状态空间模型在季节性序列中的应用

课程论文题目：状态空间模型在季节性序列中的应用学院：统计学院专业：应用统计班级：15级统计硕学号：15080100016学生姓名：卞起鹏指导教师：朱发仓二○一六年六月摘要时间序列分析是一种重要的现代统计分析方法，广泛地应用于自然领域、社会领域、科学研究和人类思维中。时间序列是一类重要的数据，通过对其的研究来认识所研究系统的结构特征，揭示其运行规律，进而用以预测、控制未来的行为。由于气候条件、社会风俗习惯等原因，许多预测对象表现出明显的季节周期波动。在结构时间序列模型中有经济指标分解得到的趋势、循环、季节及不规则因素是不可观测的变量，不能利用传统的回归分析方法求解模型，因此，本文通过近些年提出的时间序列分析方法——状态空间模型方法来求解结构时间序列模型，利用X-12季节调整方法将序列中的季节性因素趋势性因素逐一提取，为季节性时间序列的分析提供的一个结构性框架。此外，本文使用我国社会消费品零售总额的历史数据，运用状态空间模型对其进行建模，得出预测值。关键词：状态空间模型；社会消费品零售总额；Kalman滤波；ARIMA1绪论1.1研究的背景社会消费品零售总额(soeialRetailooods)指各种经济类型的批发零售贸易业、餐饮业、制造业和其他行业直接售给城乡居民和社会集团的消费品零售额和农民对非农居民零售额的总和。该指标反映各种商品流通渠道向居民和社会集团供应生活消费品来满足他们生活需求，是研究人民生活、货币流通、社会消费品购买力、国内零售市场变动情况、反映经济景气程度的重要指标，同时还是政府进行宏观经济调控的重要依据。要准确理解社会消费品零售总额含义，需要注意以下两点：(l)社会消费品零售总额是从全国内定义的贸易目标，不仅包括转卖者的零售额，还包括生产者的零售额。(2)社会消费品零售总额并不是包含所有的商品销售额，而是售给非农村居民和团体供其直接生活消费和公共消费的商品销售额。1.2研究的意义社会消费品零售总额是国民经济运行状况的一个重要表现。一般来说，经济越发达，社会生产的规模越大，社会商品的供给就越大，人民生活水品就越高,支付能力就越强。由于目前消费需求已成为经济增长的重要组成部分，通过对社会消费品零售总额的研究，建立适当的模型对其分析和预测，十分具有经济意义得到此数据合理的预测结果与现实的社会零售总额进行比较，不仅可以评估当前的消费需求和经济的运行状况，还可以用于了解我国消费需求情况和未来的经济发展势态，也可为相关决策提供可靠的依据。一般来说，对过去的和现有状态的分析以及未来情况的预测都是在分析已测取的数据序列的基础上进行的，由于各种原因，人们记录的数据会表现出随机波动性，但是数据之间依然存在着相互依赖的关系。经济时间序列预测在经济学中中尤其是在宏观经济学中具有极其重要的意义。在现代计量经济研究中有许多广泛使用的时间序列预测模型，如限界时间序列分析模型、增长曲线模型等。这些预测模型以反映过去经济变动的时间序列数据为基础，利用回归分析或时间序列分析等方法估计参数，进而预测未来的值。但是这些预测方法的函数形式是固定的，对于具有不同结构的经济时间序列来说，使用固定函数形式的预测方法进行预测，不可能对所有的良好的预测效果，因此本文用状态空间形式来表示结构时间序列模型，状态空间模型不但可以利用状态向量表示不可观测的各成分，还可以利用卡尔曼滤波这一强有力的递推算法对状态向量各分量进行最优估计、平滑和预测。保证了模型预测的精度和可靠性。2文献综述NorbertViener和AndeiKolmogonor两位科学家于20世纪40年代给出了时序列分析最基础的理论，因为他们在时间序列的参数拟合和建模所做出的研究，使时间序列的方法在工程领域上得到了广泛的应用。目前广泛使用的是Box-Jenkins模型建模法，它是由统计学家George.E.P.Box和Gwilym.M.Jenkins于二十世纪七十年代首次系统的提出的。