中考数学专题：圆有的位置关系在二次函数中的综合问题(解析版)

专题39圆有的位置关系在二次函数中的综合问题1、如图，已知抛物线2yaxbx2a0与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D2,3，B4,0．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C，求BMC面积的最大值；（3）在（2）中BMC面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213yxx222；（2）4；（3）存在，Q的坐标为2,4或2,1【解析】解：1将D2,3、B4,0的坐标代入抛物线表达式得：422316420abab，解得：1232ab，则抛物线的解析式为：213yxx222；2过点M作y轴的平行线，交直线BC于点K，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：yk'xb'得：04'''2kbb，解得：1'2'2kb，则直线BC的表达式为：1yx22，设点M的坐标为213x,xx222，则点1Kx,x22，22BMC1113SMKOB2x2xx2x4x2222，a10，BMCS有最大值，当bx22a时，BMCS最大值为4，点M的坐标为2,3；3如图所示，存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，切点为N，过点M作直线平行于y轴，交直线AC于点H，点M坐标为2,3，设：点Q坐标为2,m，点A、C的坐标为1,0、0,2，OA1tanOCAOC2，QH//y轴，QHNOCA，1tanQHN2，则1sinQHN5，将点A、C的坐标代入一次函数表达式：ymxn得：02mnn，则直线AC的表达式为：y2x2，则点H2,6，在RtQNH中，QHm6，222QNOQ(2)mm4，21QNm4sinQHNQHm65，解得：m4或1，即点Q的坐标为2,4或2,1．2、如图1，对于平面内的点P和两条曲线L1、L2给出如下定义：若从点P任意引出一条射线分别与L1、L2交于Q1、Q2，总有PQ1PQ2是定值，我们称曲线L1与L2“曲似”，定值PQ1PQ2为“曲似比”，点P为“曲心”．例如：如图2，以点𝑂′为圆心，半径分别为r1、r2(都是常数)的两个同心圆C1、C2，从点𝑂′任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N，因为总有𝑂′𝑀𝑂′𝑁=𝑟1𝑟是定值，所以同心圆C1与C2曲似，曲似比为r1r2，“曲心”为𝑂′．(1)在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx与抛物线y=x2、y=12x2分别交于点A、B，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；(2)在(1)的条件下，以O为圆心，OA为半径作圆，过点B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，使⊙O与直线BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；(3)在(1)、(2)的条件下，若将“y=12x2”改为“y=1mx2”，其他条件不变，当存在⊙O与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式．【答案】（1）两抛物线曲似，理由详见解析；（2）存在k值，使⊙O与直线BC相切，k=±√3；（3）m1，k2=m2−1．【解析】(1)是，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、C，依题意可得A(k,k2)、B(2k,2k2)，因此D(k,0)、C(2k,0)，∵AD⊥x轴、BC⊥x轴，∴AD//BC，∴OAOB=ODOC=k2k=12，∴两抛物线曲似，曲似比为12；(2)假设存在k值，使⊙O与直线BC相切，则OA=OC=2k，又∵OD=k、AD=k2，并且OD2+AD2=OA2，∴k2+(k2)2=(2k)2，解得：k=√3(负值舍去)，由对称性可取k=−√3，综上，k=±√3；(3)根据题意得A(k,k2)、B(mk,mk2)，因此D(k,0)、C(mk,0)，∵⊙O与直线BC相切，∴OA=OC=mk，由OAOD可得mkk，则m1，由OD=k、AD=k2，并且OD2+AD2=OA2，∴k2+(k2)2=(mk)2，整理，得：k2=m2−1．3、已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数1ykx的图象与二次函数的图象交于AB，两点（A在B的左侧），且A点坐标为44，．平行于x轴的直线l过01，点．（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明；（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？【答案】（1）一次函数的解析式为314yx；二次函数解析式为214yx．（2）相切，证明见解析（3）当3t时，过FMN，，三点的圆面积最小，最小面积为4π．【解析】1把4,4A代入1ykx得34k一次函数的解析式为314yx二次函数图象的顶点在原点,对称轴为y轴，二次函数的解析式为2yax,将4,4A代入解析式得14a二次函数的解析式为214yx2由231414yxyx解得44xy或114xy，11,4B，取,AB的中点317,28P，过P作直线l的垂线,垂足为N,则3,12N1725188PN，而直径221525544AB12PNAB，即圓心到直线l的距离等于半径，以AB为直径的圆与直线l相切.3平移后二次函数的解析式为2124yxt,令0,y得212120,22,24xtxtxt过,,FMN三点的國的圆心C一定在平移后抛物线的对称轴.上,要使圓面积最小,圆半径应等于点F到直线2x2的距离,点C坐标为2,1.