指数增长的预测。基础部数学教研室17/165数学建模GM(1,1)表示模型是1阶微分方程，且只含1个变量的灰色模型。15.2.1GM(1,1)预测模型基础部数学教研室18/165数学建模定义15.1已知参考数据列(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())xxxxn，1次累加生成序列（1—AGO）(1)(1)(1)(1)((1),(2),,())xxxxn(0)(0)(0)(0)(0)((1),(1)(2),,(1)())xxxxxn，其中(1)(0)1()()kixkxi（1,2,,kn）。(1)x的均值生成序列(1)(1)(1)(1)((2),(3),,())zzzzn，其中(1)(1)(1)()0.5()0.5(1)zkxkxk，2,3,kn。15.2.1.1GM(1,1)模型预测方法基础部数学教研室19/165数学建模建立灰微分方程(0)(1)()()xkazkb，2,3,,kn，相应的白化微分方程为(1)(1)()dxaxtbdt.（15.6）记[,]Tuab，(0)(0)(0)[(2),(3),,()]TYxxxn，(1)(1)(1)(2)1(3)1()1zzBzn，则由最小二乘法，求得使()()()TJuYBuYBu达到最小值的u的估计值1ˆˆˆ[,]()TTTuabBBBY。基础部数学教研室20/165数学建模建立灰微分方程(0)(1)()()xkazkb，2,3,,kn，相应的白化微分方程为(1)(1)()dxaxtbdt.（15.6）记[,]Tuab，(0)(0)(0)[(2),(3),,()]TYxxxn，(1)(1)(1)(2)1(3)1()1zzBzn，则由最小二乘法，求得使()()()TJuYBuYBu达到最小值的u的估计值1ˆˆˆ[,]()TTTuabBBBY。基础部数学教研室21/165数学建模于是求解方程（15.6）得ˆ(1)(0)ˆˆˆ(1)(1)ˆˆakbbxkxeaa，0,1,,1,kn.基础部数学教研室22/165数学建模1．数据的检验与处理首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列作必要的检验处理。设参考数据为(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())xxxxn，计算序列的级比(0)(0)(1)()()xkkxk，2,3,,kn.15.2.1.2GM(1,1)模型预测步骤基础部数学教研室23/165数学建模如果所有的级比()k都落在可容覆盖2212(,)nnee内，则序列(0)x可以作为模型GM(1,1)的数据进行灰色预测。否则，需要对序列(0)x做必要的变换处理，使其落入可容覆盖内。即取适当的常数c，作平移变换(0)(0)()()ykxkc，1,2,,kn，使序列(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())yyyyn的级比(0)(0)(1)()()yykkyk，2,3,,kn.基础部数学教研室24/165数学建模2．建立模型按（15.6）式建立GM(1,1)模型，则可以得到预测值ˆ(1)(0)ˆˆˆ(1)(1)ˆˆakbbxkxeaa，0,1,,1,kn，而且(0)(1)(1)ˆˆˆ(1)(1)()xkxkxk，1,2,,1,kn。基础部数学教研室25/165数学建模3．检验预测值（1）残差检验令残差为()k，计算(0)(0)(0)ˆ()()()()xkxkkxk，1,2,,kn，这里(0)(0)ˆ(1)(1)xx，如果()0.2k，则可认为达到一般要求；如果()0.1k，则认为达到较高的要求。基础部数学教研室26/165数学建模（2）级比偏差值检验首先由参考数据(0)(1)xk，(0)()xk计算出级比()k，再用发展系数a求出相应的级比偏差10.5()1()10.5akka，如果()0.2k，则可认为达到一般要求；如果()0.1k，则认为达到较高的要求。基础部数学教研室27/165数学建模4．预测预报由GM(1,1)模型得到指定时区内的预测值，根据实际问题的需要，给出相应的预测预报。15.2.1.3GM(1,1)模型预测实例例15.2北方某城市1986～1992年道路交通噪声平均声级数据见表15.1。表15.1城市交通噪声数据[dB(A)]序号年份eqL序号年份eqL1198671.15199071.42198772.46199172.03198872.47199271.64198972.1基础部数学教研室28/165数学建模1.级比检验建立交通噪声平均声级数据时间序列如下(0)(0)(0)(0)((1),(2),,(7))(71.1,72.4,72.4,72.1,71.4,72.0,71.6).xxxx（1）求级比()k(0)(0)(1)()()xkkxk，((2),(3),,(7))(0.982,1,1.0042,1.0098,0.9917,1.0056).基础部数学教研室29/165数学建模（2）级比判断由于所有的()[0.982,1.0098]k，2,,7k，故可以用(0)x作满意的GM(1,1)建模。基础部数学教研室30/165数学建模2.GM(1,1)建模（1）对原始数据(0)x作一次累加，得到(1)(71.1,143.5,215.9,288,359.4,431.4,503)x.基础部数学教研室31/165数学建模（2）构造数据矩阵B及数据向量Y(1)(1)(1)(1)(1)(1)1((1)(2))121((2)(3))121((6)(7))12xxxxBxx，(0)(0)(0)(2)(3)(7)xxYx.基础部数学教研室32/165数学建模（3）计算1ˆ0.0023ˆ()ˆ72.6573TTauBBBYb，于是得到ˆ0.0023a，ˆ72.6573b。基础部数学教研室33/165数学建模（4）建立模型(1)(1)ˆˆ