此方法是较为经典的统计预测方法，他们为今后的研究工作提供了时间序列分析中自回归移动平均模型(Auto-RegressiveIntegratedMovingAverage,ARMA)模型定阶、参数估计、模型诊断检验、预测的系统方法。它的优点是通过估计模型的有限个参数之后，通过模型诊断检验，得到合适的模型，就可以通过过去和现在的观测值对数据集的发展进行有效的预测。对于平稳时序通常使用ARMA模型，对于非平稳时序模型常通过适当的变换(如差分、取平方根、取对数)将其转换平稳时序，再对其进行ARMA模型建模，这一类模型被Box-Jenkins称为求和自回归移动平均模型(Auto-RegressiveIntegratedMovingAverage，ARIMA)。由于ARIMA建模方法只是考虑到了时间序列本身的性质，没有考虑到很多难以预测的复杂因素的影响，在实际研究中有很强的局限性。控制理论的创始人之一Kalman于上个世纪六十年代在论文首次提出了状态空间模型(StateSpaceModeling)。状态空间是一种时域的方法，利用状态方程描述系统的动态状态，利用量测方程描述可用物理方法量测到的信息，由以上两个方程共同构成状态空间模型。在国内，近20年来，时间序列在理论和应用两个方面都得到了蓬勃发展。但2000年前，以研究动态数据为特征的时间序列建模理论，还直局限于传统的研究方法中，主要集中于神经网络的非线性时间序列和行为法的线性系统数学建模上，有关时间序列的状态空间研究在国内虽然提到但并没有系统的理论。任光教授等正式的将时间序列状态空间技术引入我国。他们从离散系统和空间映射的角度出发论述了建模的整个过程，形成了较为完善、系统的时间序列状态空间建模理论，归纳出了多种有效的算法和结论。2000年，高铁梅、韩冬梅在文章《基于结构时间序列模型的季节调整方法研究》中给出了季节调整的方法是构造状态空间形式，利用卡尔曼滤波进行状态向量的估计，然后利用极大似然方法进行超参数估计，最终直接求解出经济时间序列的趋势分量、季节分量和不规则分量。范维、张磊等人在文章《季节调整方法综述及比较》中对于季节调整X-11序列、TRAMO/SEATS、结构时间序列模型、SABL、BV4和DAINTIES的方法进行综述及比较，并列出了各自的优缺点。赵松山在文章《关于经济系统的状态空间模型及其构建研究》中给出经济系统的状态空间模型的一般形式,然后从直接与间接两种方式探讨了状态空间模型的构建问题。直接构建状态空间模型是通过人口发展模型进行的；而间接构建是通过投入产出模型、差分向量模型、联立经济计量模型、AR(p)模型、MA(1)模型、ARMA(p,q)模型、单方程线性计量模型与传递函数模型的转换进行的。2006年，仇伟杰在文章中利用状态空间模型和Kalman滤波预测电力需求在中国的未来趋势，得到了较好的结果。同年，孙宏义等人在文章中比较利用状态空间模型分析的结果和利用ARIMA模型、指数平滑模型等分析的结果，说明状态空间模型分析优于其他方法分析。吴建华，王新军等人在文章《时变参数状态空间模型估计研究》中引入变点分析，在宏观经济和金融资本市场上广泛存在着非线性时变参数时间序列，而当前的研究主要关注静态参数状态空间模型的估计，该文通过引入变点分析，改进了静态参数的粒子学习滤波技术，提出了变点粒子学习滤波技术，用于估计时变参数状态空间模型。林博在文章《汇率波动、货币供给与通货膨胀——基于状态空间模型的实证研究》结合近年来经济波动和物价走势，研究汇率波动和货币供给变化对于我国通货膨胀的影响。进行了协整分析并进而构建状态空间模型，考察2001年以来汇率和货币供给变动对于我国通货膨胀水平的影响，并进行了动态测算。