此时,半径为2,面积为4设圆心为,CMN的中点为E,连接,CECM,则1CE，在三角形CEM中，22213ME23MN，而2134,4MNxxtt当3t4时，过,,FMN三点的圓面积最小,最小面积为4.4、如图1，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若以AD为直径的圆经过点C．①求抛物线的函数关系式；②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF＝1：2，求点M、N的坐标；③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标．【答案】（1）（1，﹣4a）；（2）①y=﹣x2+2x+3；②M（52，74）、N（32，154）；③点Q的坐标为（1，﹣4+26）或（1，﹣4﹣26）．【思路引导】（1）将二次函数的解析式进行配方即可得到顶点D的坐标．（2）①以AD为直径的圆经过点C，即点C在以AD为直径的圆的圆周上，依据圆周角定理不难得出△ACD是个直角三角形，且∠ACD＝90°，A点坐标可得，而C、D的坐标可由a表达出来，在得出AC、CD、AD的长度表达式后，依据勾股定理列等式即可求出a的值．②将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，说明了PM正好和x轴平行，且PM＝OB＝1，所以求M、N的坐标关键是求出点M的坐标；首先根据①的函数解析式设出M点的坐标，然后根据题干条件：BF＝2MF作为等量关系进行解答即可．③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，由C、D两点的坐标不难判断出∠CDQ＝45°，那么△QGD为等腰直角三角形，即QD²＝2QG²＝2QB²，设出点Q的坐标，然后用Q点纵坐标表达出QD、QB的长，根据上面的等式列方程即可求出点Q的坐标．【解析】（1）∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，∴D（1，﹣4a）．（2）①∵以AD为直径的圆经过点C，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°；由y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣3）（x+1）知，A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣3a），则：AC2=9a2+9、CD2=a2+1、AD2=16a2+4由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，即：9a2+9+a2+1=16a2+4，化简，得：a2=1，由a＜0，得：a=﹣1，②∵a=﹣1，∴抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3，D（1，4）．∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，∴PM∥x轴，且PM=OB=1；设M（x，﹣x2+2x+3），则OF=x，MF=﹣x2+2x+3，BF=OF+OB=x+1；∵BF=2MF，∴x+1=2（﹣x2+2x+3），化简，得：2x2﹣3x﹣5=0解得：x1=﹣1（舍去）、x2=52.∴M（52，74）、N（32，154）．③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CH⊥QD于H，如下图：∵C（0，3）、D（1，4），∴CH=DH=1，即△CHD是等腰直角三角形，∴△QGD也是等腰直角三角形，即：QD2=2QG2；设Q（1，b），则QD=4﹣b，QG2=QB2=b2+4；得：（4﹣b）2=2（b2+4），化简，得：b2+8b﹣8=0，解得：b=﹣4±26；即点Q的坐标为（1，426）或（1，426）．【方法总结】此题主要考查了二次函数解析式的确定、旋转图形的性质、圆周角定理以及直线和圆的位置关系等重要知识点；后两个小题较难，最后一题中，通过构建等腰直角三角形找出QD和⊙Q半径间的数量关系是解题题目的关键．5、抛物线y＝﹣23x2+73x﹣1与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y＝t(t＜2524)上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．(1)点A，B，D的坐标分别为，，；(2)如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内(含边界)时，求t的取值范围；(3)如图②，当t＝0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（12，0）；B（3，0）；D（74，2524）；（2）1548≤t≤2548；（3）存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为（7345，0）、（311，0）、（1，0）或（7345，0）．【解析】解：（1）当y=0时，﹣23x2+73x﹣1=0，解得x1=12,x2=3,∴点A的坐标为（12，0），点B的坐标为（3,0），∵y=﹣23x2+73x﹣1=﹣23（x-74）2+2524,∴点D的坐标为（74，2524）；（2）∵点E、点D关于直线y=t对称，∴点E的坐标为（74，2t﹣2524）．当x=0时，y=﹣23x2+73x﹣1=﹣1，∴点C的坐标为（0，﹣1）．设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b，将B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kx+b，301kbb，解得：131kb，∴线段BC所在直线的解析式为y=13x﹣1．∵点E在△ABC内（含边界），∴2520242517212434tt，解得：15 48≤t≤2548．（3）当x＜12或x＞3时，y=﹣23x2+73x﹣1；当12≤x≤3时，y=﹣23x2+73x﹣1．假设存在，设点P的坐标为（