3模型的选择与构建3.1结构时间序列模型的基本构成结构时间序列模型有助于克服传统的Box-Jenkins时间序列分析方法只适用于平稳序列的局限，从而使非平稳经济时间序列的研究和应用大为扩展。经济时间序列t{Y}一般由趋势t（T）、循环t（C）、季节t（S）及不规则因素t（I）等分量构成。结构时间序列模型可分为加法模型、乘法模型和混合模型，描述各种分量的表达式也不唯一。本文通过下述分析建立合适的结构时间序列预测模型。循环因素tC是以数年或数十年未周期的景气波动，波动周期通常是固定的，很难用数学模型把它精确地表达出来。在本文中，主要研究的经济时间序列的预测问题，所以把趋势因素tT和循环因素tC合并为趋势循环因素，记为tTC，描述经济时间序列的主要变动。在建模前，需要先对可观测的经济时间序列tY进行季节调整，去掉季节因素tS，为了表示方便，把季节调整后的序列仍记为tY。对季节调整后的序列建立结构时间序列模型，则时间序列分解的加法模型可表示为tttY=TC+I。在这里tTC为趋势循环因素，tI为不规则因素。设t{Y}为一个非平稳时间序列，对t{Y}进行d阶差分可得到一个平稳时间序列。把差分的思想应用到建立趋势循环因素tTC的表达式，趋势循环要素反映了序列中真实变动，它是时间序列中最基本的因素，而时间序列的非平稳正是由于它的趋势循环因素非平稳引起的。所以，在建立趋势循环分量的表达式时，要首先考察时间序列的非平稳性，利用序列的单整阶数d建模：dttt（1-L）TC=b+（1）其中，L为滞后算子，d为序列的单整阶数，tb为平稳时间序列，t为均值为零，方差为2的扰动项。不规则要素tI为一平稳的ARMA（p,q）过程：2212t12（1--...-）I(1...)pqPqtLLLLLL（2）其中，L为滞后算子，t为均值为零，方差为2v的扰动项，12,,...,p和12,,...,q为ARIMA（p,q）模型的系数。3.2结构时间序列模型的状态空间表示量测方程：tttYZ（3）状态方程：1tttTR（4）2'~00(,)00ttNQ1,2,...,tN（5）在上述量测方程和状态方程中，tY是可观测的经济变量，N是样本长度，t是1m维向量，t被称为状态向量，它是不可观测的，需要利用状态空间模型的卡尔曼滤波方法来求解。在（4）式中服从一阶马尔可夫过程。t是量测方程的扰动项，其均值为0，方差为2，t是状态方程的1g维扰动项向量，其均值为0，协方差矩阵为Q。它们的联合分布服从于（5）式所示的正态分布。式中Z是1m矩阵，T是mm矩阵，R是mg矩阵，在状态空间模型中统称为系统矩阵。为了正确描述不同经济指标的结构时间序列模型中各分量的表达形式，还需要进一步考察经济时间序列的特征。可以利用ARIMA模型来研究经济时间序列的特征，从而建立相应的状态空间模型。由于大多数经济时间序列都是一阶单整或二阶单整序列，所以在本文中给出两种情况下结构时间序列模型的状态空间表示。在方法论述中不妨假设t{Y}经过d阶差分后得到的平稳时间序列tb的均值为零。（1）当t{Y}为一阶单整的经济时间序列时，设t{Y}服从于下面的过程ARIMA（p,1,q）：2212t12（1--...-）(1-)Y(1...)pqPqtLLLLLLLu（6）其中，tu为扰动项，利用ARIMA模型和状态空间模型的等价关系，根据上面的ARIMA过程的系数构建基于状态空间形式的结构时间序列模型：tttYTCI（7）(1)ttLTC（8）2212t12（1--...-）I(1...)pqPqtLLLLLL（9）其中，t、t为扰动项，将（7-9）式表示为状态空间模型的矩阵形式：量测方程：ttYZX（10）状态方程：1tttXTXR（11）其中，(110...0)Z12100...00...010...0001...0000...1pT1100...001...000...0000...0000...0qR'11(...)tttttpXTCIII，'